第5讲 活用三角函数性质（含解析）

为.【例5】已知等腰直角▽ABC的直角顶点A在x轴的正半轴上，B在y轴的正半轴上，C在第一象限，设7BAO=θ(O为坐标原点)，AB=AC=2，当OC的长取得最大值时，tanθ的A.B.1+s5D.1.已知函数=sin是R上的偶函数，则φ的值为.________2.如果在△ABC中，角A,B为锐角，且sin2A+sin2B=sinC，则对△ABC的形状描述最准A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.以上都不对2.已知Q,β为锐角，且cos，则tanQ的最大值是________.4.已知f=sinwx+coswx，若y=f是周期为π的偶函数，则θ的A.B.C.D.5.已知△ABC满足a2+b2+c2=2absinC，则其形状为.为.【点拨】根据已知条件，利用三角恒等变换公式及向量数量积的运算律求出通项公式，然后再结合三角函数的诱导公式，即可解决本题.【点拨】根据已知条件，利用积化和差与和差化积及向量数量积的运算律，结合三角函数的诱导公式求出通项公式，即可解决本题.【解法2】【解法3】【赏析】本题以向量的数量积为载体，考查了三角恒等变换和三角函数周期性.【解法1】是利用三角恒等变换及向量数量积的运算律求出通项公式；【解法2】是利用积化和差与和差化积及向量数量积的运算律求出通项公式．两种解法都要求学生具有灵活运用公式的能力以及较强的运算化简能力.【点拨】本题直接做不太容易，考虑到选项的特点，可以采用排除法选出正确答案.代入验证，故选C.【解析】【点拨】利用三角恒等变换公式，转化为正余弦函数关系，结合角的范围及三角函数的单调性，即可得出答案.【解法2】由已知得tanα=去分母得sinαcosβ=cosα+cosαsinβ,即sin(α-β)=cosα,又因为，所以<α-β<所以α-β=即2α-β=，故选C.【点拨】利用三角函数的恒等变换，转化为正切函数关系，结合正切函数的单调性及角的范围，即可得出答案.又因为所以所以+β,故选C.【点拨】借助单位圆，寻找两个角之间的内在关系，结合角的范围，即可得出答案.【解法4】如图5-1，设A(0,-1)，B(cosβ,sinβ)，又因为在△AOB中，2θ+β+所以2θ+β=即.又因为α=β+θ,所以α=，所以+β,故选C.【赏析】解法1利用特殊值法排除选项，是选择题常用的方法，这需要学生具备较强的观察能力和逻辑推理能力.【解法2】、【解法3】都是利用三角函数恒等变换，其中“弦切互化”是恒等变形常用的手段，化到最后要注意分析角度的范围．如tanα=tanβ,只有当α,β在同一个单调区间内时，才有α=β.【解法4】根据式子的结构特点，巧用斜率定义，利用数形结合，把α当作直线的倾斜角，借助单位圆得到角的关系，方法独特，构思巧妙.【例3】f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)为偶函数，θ∈[0,π]，则θ=.【点拨】根据偶函数的定义，利用两角和与差的正余弦公式展开，结合角的范围，即可求出其值.f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)=sinxcosθ+cosxsinθ+·cosxcosθ+·sinxsinθ,f(-x)=sinθcosx-cosθsinx+·cosxcosθ-·sinxsinθ,因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sinxcosθ+·sinxsinθ=0，即sinx(cosθ+·sinθ)=0，因为sinx不恒为0，所以cosθ+sinθ=0，所以tanθ=-，又因为θ∈[0,π]，所以θ=.【点拨】对原函数求导，利用导函数的奇偶性即可求出角的大小.【解法2】因为f(-x)=f(x)，所以fI(x)=-fI(-x)，即fI(x)是奇函数.因为f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数，所以fI(x)=cos(x+θ)-·sin(x-θ)是奇函数，所以fI(0)=cosθ-·sin(-θ)=0，即cosθ+·sinθ=0，所以tanθ=-，θ=.【点拨】直接利用三角函数的周期性及对称性，结合正切函数的性质，即可求出θ.【解法3】由f(x)=f(x+2π)可得f(x)的周期T=2π.因为f(x)是偶函数，,0),|为其图象的一个对称中心， 所以f,)|=cosθ+sinθ=0，即tanθ=-，解得θ=.【点拨】考虑到偶函数的概念，对变量赋特殊值，找到角的三角函数之间的内在关系，即可求出θ.(2,(2,【解法4】因为f(x)是偶函数，所以f(|π)|=f(|-(2,(2,所以cosθ+s3sinθ=-cosθ-、i3sinθ,所以cosθ+、i3sinθ=0，即tanθ=-，θ=.【点拨】先用两角和与差的正余弦公式展开，再利用三角函数的辅助角公式进行等价变形，再结合偶函数的性质，转化为齐次式，即可求出θ.【解法5】f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)=sinxcosθ+cosxsinθ+·cosxcosθ+·sinxsinθ=sinx(cosθ+sinθ)+cosx(sinθ+cosθ)，A=·(cosθ+v3sinθ)2+(sinθ+v3cosθ)2=·1+3+4·3sinθcosθ因为f(x)是偶函数，所以x=0是一条对称轴，所以f(0)=sinθ+cosθ=±4+43sinθcosθ.所以sin2θ+3cos2θ+2·sinθcosθ=4+4·sinθcosθ,所以3sin2θ+cos2θ+2·sinθcosθ=0，所以3tan2θ+2·tanθ+1=0，【赏析】【解法1】从偶函数的定义出发，得到cosθ+·sinθ=0，求出θ的值.【解法2】利用导函数的奇偶性及定义在R上的奇函数必过原点,求出θ.【解法3】从偶函数定义出发，确定函数的类型为“y=Acos(wx+φ)”，再利用一个(2,对称中心为(|π,0)|(2,【解法4】利用特殊值直接找到关于θ的等式，求出θ.【解法5】则结合辅助角公式及该函数在对称轴处取得最值的特征求解.以上五个解法都是处理三角函数奇偶性的常见思路，选择、填空中的奇偶性问题，利用特殊值求解无疑比较方便.【点拨】去分母之后用和角公式进行变形处理，再就∠C的值进行分类讨论，即可求出∠C的大小.所以(sinC1)cos(AB)=cosC.2若上C<显然不成立；此时不成立.式及同角三角函数的基本关系式进行变形，直接就可以求出上C的值.所以[1sin(A+B)]cos(AB)=cos(A+B)，【点拨】取特殊值上C=代入，显然成立，然后否定其他情况，从而求出上C的值.【点拨】构造函数，再利用函数的单调性即可求出上C的值.【解法4】构造函数，易得f在0,),|上为减函数.等式两边的关系得到=cos进而求出上C的大小.22解法独特、巧妙.【例5】已知等腰直角ΔABC的直角顶点A在x轴的正半轴上，B在y轴的正半轴上，C在第一象限，设上BAO=θ(O为坐标原点)，AB=AC=2，当OC的长取得最大值时，tanθ的B.1+D.【点拨】数形结合，由图形可以直接看出当点O、D、C共线时OC取得最大值，进而再如图52，由题意知A,B,O三点共圆，即点O在以AB为直径的圆上.取AB的中点D，则OD=，因为OCOD+DC，所以O,D,【点拨】画出图形，然后三角换元，转化为三角函数的最值问题，利用取最值的条件即可求出tanθ的值.所以OD=OA+AD=2(sinθ+cosθ)，则OC2222θ=6+4sin2θ+2cos2θ=6+2·sin(2θ+a)，其中sina=，cosa=.当sin(2θ+a)=1时，OC的长取得最大值，即2θ+a=+2kπ,则2θ=—a+所以sin2θ=cosa=5,cos2θ=sina=所以tan2θ=角公式求出tanθ的值.【解法2】从代数角度入手，建立坐标系，使用了三角函数设参法，利用三角函数恒等变换，转化为y=Asin(wx+φ)+b的形式，结合角的范围求最值，最后利用二倍角公式求出tanθ的值.f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)(0<φ<π)是R上的偶函数，则φ的值为.________因为f=2sin是偶函数，2.如果在△ABC中，角A,B为锐角，且sin2A+sin2B=sinC，则对△ABC的形状描述最准A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.以上都不对所以sinA(sinAcosB)+sinB(sinBc3.已知α,β为锐角，且cos，则tanα的最大值是________.tan(α+β)=2tanβ当且仅当tanβ=时取得等号，所以tanα的最大值是.4.已知f(x)=sinWx+cosWx(W>0)，若y=f(x+θ)0<θ<),|是周期为π的偶函数，则θ的A.B.C.D.(4,L4」