专题3.7 整式的乘除章末八大题型总结（拔尖篇）（浙教版）（原卷版）

专题3.7整式的乘除章末八大题型总结（拔尖篇） 【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1巧用幂的运算逆向运算】 1【题型2整式乘法中不含某项问题】 1【题型3多项式乘法中的规律性问题】 2【题型4巧用乘法公式求值】 3【题型5乘法公式的几何背景】 4【题型6整式的乘除中的新定义问题】 7【题型7整式运算中的定值问题】 7【题型8整式运算中的整除问题】 9【题型1巧用幂的运算逆向运算】【例1】（2023春·安徽蚌埠·八年级统考期末）已知2a=3，2b=6，2c=12，（1）2c-（2）a，b，c之间满足的等式关系为．【变式1-1】（2023春·江苏苏州·八年级期中）已知常数a，b满足2a×22b=8【变式1-2】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）已知xn=2，（1）(xy)2（2）若x3n+1⋅y【变式1-3】（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若am=an(a>0，且a≠1，m、(1)如果2×4x×(2)如果3x+2+【题型2整式乘法中不含某项问题】【例2】（2023春·四川巴中·八年级四川省巴中中学校考期中）若(x2+nx+3)(x2-【变式2-1】（2023秋·甘肃武威·八年级校考期末）老师在黑板上布置了一道题：已知x＝－2，求式子(2x－y)(2x＋y)＋(2x－y)(y－4x)＋2y(y－3x)的值．小亮和小新展开了下面的讨论：小亮：只知道x的值，没有告诉y的值，这道题不能做；小新：这道题与y的值无关，可以求解；根据上述说法，你认为谁说的正确？为什么？【变式2-2】（2023秋·河南周口·八年级校考期末）已知x2+mx-32x+n【变式2-3】（2023秋·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）已知关于x、y的代数式2x+5y32x-【题型3多项式乘法中的规律性问题】【例3】（2023春·甘肃张掖·八年级校考期末）下列图像都是由相同大小的星星按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗星星，第②个图形中一共有11颗星星，第③个图形中一共有21颗星星，……按此规律排列下去，第⑨个图形中星星的颗数为．

【变式3-1】（2023春·重庆·八年级校考期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．（1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式＝．（2）a+bn的展开式共有______（3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．（4）运用：若今天是星期二，经过8100天后是星期．【变式3-2】（2023春·广东深圳·八年级深圳中学校考开学考试）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第n个叠放的图形中，小正方体木块总数应是．

【变式3-3】（2023春·北京昌平·八年级北京市昌平区第二中学校考期中）阅读以下材料：(x(x(（1）根据以上规律，(x-1)x（2）利用（1）的结论，求1+5+5【题型4巧用乘法公式求值】【例4】（2023春·湖南益阳·八年级统考期中）使用整式乘法法则与公式可以使计算简便，请利用法则或公式计算下列各题(1)已知a+1a(2)计算：2-2(3)设a，b，c，d都是正整数，并且a5=b4，c3【变式4-1】（2023春·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考开学考试）已知x满足（x﹣2020）2+（2023﹣x）2＝10，则（x﹣2021）2的值是．【变式4-2】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知：x2+xy=10，y2+xy=6，x-y=-1，则：（1）【变式4-3】（2023春·湖南张家界·八年级统考期中）已知a-(1)2-12+12(2)求2+12(3)求23+1【题型5乘法公式的几何背景】【例5】（2023秋·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考开学考试）【知识生成】【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到a+【直接应用】（1）若x+y=3，x【类比应用】（2）填空：①若x3-x=1，则x2②若x-3x-4=1【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板(∠AOB=∠COD=90°)如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD．若

【变式5-1】（2023春·全国·八年级期末）工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸．（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的边长多少？（用含a代数式来表示）；（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2测得盒子底部长方形长比宽多3，则S2﹣S1的值为．【变式5-2】（2023春·广东深圳·八年级校考期中）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数间刻时，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请解决以下问题．构图一：（1）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证下列选项中的公式（填选项即可）；

A．a2-2ab+b2=（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①若x2-9y2②计算：20192-构图二：如图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个边长为1的小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．

构图三：某住宅小区，为美化环境，提高居民的生活质量，要建造一个八边形的居民广场，如图4，其中正方形MNPQ与四个相同的长方形（图中阴影部分）的面积的和为a(a+4b)，正方形MNPQ的边长为a

【变式5-3】（2023春·浙江·八年级期中）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到a(1)写出由图2所表示的数学等式：________________________．(2)根据上面的等式，如果将a-b看成a+-b，直接写出n(3)已知实数a、b、c，满足以下两个条件：a2+b2+【题型6整式的乘除中的新定义问题】【例6】（2023上·北京丰台·八年级统考期末）设a，b是任意有理数，定义一种新运算：a*b=a-b2．下面有四个推断：①a*b=b*aA．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③【变式6-1】（2023·重庆·八年级统考期中）已知x，y均为有理数，现定义一种新运算“”，满足下式：x*(1)求出2*(-4)的值．(2)化简(a-b【变式6-2】（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）定义运算a*b=ab+a+b，比如①a*b=b*a；

【变式6-3】（2023春·湖南怀化·八年级溆浦县第一中学校考期中）配方法是数学中重要的一种方法.它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形以及解决代数式最大、最小值等问题中.定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，理由：因为5=12解决问题：(1)已知13、28、37三个数中，“完美数”是_________________.(2)请将x2-4x+5表示成(3)试问当k为何值时，S=x2+4y2+4x-12y+【题型7整式运算中的定值问题】【例7】（2023春·江苏苏州·八年级期中）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系．如图，大长方形GMAN由5个全等的长为a，宽为b的小长方形和另外两个长方形拼成．记其中长方形ABCD的面积为S1，长方形EFGH的面积为S2，设CD=x，且当x>b时，不论x取何值，S1【变式7-1】（2023上·浙江杭州·七年级杭州绿城育华学校校考期中）如图，长为y(cm)，宽为x(cm)的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余①小长方形的较长边为y-②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为x-③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；④当x=20时，阴影A和阴影BA．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式7-2】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）将4块相同的小长方形绿化带按如图所示的方式不重叠的放在长方形花坛ABCD内AD>AB，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形面积分别为S1，S2，已知小长方形绿化带的长为a米，宽为b米，且(1)当AD=20米时，请用含a，b的式子分别表示S1=米2，S2=米2，(2)由于空间有限，花坛的短边AB长度为定值，而花坛的长边AD可以延伸，将这4块小长方形绿化带按同样的方式放在新的长方形花坛ABCD内，要使未被覆盖的部分分割的两个长方形面积S1=S2，求【变式7-3】（2023下·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考期中）阅读理解，若x满足30-xx-解：设30-x=a则30-xa+30-x归纳方法：首先，利用换元进行式子简化，再利用和（差）是定值，积是定值的特点与其平方和之间的关系进行转化．解决问题：(1)若x满足2021-xx-2016(2)若x满足2021-x2+(3)如图，在长方形ABCD中，AB=20，BC=12，点E、F是BC、CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC、CE为边在长方形【题型8整式运算中的整除问题】【例8】（2023春·安徽蚌埠·八年级统考期末）一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，则将n的两个数位上的数字对调得到一个新数n'．把n'放在n的后面组成第一个四位数，把n放在n'的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为Fn，例如：n=23时，n'=32，F23=2332-322311=-81．对于两位正整数s与t，其中s=10a+b，t=10x+y（1≤b<a≤9，1≤x，y≤9，且【变式8-1】（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）若A、B、C