新教材高中数学必修第一册第三章函数的概念与性质

第三章函数的概念与性质

［数学文化］——了解数学文化的发展与应用

1.早期函数概念——几何观念下的函数

十七世纪伽利略(GGalileo,意，1564〜1642)在《两门新科学》一书中，几乎

全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关

系.

1673年，德国数学家莱布尼茨首次使用“function”(函数)表示“累”.

莱布尼茨

2.十八世纪函数概念——代数观念下的函数

1718年约翰・贝努利(BernoulliJohann,瑞，1667〜1748)在莱布尼兹函数概念

的基础上对函数概念进行了定义；1755年，瑞士数学家欧拉将函数定义为“如

果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的

函数

欧拉

3.十九世纪函数概念——对应关系下的函数

1837年德国数学家狄利克雷提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确

定的值与之对应，则y是x的函数

1930年新的现代函数定义为，若对集合M中的任意元素x,总有集合N中的确

定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=/U).元素x称为

自变元，元素y称为因变元.

19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合

和对应语言表述，言简意赅地讲述了数学中一个最重要的概念一一函数.

狄利克雷

［读图探新］——发现现象背后的知识

例：新中国成立后共进行了六次人口普查

好奇心与年龄的变化

各次普查得到的人口数据如下表：

40*年份195319641982199020002010

3Q：♦.总人口数（亿）5.96.910.111.312.713.4

2,110111213141-51

函数的概念（图一）函数的表示（图二）

函数的最值（图三）函数的奇偶性（图四）

问题1：图一中青少年的好奇心与其年龄，图二中每次人口普查的年份与其对应

的总人口数是否存在一一对应的关系呢？如何刻画这些变量间的对应关系呢？

问题2：“菊花”烟花设计者为了达到施放烟花的最佳效果，制造时应精心设计

烟花达到最高点时爆裂，如何确定烟花爆裂的最佳时刻？

问题3：天安门是轴对称图形，联想一下：如何用自然语言描述函数的图象特征

呢？

链接：图一、图二中存在一一对应关系，这种变量间的对应关系常用函数模型来

描述，函数可以用图象法、列表法和解析法来表示；图三、图四可以用函数的最

值和奇偶性刻画函数的性质.

3.1函数的概念及其表示

3.1.1函数的概念

第一课时函数的概念(一)

课标要求素养要求

1.在初中用变量之间的依赖关系描述函

数的基础上，用集合语言和对应关系刻1.通过对函数概念的理解，提升数学抽

画函数，建立完整的函数概念；象素养；

2.体会集合语言和对应关系在刻画函数2.通过求简单函数的定义域，提升数学

概念中的作用；运算素养.

3.了解构成函数的要素，能求简单函数

的定义域.

课前预习知识探究

教材知识探究

A情境引入

某物体从高度为44.1m的空中自由下落，物体下落的距离s(m)与所用时间r(s)

的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为s=；gp,其中g取9.8m/s，

bi

问题1时间r和物体下落的距离s有何限制？

提示0WfW3,0WsW44.1.

问题2时间t(0WtW3)确定后，下落的距离s确定吗？

提示确定.

问题3下落后的某一时刻能同时对应两个距离吗？

提示不能.

上新知梳理

函数的概念注意函数概念中的任意性、唯一性

一般地，设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任

意一个数x,按照某种确定的对应关系方在集合8中都有唯

概念

二确定的数y和它对应，那么就称/：A-B为从集合A到集

合8的一个函数

对应关

y=/U),

系

三要素

定义域工的取值范围

值域与x对应的y的值的集合伏

教材拓展补遗

［微判断］

1.函数的定义域和值域一定是无限集合.(X)

提示函数的定义域和值域也可能是有限集，如犬无)=1.

2.根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(X)

提示根据函数的定义，对于定义域中的任意一个数x,在值域中都有唯一确定

的数y与之对应.

3.在函数的定义中，集合3是函数的值域.(X)

提示在函数的定义中，函数的值域是集合8的子集.

［微训练］

1.函数y=yjx—l的定义域是.

解析只需满足x—120,

答案｛x\x^1)

2.若兀x)=/—、x+1,则火3)=.

解析负3)=9—小不1=9—2=7.

答案7

［微思考］

1.在函数的概念中，如果函数y=/(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域

确定吗？

提示确定，---对应.

2.如果函数y=/(x)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？

提示不确定，例如函数的定义域为A={—1,0,1},值域为B={0,1},则

对应关系或Hx)=|x|均可.

课堂互动题型剖析

题型一函数关系的判断关键看任意的x,是否有唯一的y对应

【例1】(1)设M={x|0WxW2},N={y|0WyW2},给出下列四个图形，其中能

表示从集合M到集合N的函数关系的有()

A.0个B.1个

C.2个D.3个

(2)已知集合4={x|0WxW8},集合8={x|0W无W4},则下列对应关系中，不能看

作是从A到3的函数关系的是()

A./：B/：x^y=^x

C.f：尤-”=5D/：x-^y=x

解析(1)①错，x=2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性.②对，同时满

足任意性与唯一性.③错，x=2时，对应元素y=N,不满足任意性.④错，x

=1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性.

(2)根据函数的定义，对于D,在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与

它对应，故不正确.

答案(1)B(2)D

规律方法1.根据图形判断对应关系是否为函数的方法

(1)任取一条垂直于无轴的直线/;

⑵在定义域内平行移动直线/;

(3)若/与图形有且只有一个交点，则是函数：若在定义域内没有交点或有两个或

两个以上的交点，则不是函数.

2.判断一个对应关系是否为函数的方法

T两非空实数集A，B|----

|函教的概念卜T一对一或多时一I--------T作出判断|

T」中不能有轲余元素|—

【训练11⑴若函数y=/U)的定义域为M={x|-2WxW2},值域为N=

{y|0WyW2},则函数y=/(x)的图象可能是()

(2)已知集合知={-1,1,2,4},N={1,2,4),给出下列四个对应关系：

①尸总②y=x+l,③y=x—1,④尸用，其中能构成从M到N的函数是()

A.①B.②

C.③D.④

解析(1)A中的定义域不是{x1-2WxW2},C中图形不满足唯一性，D中的值域

不是{y|0〈yW2},故选B.

(2)只有y=国是符合题意的对应关系，故选D.

答案(1)B(2)D

题型二求函数值求值时，明确函数解析式，代人求值

【例2】已知兀。=存。昼&且尤W—l),g(x)=f+2(xeR).

1I4

(1)求人2),g(2)的值;

(2)求/[g(3)]的值.

解(1)：次幻=72彳,.\A2)=]+2=G，

又:g(x)+2,•*•^(2)—2~-l-2—6.

(2)・・・g(3)=32+2=ll,

规律方法求函数值的方法及关注点

(1)方法：①已知./U)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得.穴。)的值；②

求1Ag3))的值应遵循由里往外的原则•

(2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无

意义.

x~\~1

【训练2】已知函数人刈=壬.

⑴求42)；⑵求用⑴].

._x+12+13

解⑴.]')=壬，.M2)=4-

1+12/2,

(2加1)=7司=？力*1)]=/(53j2=5

题型三求函数的定义域

定义域是使函数关系式有意义的自变量x的取值范围

【例3】求下列函数的定义域：

⑴厂

(x+1)2i——

⑵尸一币~1f

x—1W0,

2

解(1)要使函数有意义，当且仅当，干20，

j+1W0,

解得x>—1且xWl,

所以这个函数的定义域为3f>—1且xWi}.

x+170,

(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足

U—xkO,

解得xWl且xW—1,

即函数定义域为{x|x〈l且xW-l}.

规律方法当函数解析式较复杂，要先确定全部限制条件，依次列出不等式或不

等式组，再分别求出每个不等式的解集，最后求出这些集合的交集即为函数的定

义域.

【训练3】⑴函数义的定义域为()

B.{x|x>l}

Djx-1或x>l

(2)设全集为R,函数的定义域为则[1<加为(

A.{小>2}B.{x|x<2}

C.W}D.{小，2}

解析(1)要使函数有意义，自变量X的取值必须满足

2x—120,[x2],

，一以解得

I，N。，[x#±l,

即且xWl,故选C.

(2)自变量x的取值必须满足2—x20,即xW2,

.,.M={4rW2},；.]RM={X|X>2},故选A.

答案(1)C(2)A

核心素养全面提升

一、素养落地

1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象、数学运算素养.

2.函数符号"y=Ax)”是数学中抽象符号之一，"y=/(x)”仅为y是x的函数的

数学表示，不表示y等于/与x的乘积，；U）也不一定是解析式，还可以是图表或

图象.

二、素养训练

1.下列关于函数y=/U）的说法正确的是（）

①y是x的函数；②x是y的函数；③对于不同的无，y也不同；④我。）表示x=a

时，/U）的函数值是一个常数.

A.①④B.②③

C.①③D.②④

解析根据函数的定义，对于不同的x,y可以相同，例如/U）=L

答案A

2.已知函数则4[1=（)

3

B.一

aa

C.aD.3Q

解析0=半=3”•故选D.

a

答案D

3.下列函数中定义域为R的是（)

A.y=《B.y=(x-1)°

C.y=W+3D.y=~

解析A中xNO,B中要求九W1,D中xWO.故选C.

答案c

4函.数/（x）—"手的定义域为（

)

A卜母

C.|xO<x^^|D.{xx<0或OaW,

1—3xNO,i

解析要使«r）有意义，只需满足，一即xW々且xWO,故选D.

答案D

5.若A={x|0WxW2},8={），|l〈yW2},下列图形中能表示以A为定义域，B为

值域的函数的是（）

解析A中值域为{y|0WyW2},故错误；C,D中值域为{1,2},故错误，故选

B.

答案B

课后作业巩固提高

基础达标

一'选择题

1.下列四个图形中，是函数图象的是（

A.①B.①③④

C.①②③D.③④

解析由每一个自变量x对应唯一一个凡r）可知②不是函数图象，①③④是函数

图象.

答案B

2.设/：X-九2是集合A到集合8的函数，如果集合8={1},那么集合A不可能

是（）

A.{1}

C.{-1,1}D.{-1,0}

解析若集合A={-1,0},则OGA,但02B,故选D.

答案D

3.图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是()

A.①②B.①④

C.①②④D.③④

解析根据函数的定义，可以多对一，或一对一，故选B.

答案B

4.函数1—尤+m的定义域为()

A.{xpWl}B.{x|九20}

C.{x|x》l或xWO}D.{x|04Wl}

1一尤20,

解析由题意可知彳、八解得OWxWL

1x^0,

答案D

5.四个函数：①y=x+l；②>=/；③y=/-1；④其中定义域相同的函数有

()

A.①②③B.①②

C.②③D.②③④

解析①②③中函数的定义域均为R,而④中函数的定义域为{RxWO},故选A.

答案A

二'填空题

9r

6.若fix)=7+2'则1)=.

一一22

解析.AD=772=3-

2

答案3

7.已知函数y(x)=、x—3,.*a)=3,则实数a=.

解析出a)=Na—3=3,/.a=12.

答案12

8.已知集合A={1,2,3},B={4,5},则从A到8的函数/U)有个.

解析利用列表法确定函数的个数.

川)44445555

42)44554455

43)45454545

答案8

三'解答题

9.2018年是中国高铁发展迅速的一年，山东某一高铁站1〜12月份的客流量走势

如图所示.

⑴求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域；

(2)根据图象，求9月份所对应的客流量.

解(1)由走势图可知，函数的定义域为{x|l〈xW12且xGN*},值域为

{y|100WyW160}.

(2)由图形知，9月份所对应的客流量约为100万人次.

10.山东某中学2018级高一同学选科走班情况，选择人数较多的6个组合分别是

组合代码组合组合人数

1物化生500

2政史地300

3