9.2.1第2课时　锐角三角函数

第二章直角三角形的边角关系1锐角三角函数第2课时锐角三角函数知识点3正弦、余弦基础过关全练1.在△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,则下列三角函数值正确

的是

(

)A.sinA=

B.cosA=

C.tanA=

D.tanB=

A解析如图,

∵∠C=90°,AC=12,BC=5,∴AB=

=13,∴sinA=

,cosA=

,tanA=

,tanB=

,故选A.2.(教材变式·P30T3)在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=

,则cosB的值为

(

)A.

B.

C.

D.

A解析∵在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=

,∴

=

,∴cosB=

=

,故选A.3.(2024福建漳州实验中学期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=

,则sinB=

(

)

A.

B.

C.

D.

B解析∵∠C=90°,tanA=

,∴BC=

AC,∴AB=

=

BC,∴sinB=

=

=

,故选B.4.sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是

(

)A.cos28°<cos58°<sin58°B.sin58°<cos28°<cos58°C.cos58°<sin58°<cos28°D.sin58°<cos58°<cos28°C解析易知sin58°=cos32°.∵58°>32°>28°,∴cos58°<cos32°<cos28°,∴cos58°<sin58°<cos28°.故选C.5.(新独家原创)如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,且(AB-5)2+|AC-4|=0.(1)求sinA和cosA的值.(2)求sin2A+cos2A的值.

解析

(1)∵(AB-5)2+|AC-4|=0,∴AB-5=0,AC-4=0,∴AB=5,AC=4,∵∠C=90°,∴BC=

=

=3,∴sinA=

=

,cosA=

=

.(2)sin2A+cos2A=

+

=1.6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,O是AB的中点,CO=8.5,BC=8.(1)求AC的长.(2)求sinA、cos∠OCA与tanB的值.

解析

(1)∵∠ACB=90°,O是AB的中点,CO=8.5,∴AB=2CO=17.∵BC=8,∴AC=

=

=15.(2)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴sinA=

=

,tanB=

=

.∵∠ACB=90°,O是AB的中点,∴OC=

AB=OA,∴∠A=∠OCA,∴cos∠OCA=cosA=

=

.能力提升全练7.(2024山东烟台期中,7,★★☆)如图,已知△ABC的三个顶点

均在格点上,则下列结论错误的是

(

)

A.cosC=

B.tanB·tanC=1C.sinB=sinC

D.tanB=

C解析设小正方形的边长为1,由勾股定理得AC=

=

,AB=

=2

,BC=

=

,∴AC2+AB2=BC2,∴△ABC为直角三角形,且∠A=90°,∴cosC=

=

=

,tanB=

=

=

,tanC=

=

=2,sinB=

=

=

,sinC=

=

=

,∴tanB·tanC=1,sinB≠sinC,故选项A、B、D结论正确,选项

C结论错误.故选C.8.(2024山东淄博博山一中期中,8,★★☆)如图所示的是源于我国汉代数学家赵爽的弦图,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为α,则cosα的值为

(

)

DA.

B.

C.

D.

解析∵小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,∴小正方形的边长为1,大正方形的边长为5,设直角三角形较短的直角边长为a,则较长的直角边长为a+1,

其中a>0,∴a2+(a+1)2=52,∴a=3,∴a+1=4,∴cosα=

,故选D.9.(2023山东泰安新泰期末,15,★★☆)如图,在平面直角坐标

系中,点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,3),以点A为圆心,AB

的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,连接BC,则∠C的正

弦值为

.

解析∵点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,3),∴AO=4,BO=

3,∴AB=

=5.∵以点A为圆心,AB的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,

∴CO=5-4=1,∴BC=

=

,∴sinC=

=

=

.10.(2024山东单县期中,16,★★☆)如图所示,在菱形ABCD中,

DE⊥AB于E,BE=16cm,sinA=

,求此菱形的边长.

解析∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,∵DE⊥AB,∴sinA=

=

,设DE=12kcm,AD=13kcm,则AE=

=

=5kcm,∴EB=13k-5k=8k=16,∴k=2,∴AD=26cm,∴菱形的边长为26cm.11.(2023山东青岛莱西期中,17,★★☆)如图,△ABC中,AD⊥

BC,垂足为D,若BC=14,AD=12,tan∠BAD=

,求sinC的值.

解析∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°.在Rt△ABD中,AD=12,tan∠BAD=

=

,∴BD=AD·tan∠BAD=9.∵BC=14,∴CD=BC-BD=5.∴AC=

=13.∴sinC=

=

.素养探究全练12.(运算能力)(新考向·新定义试题)我们定义:等腰三角形中

底边与腰的比叫做底角的邻对(can),如图①,在△ABC中,AB=

AC,底角B的邻对记做canB,这时canB=

=

.根据上述底角的邻对的定义,解答下列问题:(1)can30°=

.

(2)如图②,已知在△ABC中,AB=AC,canB=

,S△ABC=24,求△ABC的周长.解析

(1)如图1,△ABC中,AB=AC,∠B=30°,过点A作AD⊥BC

于点D,∵∠B=30°,∴cosB=

=

,∴BD=

AB,∵△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,∴BC=2BD=

AB,∴can30°=

=

.

(2)过点A作AE⊥BC于点E,如图2,∵canB=

,∴可设BC=8x,AB=5x,