2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题02 利用锐角三角形函数解决实际问题（教师版）

PAGE1PAGE广东专用压轴专题02利用锐角三角形函数解决实际问题（含仰角俯角、坡度、方位角等问题）通用的解题思路：1.仰角与俯角问题仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．2.坡度问题坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用表示，则有.3.方位角问题方向角：平面上，通过观察点作一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为北向），则从点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角.1．（2023·广东深圳·中考真题）爬坡时坡角与水平面夹角为，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（参考数据：，）（

）

A．58J B．159J C．1025J D．1732J【答案】B【分析】根据特殊角三角函数值计算求解．【详解】故选：B．【点睛】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键．2．（2023·广东·中考真题）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂，两臂夹角时，求A，B两点间的距离．(结果精确到，参考数据，，)

【答案】【分析】连接，作作于D，由等腰三角形“三线合一”性质可知，，，在中利用求出，继而求出即可．【详解】解：连接，作于D，

∵，，∴是边边上的中线，也是的角平分线，∴，，在中，，，∴，∴∴答：A，B两点间的距离为．【点睛】本题考查等腰三角的性质，解直角三角形的应用等知识，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．3．（2022·广东广州·中考真题）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD=1.6m，BC=5CD．(1)求BC的长；(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度．条件①：CE=1.0m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角为54.46°．注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．【答案】(1)；(2)①；②旗杆AB高度约．【分析】（1）根据BC=5CD，求解即可；（2）①CE=1.0m时，连接DE，则有△DEC∽△ACB，根据相似的性质求解即可；②当时，作点D到AB的垂线段DF，在Rt△ADF中，，求出，进一步可求出AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．【详解】（1）解：．（2）解：①CE=1.0m时，连接DE，则有△DEC∽△ACB，∴，∴，②当时，作点D到AB的垂线段DF，则四边形BCDF是矩形，FB=DC=1.6m，FD=BC=8.0m，Rt△ADF中，，∴．∴AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．∴旗杆AB高度约12.8m．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解直角三角形，近似运算．解题的关键是掌握相似三角形的性质，解直角三角形．题型一仰角与俯角问题1．（2024·广东江门·模拟预测）随着科技的发展，无人机广泛应用于生产生活．小琪利用无人机从点竖直上升到点，测得点到点的距离为，此时点的俯角为；后无人机到达点，此时测得点的俯角为．求无人机从点到点的平均速度．（结果精确到，参考数据：）【答案】无人机从点到点的平均速度．【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．根据题意可得：结合平行线性质，从而可得，，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后进行计算即可解答．【详解】解：在中，，，．在中，，，，，无人机从点到点的平均速度．2．（2024·广东汕尾·二模）综合与实践：凤山祖庙旅游区位于广东省汕尾市区东面的品清湖畔．该景区主建筑由凤山公园、凤山祖庙、凤仪台妈祖（天后圣母）石像三大部分组成，既是汕尾市著名的风景区，也是粤东地区百姓尤其是沿海渔民朝拜妈祖的地方．小明为测量妈祖石像的高度，制定了如下测量方案：如图，当小明在点A（眼睛）处仰望石像顶部点D，测得仰角为，再往石像的方向前进至点B（眼睛）处，测得仰角为，且小明的眼睛距离地面，请帮他求出妈祖石像的高度．（参考数据：，结果精确到）【答案】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，延长与石像交于C，设，解得到，解得到，进而得到，解方程即可得到答案．【详解】解：如图所示，延长与石像交于C，设，由题意得，，，在中，，在中，，，∵，∴，解得，∴，∴妈祖石像的高度为．3．（2024·广东湛江·一模）安铺镇是广东四大古镇之一，它始建于明代1444年，迄今为止已有500多年的历史．九（1）班的小明要测量安铺镇文阁塔的高度，如图，小明在文阁塔前的平地上选择一点A，在点A和文阁塔之间选择一点，测得，用测角仪在处测得文阁塔顶部的仰角为，在处测得仰角为，已知测角仪的高．请你帮小明计算出文阁塔的高度．（结果保留根号）【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，有关仰角俯角的问题，先作辅助线，然后根据已知条件得到边长和角度，然后根据解直角三角形可得到结果，构造出来直角三角形是解题的关键．【详解】解：如图，延长交于点，如图所示：，由题意，得，，，，，是的一个外角，，，，在中，，，答：文阁塔的高度是．题型二坡度问题1．（2024·广东深圳·一模）如图所示，折线是一段登山石阶，其中，部分的坡角为，部分的坡角为，．(1)求石阶路（折线）的长．(2)如果每级石阶的高不超过，那么这一段登山石阶至少有多少级台阶？（最后一级石阶的高度不足时，按一级石阶计算．可能用到的数据：，）【答案】(1)120米(2)472级【分析】（1）根据，可得，结合，计算即可．（2）先计算的长度，单位化成厘米后除以20，计算即可．本题考查了坡度的概念：斜坡的坡度等于斜坡的铅直高度与对应的水平距离的比值，即斜坡的坡度等于斜坡的坡角的正弦．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质．【详解】（1）∵，∴，∵，∵．（2）∵，∴，∵，∵，，∴，∴（级）．答：这一段登山石阶至少有472级台阶．2．（2024·广东江门·一模）甲、乙两人去登山，甲从小山西边山脚B处出发，已知西面山坡的坡度（坡度：坡面的垂直高度与水平长度的比，即）．同时，乙从东边山脚C处出发，东面山坡的坡度，坡面米．(1)求甲、乙两人出发时的水平距离．(2)已知甲每分钟比乙多走10米．两人同时出发，并同时达到山顶A．求：甲、乙两人的登山速度．【答案】(1)米(2)甲的登山速度为60分钟/米，乙的登山速度为50分钟/米；【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．（1）过点A作，根据坡度比设，则，利用勾股定理即可求解；（2）设乙的速度为v分钟/米，则甲的速度为分钟/米，列分式方程即可求解．【详解】（1）解：过点A作，如图，由题意得：，，∴设，则，∴，解得：，∴，∴，解得：，∴米；（2）解：由（1）得：，，∴，设乙的速度为v分钟/米，则甲的速度为分钟/米，由题意得：，解得：，经检验：是分式方程的解，则，∴甲的登山速度为60分钟/米，乙的登山速度为50分钟/米；题型三方位角问题1．（2024·广东汕头·一模）如图，是一条东西走向的海岸线，码头和码头相距30海里，在码头南偏东的海岛处有一艘轮船正向码头正南方向的海岛行驶，轮船到达海岛后测得海岛在海岛的北偏东75°方向上，而码头在海岛的北偏西30°方向上．(1)已知关于两角和的公式，请利用公式计算；(2)利用（1）的结论，求码头与海岛之间的距离．（参考数据，，，，结果精确到海里）．【答案】(1)(2)码头与海岛之间的距离为海里【分析】本题考查解直角三角形的应用．（1）根据公式得即可；（2）作于点，设，则，，利用（1）的结论解直角三角形即可．【详解】（1）解：==（2）如图，作于点∵，，∴∵，∴为等腰直角三角形设，，在中∴解得：∴．答：码头与海岛之间的距离为海里．2．（2024·广东中山·一模）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶10千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东15°方向．(1)求∠C的度数；(2)求B，C两地的距离．（运算结果保留根号）【答案】(1)(2)两地的距离为千米【分析】本题考查了解直角三角形中与方位角有关的应用：（1）由平行线的性质得，由平角可求得的度数，由三角形内角和即可求得结果；（2）过点B作，垂足为G，则在中，由正弦函数关系可求得的长度，再在中，由正弦函数关系即可求得的长度，即两地的距离．【详解】（1）解：如图：由题意得：，，，，，

，

，，的度数为；

（2）解：过点B作，垂足为G，在中，千米，，（千米），

在中，，（千米），

两地的距离为千米．题型四其他实际场景问题1．（2024·广东肇庆·一模）传统工艺品油纸伞是我国的非物质文化遗产，使用历史已有1000多年．伞是由伞柄，伞骨，伞面三部分组成．伞柄是伞的主心骨，伞骨是用来支撑整个伞面的，伞面是伞中重要的组成部分．如图，伞打开时，其伞面的直径的长为，相对两根伞骨的最大夹角，求此伞的伞骨的长度．（结果精确到，参考数据：，，）．【答案】此伞的伞骨的长度约为【分析】本题考查了垂径定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握垂径定理是解题关键．根据垂径定理可得，再根据三角函数求出即可，【详解】解：由题意得，，于E点，∵，，∴，∵，∴在中，，，∴，∴此伞的伞骨的长度约为．2．（2024·广东汕头·一模）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的灾害，消防车是消防教援的主要装备．图是某种消防车云梯，图是其工作示意图，当云梯升起时，与底盘的夹角为，液压杆与底盘的夹角为．已知液压杆，当，时，求的长．【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，解直角三角形得到，，进而解直角三角形得到，再根据线段的和差关系即可求解，掌握解直角三角形是解题的关键．【详解】解：过点作于点，则，在中，，，∴，，在中，，∴，∴，答：的长为．3．（2024·广东汕头·一模）如图，在斜坡传送带上有一矩形，已知斜坡夹角，矩形的边在上，对角线．(1)求度数；(2)当时，求的长．（参考数据：；；，结果精确到）【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了矩形的性质、对顶角相等、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．（1）延长交于点，可知，可得在中，易知，根据矩形的性质可得，然后由求解即可；（2）在中，由锐角三角函数可得，然后求解即可．【详解】（1）解：延长交于点，如下图，∵，∴，在中，∵，∴，∴，∵四边形是矩形，∴，∴；（2）∵四边形是矩形，∴，在中，∵，∴．4．（2024·广东珠海·一模）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点C，推杆与铅垂线的夹角为点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆与铁环相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．

(1)求证：．(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离最小，测得．已知铁环的半径为，推杆的长为，求此时的长．【答案】(1)证明见详解；(2)；【分析】本题考查解直角三角形，直角三角形两锐角互余，切线的性质：（1）过B作，根据切线得到，结合得到，再根据直角三角形两锐角互余求解即可得到答案；（2）根据（1）及得到，结合三角函数求出，即可得到答案；【详解】（1）解：过B作，由题意可得，，∵铁环与水平地面相切于点C，∴，∵，∴，∵推杆与铁环相切于点B，

，∴，∴，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵的半径为，推杆的长为，∴，，∴，∴．5．（2024·广东梅州·一模）如图（1）是一台实物投影仪，图（2）是它的示意图，折线表示可转动支架，支架可以伸缩调节，投影探头始终垂直于水平桌面，与始终在同一平面内．已知投影仪的底座高3厘米，支架厘米，探头厘米．

(1)当支架与水平线的夹角为，与支架的夹角为，且时，求探头的端点到桌面的距离．（结果保留一位小数）(2)为获得更好的投影效果，调节支架，如图（3）所示，使得与水平线的夹角为，同时调节支架，使得探头端点与点在同一水平线上，且从点看点的俯角为，此时支架的长度为多少？（结果保留一位小数）（参考数据：，，，，）【答案】(1)29.7厘米(2)31.6厘米【分析】本题考查解直角三角形的应用、勾股定理，添加适当的辅助线，构造直角三角形，采用数形结合的思想是解此题的关键．（1）连接，延长交过点的水平线于点．根据是等腰直角三角形可得厘米，，求出，再解直角三角形得出的长度，从而即可得解；（2）作于点．易得，解直角三角形求出的长，由勾股定理得出的长，再解直角三角形得出的长，从而得出的长，最后由勾股定理计算即可．【详解】（1）解：如图，连接，延长交过点的水平线于点．

由题意得：厘米，，，∴（厘米），．∴．∵始终垂直于水平桌面，∴．∴（厘米）．∵投影仪的底座高3厘米，∴探头的端点到桌面的距离（厘米）．答：探头的端点到桌面的距离约为29.7厘米；（2）解：如图，作于点．

∴．由题意得：，．∴．∵厘米，∴（厘米），∴（厘米）．由题意得：．∴（厘米）．∴（厘米）．由题意得：，∴（厘米）．答：支架的长度大约为31.6厘米．6．（2024·广东深圳·二模）【项目式学习】项目主题：设计落地窗的遮阳篷项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳蓬的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务．方案1：直角形遮阳篷如图1，小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷，点C在的延长线上(1)若，，则支撑杆m．(2)小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图2，他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为a，最大夹角为β．小明查阅资料，计算出，，为了让遮阳篷既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内(太阳光与平行)，又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳