第4讲 双变量求最值（含解析）

【例3】已知a2-ab-2b2=1，求a2+b2的取值范围。【例4】若4x2-xy+y2=25，则3x2+y2的取值范围为。设x，y满足-y2=1，则3x2-2xy的最小值是。1.若正数x,y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值为.2.已知实数x,y满足x2-4y2=4，则|x|-|y|的最小值为.3.已知x2-xy+y2=1，则x2-y2的取值范围为.4.已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y+4=0，则的取值范围为.5.已知实数a,b满足a2-b2=1，则2a2+3b2+4ab的最小值是.A.3-1B.3+1C.23+2所以ab的最小值为9。【点拨】利用均值不等式，转化为解不等式问题。【解法2】所以方程x2+(3-t)x+t=0有正根，视a，b为此方程的两根，所以ab的最小值为9。【点拨】部分换元，逆用韦达定理构造一元二次方程，并利用判别式法求解。【解法3】式子即为权方和不等式。当且仅当时取等号。所以ab的最小值为9。【点拨】对条件变形，使一边常数化，利用权方和不等式解决问题。【赏析】本题是高中数学中常见的双变量最值问题。由于条件中出现了双变量的和与积，【解法1】是应用基本不等式求最值，体现了整体法的思想。注意利用基本不等式时等号能否取得，这是很容易忽略的。解法是基于问题的结构中出现了两个数的和与积，从而逆用韦达定理构造一元二次方程，并利用其判别式求解。此法也要注意对取等条件进行检验。【解法3】利λbi时取到它的特点是分子的指数比分母高1次。灵活地使用权方和不等式常常可以起到事半功倍的化简效果，此法对学生灵活处理问题的能力要求较高。+y2所以-2x+y经检验，等号可以取到)，所以2x+y的最大值为。【点拨】利用基本不等式，巧妙配凑解决问题。【解法2】即6x2-3tx+t2-1=0，2-4×6t2-1)=24-15t20，有-t，经检验符合题意。所以2x+y的最大值为。【点拨】结合需求解的代数式2x+y，对已知条件进行变形，将多元问题转化为关于x的一元二次方程，突出主元，借助判别式法建立不等式来解决问题。【解法3】因为a.ba.b，所以2x+y经检验符合题意。所以2x+y的最大值为。5【点拨】根据题意，从向量的角度思考，是一种有新意的方法。【解法4】2所以2x+y的最大值为。【点拨】根据题中条件的形式，将变量替换，重新呈现两个变量的依托关系，转化为我们熟知的不等式最值问题。【解法5】注意到4x2+y2+xy=1是二次齐次式，可以采取如下方法：2x2k22， 综上2x+y的最大值为。【点拨】利用两个变量之间的线性关系进行变量的替换，借助齐次性解决问题。【解法6】观察题设条件联想到余弦定理。已知等式可化为2+y2-2如图4-1，构造△ABC，可以设AB=2x，AC=y，则BC=1，以下有两种思路：经检验等号可以成立。(2)如图4-2，延长BA至D点，使AD=AC=y，当BD为直径时最大，【点拨】注意题中的条件暗藏余弦定理的结构特征，再利用三角形中各角之间的关系，借助正弦定理实现边角互化。【赏析】【解法1】采用基本不等式的方法进行解题，注意利用基本不等式求最值时的口诀“一决这类问题的常用手段。【解法3】从向量的独特视角出发，构思巧妙。【解法4】通过换元转化，利用曲线的有界性求解。【解法5】构建变量之间的线性关系，采用了“1”进行代换进而齐次化方法。【解法6】采用数形结合的方法，体现了“数”“形”结合的巧妙。各解法均是处理此类问题的常规解题策略，精彩纷呈，值得学习。【例3】已知a2-ab-2b2=1，求a2+b2的取值范围。注：该题也可以采用以下换元法：【点拨】分解因式，换元后利用基本不等式解决问题。【解法2】22m222【点拨】【解法5】对条件式和差代换，消元后利用基本不等式。【解法3】所以1=a2-ab-2b2≤a2-2b2+，1，令解得λ=-3，【点拨】配凑系数利用基本不等式，然后用待定系数法解决问题。【解法4】设a222，则a=rcosθ,b=rsinθ,所以r2cos2θ-r2cosθsinθ-2r2sin2θ=1。所以因为cos2θ-cosθsinθ-2sin2θ1sin2θ-3cos2θ=--22所以cos2θ-cosθsinθ-2sin2θ∈【点拨】设值换元，转化为三角函数问题。设a22=λn2-2λ)b2+(2mn-λ)ab。所以解得负根舍去【点拨】对所求表达式齐次化，利用非负数的性质解决问题。【解法6】因为a2-ab-2b2=1，22222又令a22所以(λ-1)t2-λt-2λ-1=0，利用判别式-4λ-4≥0，所以λ≥（负解舍去)，经检验符合题意。【点拨】对所求表达式分式齐次化，化归为一元二次函数，利用判别式解决问题。【赏析】本题【解法1】、2、3都是借助基本不等式求解的，不同点在于对条件进行不同形式的转化及变形，或者利用基本不等式的不同形式。【解法4】利用三角换元化归为三角函数，实际上形如x2+y2=r2的结构，可以假设x=rcosθ,y=rsinθ,这样就可把目标函数转化为关于θ的三角函数，再利用三角恒等变换，最后借助三角函数的性质求解。【解法5】、【解法6】实质上是利用函数与方程的思想，把问题化归到一元二次函数或一元二次不等式，利用二次函数的性质构造不等式求解，如判别式Δ>0等。【例4】若4x2-xy+y2=25，则3x2+y2的取值范围为。【点拨】线性换元，转化为一元二次函数问题，利用判别式法求解。【解法2】2y2y22y2y2得3x2≤30。经检验均符合题意。【点拨】结合所求结论，合理配凑基本不等式的形式，用待定系数法解决问题。【解法3】2所以【点拨】对所求结论实现分式齐次化，换元后转化为单变元问题，利用对勾函数的性质求解。【解法4】根据条件配方有2=25，令则有2【点拨】将已知等式配方后，利用三角换元求解。【赏析】【解法1】通过线性换元，将3x2+y2表示为关于t的函数，再令k=进而将3x2+y2的取值范围问题转化为关于k的方程有解，然后利用判别式法求出t的取值范围，解法简练。对照已知和所求不难发现，应对xy项进行合理的放缩才能求出3x2+y2的取值范国。【解法2】通过待定系数，结合均值不等式，将xy放缩为然后利用x2，y2的系数比为3求出相应的t，解法巧妙，简明快捷。【解法3】先将3x2+y2除以4x2-xy+y2，再将所得分式的分子、分母同除以x2，将3x2+y2转化为关于t的函数，分离常数后，结合对的函数的图象求出的取值范園，在得到后，也可以令利用判别式法求解。【解法4】配方后利用三角换元，将原函数表示为三角函数，利用三角函数的有界性-1≤sin(2θ+φ)≤1求出3x2+y2的取值范固。如果已知的等式可分解，也可以考虑将其因式分解，然后利用配凑法或换元法求解。以上四个解法需要读者认真研读，领会要领，在解题中灵活应用。2设x，y满足-y2=1，则3x2-2xy的最小值是。所以(t,(t,2(t,t2(t,(t,2(t,t【点拨】对已知条件因式分解，然后采用单变量换元或双变量换元处理。【解法2】22【解法3】 当且仅当m=322时取等号。 【点拨】把已知条件看作双曲线，利用双曲线参数方程解题。依题意有 1斜率，双曲线的渐近线的斜率为±2 1考虑曲线y=4x2，x当直线y-1=k与曲线相切时，斜率k有最大值，此时k=12-8，【点拨】已知条件和所求结论都是二次式，可以作齐次化处理，然后利用几何意义解题或构造函数利用导数法求最值。【解法5】依题意有其中(22,(22,(22,(22,,【解法6】4(2k-3)设y=kx4(2k-3) 所以3x2-2xy=3x2 【点拨】引入变量，实现x与y的关系的单一化，为求解最值创设条件。【解法7】因为3x2-2xy=x(3x-2y)，令3x-2y=t， 2t2所以3x2-2xy=xt2-2xy6+4。【点拨】对所求代数式因式分解，然后部分换元，变为单变量问题，利用基本不等式解决问题。【赏析】本题是典型的利用不等式求解最值问题。条件中含有双变量的平方差关系，联想平方差公式之后选择变量换元的【解法1】和解法的本质相同。【解法3】利用三角换元转化为三角问题，再利用三角函数的基本关系式化简，是一种常见的方法。【解法4】和【解法5】首先将结论代数式齐次化，再进行换元，化双元为单元，转化为单变元最值问题。【解法6】考虑变量之间的线性关系，是参数方程的一种应用。【点拨】常量代换，结合基本不等式实现配凑。【解法2】【点拨】对绝对值讨论，代入消元，再利用基本不等式求解。【解法3】所以设，如图4-3所示。 ②当2<a<0时，fI(a)>0，f(a)单调递增.【赏析】【解法1】利用了“1”的代换，将分子中的“1”代换为将化为倒数形式．在处理时，要注意只有和—这两个值，显然当 时，取得最小值.【解法2】和【解法3】都利用了统一变量的思路，在处理绝对值时，都利用了分类讨论思想去绝对值．在处理最值时，【解法2】使用了对先分离常数，然后乘“1”的方法．【解法3】则直接利用导数分析关于a的函数f(a)的单调性．在利用导数求解时要注意函数的定义域，本题中函数f(a)的定义域为(—∞,0)u(0,2).利用均值不等式时，“1”的代换和乘“1”是常见的策略，解题时应予以重视．除此以外，有时也用换元、判别式、三角代换、化为齐次式等方法解题.解决双变量问题的基本策略有1）利用条件转化为单变量函数2）利用重要不等式、基本不等式3）设主元，利用函数性质解决问题4）构造具有几何意义、物理意义的问题.常用的技巧是代入法、配方法、换元法（三角换