人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)：§ 5 7 三角函数的应用

§5.7三角函数的应用

【学习目标】1.会用三角函数模型解决一些简单的实际问题2体会三角函数是描述周期变化

现象的重要函数模型.

知识梳理梳理教材夯实基础

知识点一三角函数的应用

1.三角函数模型的作用

三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题，在刻画囿

期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用.

2.用函数模型解决实际问题的一般步骤

收集数据一画散点图一选择函数模型一求解函数模型一检验.

知识点二函数y=Asin（cox+0），A>0,。>0中参数的物理意义

预习小测自我检验

1.函数y=3sin&—§的初相为.

『答案』~1

2.某人的血压满足函数式式f）=24sinl60而+110,其中共。为血压（单位：mmHg）,/为时间（单

位：min）,则此人每分钟心跳的次数为.

『答案』80

『解析』V/（r）=24sin160^+110,

•7=区=上，『380

••/co160兀80,/T3U，

,此人每分钟心跳的次数为80.

3.初速度为v0,发射角为0,则炮弹上升的高度y与6之间的关系式《是飞行的时间）为（）

A.y=votB.y=0o/sin。

C.y=Votsm0-^gf-D.y=Votcos0

『答案』C

『解析』由速度的分解可知炮弹上升的初速度为oosinO,故炮弹上升的高度y=oofsind—3

gt2,故选C.

题型探究探究重点提升素养

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一、三角函数在物理中的应用

例1已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间心)的变

化规律为s=4sin(2f+^|,re『0,+8).用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列

问题：

(1)小球在开始振动。=0)时的位移是多少？

(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？

(3)经过多长时间小球往复振动一次？

解列表如下：

支3兀

0712兀

2~2

兀717兀5兀

t

~612312~6

s040-40

描点、连线，图象如图所示.

⑴将r=0代入s=4sin(2t+。得s=4sin,=2小，所以小球开始振动时的位移是入巧cm.

(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和一4cm.

⑶因为振动的周期是兀，所以小球往复振动一次所用的时间是兀s.

反思感悟处理物理学问题的策略

(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性.

(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与

对应的三角函数知识结合解题.

跟踪训练1已知电流/与时间/的关系为/=Asin(&+9).

⑴如图所示的是/=Asin(M+9)]o>0,|夕尚在一个周期内的图象，根据图中数据求/=

Asin(①什夕)的『解析』式；

(2)如果/在任意一段吉的时间内，电流/=Asin(o什°)都能取得最大值和最小值，那么。的

最小正整数值是多少？

解(1)由题图可知A=300,设—go。,欠=]80,

则周期T=2«2—2=2(J^+焉■)=*.

2兀

.•・口=片=150兀.

又当时，，=0，即sin(150兀•焉j+，=0,

而阳¥，；呷弋

故所求的『解析』式为/=300sin(150兀

(2)依题意知，周期TW击，即引W击(o>0),

...。2300兀>942,又。GN*,

故所求最小正整数。=943.

二、三角函数在生活中的应用

例2通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y=Asin(ox+0)+6的图

象.某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出

现在凌晨2时，最低温度为零下2℃.

(1)求出该地区该时段的温度函数y=Asin(0x+e)+6(A>O,。>0,|夕卜无，龙e『0,24))的表达式;

(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃,教室就要开空调，请问届时

学校后勤应该开空调吗？

[A+b=14,A=8,

解⑴由题意知2,解得

b=6,

T兀

易知2=14—2,所以T=24,所以①=后,

易知8sin[*><2+，+6=—2,

即—1,

兀71

故五义2+夕=—]+2%兀，

又191V兀，得9=一弓"，

所以丁=85诂佶元一为+6(%£If0,24)).

(JI2兀、

(2)当x=9时，y=8sin厄X9一司+6

7171

=8sinT^+6<8sin之+6=10.

12o

所以届时学校后勤应该开空调.

(学生留)

反思感悟解三角函数应用问题的基本步骤

跟踪训练2健康成年人的收缩压和舒张压一般为120〜140mmHg和60〜90mmHg.心脏跳动

时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数

就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p⑺=115+

25sin(160兀其中p⑺为血压(mmHg),f为时间(min),试回答下列问题：

(1)求函数p⑺的周期；

(2)求此人每分钟心跳的次数；

(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较.

解(DT若=品/(而n).

(2»=4=80.

(3)p(0max=115+25=140(mmHg),

p(r)min=H5-25=90(mmHg),

即收缩压为140mmHg,舒张压为90mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90mmHg,

在正常值范围内.

三、数据拟合模型的应用

例3下表所示的是某地2000~2019年的月平均气温(华氏度).

月份123456

平均气温21.426.036.048.859.168.6

月份789101112

平均气温73.071.964.753.539.827.7

以月份为X轴，x=月份一1,平均气温为y轴建立平面直角坐标系.

(1)描出散点图，并用正弦曲线去拟合这些数据；

(2)这个函数的周期是多少？

⑶估计这个正弦曲线的振幅A;

(4)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？

=cos;y~46TlXy~4671X

®Af②=COS不;③=COS不;

A-A

公厂26.we

所7一二sin不

解(1)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示.

(2)1月份的平均气温最低，为21.4华氏度，7月份的平均气温最高，为73.0华氏度，根据散

点图知科=7—1=6,7=12.

⑶24=最高气温一最低气温=73.0-21.4=51.6,

・・・A=25.8.

(4)，・"=月份—1,・'・不妨取x=2—1=1,y=26.0,

代入①，得去=|11>1女05/，・••①不适合.

AZD.OO

小、c,口)—4626.0—4671

代入②，付.&=~-<0^cos6)

，②不适合，同理，④不适合，③最适合.

反思感悟处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤

(1)根据原始数据绘出散点图.

(2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.

(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数『解析』式.

(4)利用函数『解析』式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依

据.

跟踪训练3下表中给出了在24小时期间人的体温的变化（从夜间零点开始计时）:

时间

024681012141618202224

（时）

温度

36.836.736.636.736.83737.237.337.437.337.23736.8

（℃）

⑴作出这些数据的散点图；

⑵选有用一个三角函数来近似描述这些数据.

解（1）散点图如图所示，

37.6

37.4

37.2

37

36.8-..•

36.6•

36.4

024681012141618202224t/h

(2)设t时的体温y=Asin((y/+(p)+c,

37.4+36.6-I,37.4—36.62兀2兀兀

由表知ymax=37.4,ymin=36.6,则c=2=37,A.-2=0.4,7=24=]2,

由0.4sin(*X16+，+37=37.4,得sin借+，=1,

・25兀,〜e571

・・9=2攵兀一不，kGZ,取9=一不,

故可用函数y=0.4sin（，1一引+37来近似描述这些数据.

随堂演练基础巩固学以致用

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)

71D.4,全

C.-3

『答案』C

『解析』相位是5x—?当x=0时的相位为初相即一会

2.电流强度/(A)随时间f(s)变化的关系式是/=5si1100就+2，则当f=4s时，电流强度/

为()

A.5AB.2.5AC.2AD.-5A

『答案』B

『解析』将代入/=5sin(100?u+1),得/=2.5A.

3.如图所示的是一个单摆，以平衡位置0A为始边、0B为终边的角6*(一兀＜