微专题04 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题（四大题型）（原卷版）

微专题04平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：（1）是的重心：．（2）是的内心：．（3）是的外心：．（4）是的垂心：．【方法技巧与总结】（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上.为的内心.（2）外心：为的外心.（3）垂心：为的垂心.（4）重心：为的重心.【典型例题】题型一：重心定理【例1】（2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【变式1-1】（2024·全国·高一随堂练习）已知中，点为所在平面内一点，则“”是“点为重心”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-2】（2024·全国·高一专题练习）已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的（

）A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心题型二：内心定理【例2】（2024·全国·高一专题练习）在△ABC中，，若O为内心，且满足，则x+y的最大值为．【变式2-1】（2024·江苏南通·高一如皋市第一中学期末）已知点P为的内心，，若，则．【变式2-2】（2024·广西柳州·高一统考期末）设为的内心，，，，则题型三：外心定理【例3】（2024·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）已知点O是△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则．【变式3-1】（2024·安徽六安·高一六安市裕安区新安中学校考期末）已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定经过的．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）【变式3-2】（2024·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知中，，，，为的外心，若，则的值为（）A．1 B．2 C． D．题型四：垂心定理【例4】（2024·江苏泰州·高一统考期末）已知的垂心为点，面积为15，且，则；若，则.【变式4-1】（2024·湖北黄冈·高一校联考期末）若为的垂心，，则＝，．【变式4-2】（2024·山西·高一校联考阶段练习）已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则.【过关测试】一、单选题1．（2024·全国·高一专题练习）在直角三角形中，，的重心、外心、垂心、内心分别为，，，，若（其中），当取最大值时，（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足，，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（

）A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心二、多选题3．（2024·河南郑州·高一校联考期末）点为△所在平面内一点，则（

）A．若，则点为△的重心B．若，则点为△的垂心C．若．则点为△的垂心D．在中，设，那么动点的轨迹必通过△的外心4．（2024·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（

）A．若，则点是边BC的中点B．若，则点是边BC的三等分点C．若，则点是边的重心D．若，且，则的面积是面积的5．（2024·山东枣庄·高一校考阶段练习）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则（

）A． B．C． D．6．（2024·安徽池州·高一统考期末）已知△ABC的重心为，边的中点分别为，则下列说法正确的是（

）A．B．若△ABC为正三角形，则C．若，则D．7．（2024·广东广州·高一校考期末）下列命题正确的是（

）A．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则B．在中，若O点满足，则O点是的重心C．若，把右平移2个单位，得到的向量的坐标为D．在中，若，则P点的轨迹经过的内心8．（2024·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习）点O在所在的平面内，则下列结论正确的是（）A．若，则点O为的垂心B．若，则点O为的外心C．若，则1D．若且，则点O是的内心三、填空题9．（2024·甘肃武威·高一校联考期末）记的内角的对边分别为，若O为的重心，，则.10．（2024·全国·高一专题练习）点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，、分别是边、的对角，以下命题正确的是（把你认为正确的序号全部写上）．①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中．11．（2024·辽宁·高一校联考期末）某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.若，则；若，则的值为.12．（2024·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）已知为所在平面内一点，有下列结论：①若为的内心，则存在实数使；②若，则为的外心；③若，则为的内心；④若，则与的面积比为．其中正确的结论是．（写出所有正确结论的序号）13．（2024·广西河池·高一校联考阶段练习）在中，已知，，，为的内心，的延长线交AB于点D，则的外接圆的面积为，.14．（2024·四川遂宁·高一遂宁中学校考阶段练习）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的(填序号）．①内心

②垂心

③重心

④外心15．（2024·高一课时练习）已知为的内心，，且满足，则的最大值为．16．（2024·高一课时练习）已知，，是平面内不共线的三点，为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（填“内心”“外心”“垂心”或“重心”）.17．（2024·高一课时练习）已知点是的内心，若，则.18．（2024·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考阶段练习）已知点O是△ABC的外心，，若，则．19．（2024·湖北武汉·高一期末）中，，，，点为的外心，若，则实数．20．（2024·湖北·高一校联考阶段练习）在△ABC中，已知，P是△ABC的外心，则的余弦值为.21．（2024·四川达州·高一达州中学校考阶段练习）设为的外心a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，，则．22．（2024·广东汕头·高一金山中学校考期末）已知为的外心，若，则最小值.23．（2024·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）某同学在查阅资料时，发现一个结论：已知O是内的一点，且存在，使得，则．请以此结论回答：已知在中，，，O是的外心，且，则．24．（2024·辽宁大连·高一育明高中校考期末）已知点在所在的平面内，则下列各结论正确的有①若为的垂心，，则②若为边长为2的正三角形，则的最小值为③若为锐角三角形且外心为，且，则④若，则动点的轨迹经过的外心25．（2024·全国·高一专题练习）（1）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若