人教版数学八年级上册平方差公式教学设计

平方差公式教学设计

［教学设计思想］

本节课的教学设计是本着以人为本的教育思想，开展课堂教育活动。充分利

用学生原有的认知结构，产生认知冲突，通过合作探究，将数学困惑化解于无形。

在探究问题的过程中，使学生体会到交流与合作的重要性。将知识的建构权还给

孩子，让孩子们在和谐愉悦的课堂氛围中学会学习。

［教学设计思路］

本节课的整个教学程序是这样的：首先，学生通过复习计算，发现平方差公

式的计算规律，进而产生应用的愿望。通过对规律验证过程的体验，使学生进一

步的认识到数学学科的严谨性与科学性，体会数学来源于实践，又应用于实践的

道理。在公式的应用过程中，学生们将遇到挑战，转化思想、整体化思想在这里

成为解题的关键。在教师的引导下，学生开始尝试对研究的问题进行转化，开展

自主探究。同时，教师适当介入，并引导学生发现解决这个问题的关键是把握知

识的本质一一公式的结构。在练习中采取分层测试的方式，使得不同的学生都有

所收获，有效的维护学生的求知欲与自信心。总之，整个教学过程围绕着“实

践中观察、发现一一产生猜想一一验证猜想一一获得新知一一实践应用”这一过

程展开的。

一、教材分析体课在教材中的地位、作用和意义上

乘法公式实际是两个特殊的多项式相乘及其所得的结果，由于在数学运算中

经常用到，就把它们作为公式。《平方差公式》是在学生已经掌握了多项式乘法

之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，体现教材从一般到特殊的意图,

是从一般到特殊的认知规律的典型范例.教材为学生在教学活动中获得数学的思

想方法、能力、素质提供了良好的契机，对它的学习和研究，不仅给出了特殊的

多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分

母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的

学习提供了方法。因此，平方差公式在教材中有承上启下的作用，它对培养学生

符号感和抽象概括能力有着重要的作用，同时，在利用公式过程中，所反映出的

转化思想、整体化思想以及应用意识，都将对学生产生潜移默化的影响，对提高

学生的数学素养有着积极的作用。

因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第

一个公式，也是最基本、用途最广泛的公式之一，可以说，它是构建学生代数知

识结构，培养学生化归、换元、整体的数学思想方法的重要载体，让学生感受数

学的再创造性。是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应技能的重要内容。

二、学情分析:

1.学生的知识技能基础：学生在前面的学习中，已经学习了整式的有关内

容，并经历了用字母表示数量关系的过程，有了一定的符号感.经过一个学期的

培养，学生已经具备了小组合作、交流的能力.学生刚学过多项式的乘法，已具

备学习并运用平方差公式的知识结构，通过创造问题情境，让学生承担任务，在

探究相应问题中，建立并运用公式，从而使拓展学生知识技能结构成为可能.通

过实际问题的探究，学生已感受到多项式乘法运算的重要性，同时，具备了对式

的运算基础“快”“准”的积极心理，学生已具备学习公式的知识与技能结构，

通过新课程教学的实施，培养学生具有独立探索、合作交流的习惯.

2.学生活动经验基础：学生已熟练掌握了幕的运算和整式乘法，但在进行多项

式乘法运算时，常常会弄错某些项的符号及漏项等问题，学生学习平方差公式的

困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生的理解，当公式中a、

b是式时，要把它括号再平方。因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，

并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解.本节课关注学

生对公式的探索过程，有意识的培养学生的推理能力，让学生经历“引入f形式

一理解一应用一深化公式”的知识发生过程，并有条理地表达自己的思想，培养

学生的数感和符号感，真正理解公式的来源、本质和应用。

经过一段时间的整式学习，学生们基本上掌握了多项式的乘法的方法，进一

步学习它的特殊形式一一公式，是激发学生求知欲的良好时机。公式的出现，为

学生在繁琐的运算中辟出了一条新路。

三、教法与学法:

（-）教法分析

1、让学生了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方

差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题.在数学活动中，引导学

生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，并在练习中，对发生

的错误做具体分析，加深学生对公式的理解。

2、采用启发式、探索式教学方法,整个探究学习的过程充满了师生之间、学

生之间的交流和互动，体现了教师是教学活动的组织者、引导者，而学生才是学

习的主体。以创设情境激发学生的兴趣；合作探究得出公式，领会公式的结构特

征；多媒体演示及讨论理解几何意义，达到形象直观化的视觉效果以突破难点，

发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣.同时，让学生在公式的

运用中积累解题的经验，体会成功的喜悦。

（二）学法分析

在教学中引导学生观察、分析多项式乘法及其结果的基础上，逐步完成平

方差公式的符号语言、文字语言和图形语言的互化，领会一般到特殊的研究数学

问题的方法，最终能正确运用公式，从而落实重点。学生积极参与、大胆猜想、

自主探索和合作交流。

平方差公式教学设计

【课题】14.2.1平方差公式

【教材】人教版八年级数学上册

【课时安排】2个课时.

【教学对象】八年级（上）学生.

【授课教师】湖北省赤壁市车站学校李道生

一、教学目标

1、经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能

力；在计算的过程中发现规律，掌握平方差公式的结构特征，并能用符号表达，

体验符号运算对证明猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美，从而体

会数学语言的简洁美，培养他们的合情推理和归纳的能力以及在解决问题过程中

与他人合作交流的重要性.同时，让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会

成功的喜悦.培养学生的建模思想和抽象思维能力，感受换元和化归的思想。

2、理解平方差公式的结构特征与本质特征--形变质不变，即“结构特征

的不变性，字母形式的可变性”；掌握平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2,达到正

用公式的水平，形成正向产生式：

“（□+△）（□-△）”一“口2一a.

在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛

含义，并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深学生对公式的理解.通过练

习渗透数学中的“整体思想”与“配凑思想”，提高同学们解决问题的能力。

3、在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，会用几何图形说明

公式的意义，体会数形结合的思想方法，体会数学源于实际，高于实际，运用于

实际的科学价值与文化价值。

二、教学重点和难点

重点：经历探索并归纳平方差公式的过程，理解公式的本质和结构特征，能

用自己的语言说明公式及其特点，灵活运用平方差公式进行简单的运算。

难点：1.利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，从实际中抽象出字

母符号式子的符号化的过程，发展观察、归纳、概括等能力。

2.平方差公式的本质：形变质不变，即“结构特征的不变性，字母形式的可变

性”（强调平方差公式的本质，即结构特征的不变性，字母形式的可变性；指出学习此公式

的用途；通过问题进一步化解，结构的不变性，字母的可变性'这一难点，并为下一节内容的

学习埋下伏笔）

3.理解公式中字母的广泛含义

（预计学生学习上的困难：（1）对于平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b\引入

是为了简化多项式乘法，没有这种认识之前，学生对左右两边都是多项式的“公

式”还不认可，这会增加教学的困难.（2）数学公式都有其产生的背景、引入的

目的、形成的过程和自身的结构特征，这些教材上是无法一一阐述的.我们教学

时往往不去刻意创设学习情景，营造公式产生的氛围，引导学生经历公式的探索

过程，而是照本宣科，生搬硬套，过于直接的教学不利于化解难点.（3）数学公

式中字母的高度概括性、广泛应用性及换元思想的渗透，对八年级学生的思维水

平还难适应，（a+b）（a-b）=a2-b2；（l+2x）（l-2x）=l-4x2；（-4a-l）（4a-l）

=1-I6a2都是用平方差公式，102X98也能用平方差公式，使得习惯于机械模仿

和解题程序化的学生思维受阻，造成困难.

基于以上情况，我们把教学难点定为：利用数形结合的数学思想方法解释

平方差公式，从实际中抽象出字母符号式子的符号化的过程，发展观察、归纳、

概括等能力）

关键：对于平方差公式的推导，我们可以通过教师引导，学生观察、•总结、

猜想，然后得出结论来突破；抓住平方差公式的本质特征，是正确应用公式来计

算的关键.教学方法采用“情境——探究——猜想——归纳——验证——

应用——拓展”的教学方法，让学生在观察、猜想中总结出平方差.

三、教学过程

L创设情境，导入课题

（1）速算王比拼：智力抢答

1.21X192.103X97

3.26X244.55X455.32X28

大家都在笔算，但有人能一口清，快速心算出来，他是用什么方法心算的呢？

(通过“速算王的绝招”这一故事的情境创设，引发学生学习的兴趣，同时激发

了学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课)

2.探索新知，尝试发现

问题1：这一组算式有什么共同特征，你能用统一的形式表示吗？

【生】这里的两个数相加都是整十或整百的数(21+19=40；103+97=200；26+24

=50.....)，都可以表示成两数和乘以这两数差的形式：(20+1)(20-1)；(100+3)

(100-3)；(25+1)(25-1)；(50+5)(50-5)；(30+2)(30-2)

问题2：如果我们用字母表示这两个数，比如用字母a,b分别表示这两个数，

那么以上各个算式，可以用字母表示成什么形式？

【生】(a+b)(a-b)

【师】这是两个二项式相乘的形式，利用多项式乘法法则，大家计算一下，结

果是什么形式？

【生】(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2

【师】根据上面用字母a,b表示的算式的一般形式右边的结果，大家再回过头

来，计算上面的智力抢答题：

1.21X19=(20+1)(20-1)=20-12=399；2.103X97=(100+3)(100-3)

=1002-32=9991；3.26X24=(25+1)(25-1)=252-12=624；4.55X45(=50+5)

(50-5)=50-52=2475；5.32X28=(30+2)(30-2)=302-22=896

3.数形结合，几何说理

问题3：在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩余的两个长方形拼

成一个长方形，你能用这两个图形的面积说明(a+b)(a-b)=14?的正确性吗？

如图：在边长为a的大正方形的一角剪去一个边长为b的小正方形。

(1)图中的阴影部分(即余下部分)的面积是

［生］剪去一个边长为8的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积

为3—阴.

(2)你能否将阴影部分拼成一个完整的长方形图案吗？

［生］把剩下的图形（即上图阴影部分）先剪成两个长方形（沿上图虚线剪

开），我们可以注意到，上面的大长方形宽是（a—力，长是a;下面的小长方形长

是（a—6）,宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形

的宽和小长方形的长都是（a—8）,我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个

如图1一24所示的图形（阴影部分），它的长和宽分别为（a+6）,（a—6）,面积为

（a+b）（a—b）.

（3）比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？

［生］割补不改变图形面积的大小，这两部分面积应该是相等的，即

（先■垃（a—吩=^—

4.观察思考，发现新知

问题4：观察等式（广力（a-6）=a2—斤的形式，你看到了什么？

引导学生进行观察，可介绍观察的方法：有序观察，局部观察（把握细节）,

整体观察（抓住关键），如从左到右的顺序，观察汉字“明”，可看到日与月，它

们组成汉字“明”

［生］（1）看到等式出现两数和，两数差，两个数的平方差，两数和乘以两

数差，及它们之间的相等关系，等式的左右两边都是围绕着两个数展开运算的。

2222

（2）看到计算结果简单（四项差变成两项：（a+b）（a-b）=azab+ab-b=a-b）0

（3）看到等式两边都有整齐对称的特点：（a+b）|（a-b）=a21-b2

问题5：看到等式以上特点，你有什么感觉与想法？

［生］（1）有一种“二”的感觉（这里是指成双成对的意思，采取诙谐的说

法，感觉更强烈）；有一种“万变不离其宗”的感觉；有一种“生成”的感觉（对

同一现象，不同人的感觉有时是不同的，不一定都准确，但产生感觉是非常重要

的，尽管感觉有时说不清道不明）；有一种“好事成双”的感觉；有一种“阴阳

合一”的感觉；有一种“并驾齐驱”的感觉。

（2）有一种“简单”的感觉。

（3）有一种“对称美”的感觉。

［师］跟着感觉走，有感觉就会有兴趣，就会思考其中的奥秘。科学上的许

多重要发现，就是科学家对观察到的现象产生强烈感觉而去研究发现的。从感性

到理性，才是科学的态度。

观察以上等式整齐对称的特点，特别是运算结果的简单性，感觉以上形式的

多项式乘法，值得我们探索研究，总结规律。

5.剖析公式，总结规律

［师］上面，我们看到等式(外力)(〃-6)=&2—62整齐对称，结果(平方差)

简单易记的特点.因此，如果我们把具有以上特殊形式的等式作为公式，熟记入

心，那么以后见到类似特殊形式的多项式相乘，就可以直接运用公式写出结果，

不需要运用多项式乘法法则“项项相乘”这一复杂过程了，这就是我们研究以上

特殊关系的多项式乘法的价值所在。

上面，我们己经看到等式(a+5)(&一力)=才一力2的特点及作为公式使用的原

因，为了更好的运用此公式简化多项式的乘法运算，我们必须剖析公式，总结规

律。

(1)取名：在总结规律之前，先给它取个名称，以便称呼它，根据公式右边

的特点，我们给它取名“平方差公式”。

(界6)(a—6)=才一〃

(2)你能用文字语言表示所发现的规律吗？

［生］两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

(a+b)(a—b)=a2-