线性代数与线性规划概率论与数理统计基础数学实验

线性代数与线性规划基础数学实验矩阵实验目的掌握矩阵的输入方法.掌握利用Mathematica(4.0以上版本)对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算,并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.基本命令在Mathematica中,向量和矩阵是以表的形式给出的.1.表在形式上是用花括号括起来的若干表达式,表达式之间用逗号隔开.如输入{2,4,8,16}{x,x+1,y,Sqrt[2]}则输入了两个向量.2.表的生成函数最简单的数值表生成函数Range,其命令格式如下:Range[正整数n]—生成表{1,2,3,4,…,n};Range[m,n]—生成表{m,…,n};Range[m,n,dx]—生成表{m,…,n},步长为dx.(2)通用表的生成函数Table.例如,输入命令Table[n^3,{n,1,20,2}]则输出{1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859}输入Table[x*y,{x,3},{y,3}]则输出{{1,2,3},{2,4,6},{3,6,9}}3.表作为向量和矩阵一层表在线性代数中表示向量,二层表表示矩阵.例如,矩阵可以用数表{{2,3},{4,5}}表示.输入A={{2,3},{4,5}}则输出{{2,3},{4,5}}命令MatrixForm[A]把矩阵A显示成通常的矩阵形式.例如,输入命令:MatrixForm[A]则输出但要注意,一般地,MatrixForm[A]代表的矩阵A不能参与运算.输入B={1,3,5,7}输出为{1,3,5,7}输入MatrixForm[B]输出为虽然从这个形式看向量的矩阵形式是列向量,但实质上Mathematica不区分行向量与列向量.或者说在运算时按照需要,Mathematica自动地把向量当作行向量或列向量.下面是一个生成抽象矩阵的例子.输入Table[a[i,j],{i,4},{j,3}]MatrixForm[%]则输出注:这个矩阵也可以用命令Array生成,如输入Array[a,{4,3}]//MatrixForm则输出与上一命令相同.4.命令IdentityMatrix[n]生成n阶单位矩阵.例如,输入IdentityMatrix[5]则输出一个5阶单位矩阵(输出略).5.命令DiagonalMatrix[…]生成n阶对角矩阵.例如,输入DiagonalMatrix[{b[1],b[2],b[3]}]则输出{{b[1],0,0},{0,b[2],0},{0,0,b[3]}}它是一个以b[1],b[2],b[3]为主对角线元素的3阶对角矩阵.6.矩阵的线性运算:A+B表示矩阵A与B的加法;k*A表示数k与矩阵A的乘法;A.B或Dot[A,B]表示矩阵A与矩阵B的乘法.7.求矩阵A的转置的命令:Transpose[A].8.求方阵A的n次幂的命令:MatrixPower[A,n].9.求方阵A的逆的命令:Inverse[A].10.求向量a与b的内积的命令:Dot[a,b].实验1求方阵的行列式例1计算=输入Clear[A];A={{4,-3},{5,2}};Det[A]23例2、计算行列式Clear[A];A={{3,0,0,-5},{-4,1,0,2},{6,5,7,0},{-3,4,-2,-1}};Det[A]466例3、计算行列式Clear[A,a[1,2],a[2,4],a[3,1],a[4,3]];A={{0,a[1,2],0,0},{0,0,0,a[2,4]},{a[3,1],0,0,0},{0,0,a[4,3],0}};Det[A]//SimplifyClear[A,a,b,c,d];A={{0,a,0,0},{0,0,0,b},{a,0,0,0},{0,0,d,0}};Det[A]//Simplify-abcd例2计算行列式.162例4计算Clear[A];A={{3,1,1,1},{1,3,1,1},{1,1,3,1},{1,1,1,3}};Det[A]48例5计算行列式Clear[A];A={{1,2,3,4},{1,0,1,2},{3,-1,-1,0},{1,2,0,-5}};Det[A]-24例6计算行列式Clear[A];A={{5,3,-1,2,0},{1,7,2,5,2},{0,-2,3,1,0},{0,-4,-1,4,0},{0,2,3,5,0}};Det[A]-1080例1.10求行列式输入Clear[A];A={{3,1,-1,2},{-5,1,3,-4},{2,0,1,-1},{1,-5,3,-3}};Det[A]输出为40例1.11求输入Clear[A,a,b,c,d];A={{a^2+1/a^2,a,1/a,1},{b^2+1/b^2,b,1/b,1},{c^2+1/c^2,c,1/c,1},{d^2+1/d^2,d,1/d,1}};Det[A]//Simplify则输出实验2矩阵A的转置函数Transpose[A]例2.1求矩阵的转置.输入ma={{1,3,5,1},{7,4,6,1},{2,2,3,4}};Transpose[ma]//MatrixForm输出为如果输入Transpose[{1,2,3}]输出中提示命令有错误.由此可见,向量不区分行向量或列向量.实验3矩阵线性运算例3.1设求输入A={{3,4,5},{4,2,6}};B={{4,2,7},{1,9,2}};A+B//MatrixForm4B-2A//MatrixForm输出为如果矩阵A的行数等于矩阵B的列数,则可进行求AB的运算.系统中乘法运算符为“.”,即用A.B求A与B的乘积,也可以用命令Dot[A,B]实现.对方阵A,可用MatrixPower[A,n]求其n次幂.例3.2设求矩阵ma与mb的乘积.输入Clear[ma,mb];ma={{3,4,5,2},{4,2,6,3}};mb={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5},{8,4,1}};ma.mb//MatrixForm输出为实验4矩阵的乘法运算例4.1设求AB与并求输入Clear[A,B];A={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5}};B={1,0,1};A.B输出为{11,3,5}这是列向量B右乘矩阵A的结果.如果输入B.A输出为{4,5,12}这是行向量B左乘矩阵A的结果这里不需要先求B的转置.求方阵A的三次方,输入MatrixPower[A,3]//MatrixForm输出为例4.2设求及输入A={{1,1,1},{1,1,1},{1,2,3}}MatrixForm[A]B={{3,2,1},{0,4,1},{1,2,4}}MatrixForm[B]3A.B2A//MatrixFormTranspose[A].B//MatrixForm则输出及的运算结果分别为实验5求方阵的逆例5.1设求输入Clear[ma]ma={{2,1,3,2},{5,2,3,3},{0,1,4,6},{3,2,1,5}};Inverse[ma]//MatrixForm则输出注:如果输入Inverse[ma//MatrixForm]则得不到所要的结果,即求矩阵的逆时必须输入矩阵的数表形式例5.2求矩阵的逆矩阵.解A={{7,12,8,24},{5,34,6,-8},{32,4,30,24},{-26,9,27,0}}MatrixForm[A]Inverse[A]//MatrixForm例5.3设求输入Clear[A,B];A={{3,0,4,4},{2,1,3,3},{1,5,3,4},{1,2,1,5}};B={{0,3,2},{7,1,3},{1,3,3},{1,2,2}};Inverse[ma].B//MatrixForm输出为对于线性方程组如果A是可逆矩阵,X,b是列向量,则其解向量为例5.4解方程组输入Clear[A,b];A={{3,2,1},{1,-1,3},{2,4,-4}};b={7,6,-2};Inverse[A].b输出为{1,1,2}实验6综合运算例6.1设矩阵求输入A={{3,7,2,6,4},{7,9,4,2,0},{11,5,6,9,3},{2,7,8,3,7},{5,7,9,0,6}}MatrixForm[A]Det[A]Tr[A]MatrixPower[A,3]//MatrixForm则输出分别为115923实验习题1.设求及2.设求一般地(k是正整数).3.求的逆.4.设且求5.利用逆矩阵解线性方程组实验8矩阵的秩实验目的学习利用Mathematica求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换;求向量组的秩与极大无关组.基本命令1.求矩阵M的所有可能的k阶子式组成的矩阵的命令:Minors[M,k].2.把矩阵A化作行最简形的命令:RowReduce[A].3.把数表1,数表2,…,合并成一个数表的命令:Join[list1,list2,…].例如输入Join[{{1,0,1},{3,2,1}},{{1,5},{4,6}}]则输出{{1,0,1},{3,2,1},{1,5},{4,6}}例8.1设求矩阵M的秩.输入Clear[M];M={{3,2,1,3,2},{2,1,3,1,3},{7,0,5,1,8}};Minors[M,2]则输出{{7,11,9,5,5,1,8,8,9,11},{14,22,18,10,10,2,16,16,18,22},{7,11,9,5,5,1,8,8,9,11}}可见矩阵M有不为0的二阶子式.再输入Minors[M,3]则输出{{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}}可见矩阵M的三阶子式都为0.所以例8.2已知矩阵的秩等于2,求常数t的值.左上角的二阶子式不等于0.三阶子式应该都等于0.输入Clear[M];M={{3,2,-1,-3},{2,-1,3,1},{7,0,t,-1}};Minors[M,3]输出为{{35-7t,45-9t,-5+t}}当时,所有的三阶子式都等于0.此时矩阵的秩等于2.例8.3矩阵化为最简行阶梯形矩阵。A={{1,2,3},{2,2,1},{3,4,3}}MatrixForm[A]RowReduce[A]//MatrixForm则输出例8.4求矩阵的行最简形及其秩.输入A={{6,1,1,7},{4,0,4,1},{1,2,9,0},{1,3,16,1},{2,4,22,3}}MatrixForm[A]RowReduce[A]//MatrixForm则输出矩阵A的行最简形根据矩阵的行最简形,便得矩阵的秩为3.命令RowfReduce[A]把矩阵A化作行最简形.用初等行变换可以求矩阵的秩与矩阵的逆.例8.5设求矩阵A的秩.输入Clear[A];A={{2,-3,8,2},{2,12,-2,12},{1,3,1,4}};RowReduce[A]//MatrixForm输出为因此A的秩为2.例8.6设求.A={{1,0,2},{0,1,-1},{2,-1,-1}}MatrixForm[A]Transpose[Join[Transpose[A],IdentityMatrix[3]]]//MatrixFormRowReduce[%]//MatrixFormInverse[A]//MatrixForm输出结果例8.7用初等变换法求矩阵的逆矩阵.输入A={{1,2,3},{2,2,1},{3,4,3}}MatrixForm[A]Transpose[Join[Transpose[A],IdentityMatrix[3]]]//MatrixFormRowReduce[%]//MatrixFormInverse[A]//MatrixForm则输出矩阵A的逆矩阵为矩阵的秩与它的行向量组,以及列向量组的秩相等,因此可以用命令RowReduce求向量组的秩.实验习题1.求矩阵的秩.2.求t,使得矩阵的秩等于2.线性方程组实验9求解线性方程组实验目的熟悉求解线性方程组的常用命令,能利用Mathematica命令各类求线性方程组的解.理解计算机求解的实用意义.基本命令1、在Mathematica系统内,方程中的等号用符号“==”表示.2、命令NullSpace,给出齐次方程组的解空间的一个基.3、命令LinearSolve,给出非齐次线性方程组的一个特解.4、解一般方程或方程组的命令Solve见Mathematica入门.最基本的求解方程的命令为Solve[eqns,vars]它表示对系数按常规约定求出方程(组)的全部解,其中eqns表示方程(组),vars表示所求未知变量求解齐次线性方程组例9.1求解线性方程组输入Clear[A];A={{1,1,2,1},{3,2,1,2},{0,5,7,3},{2,3,5,1}};NullSpace[A]则输出{{2,1,2,3}}.注:如果输出为空集{},则表明解空间的基是一个空集,该方程组只有零解.例9.2求解线性方程组输入Clear[A];A={{1,1,2,-1},{3,-2,-3,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}};Nullspace[A]输出为{}因此解空间的基是一个空集,说明该线性方程组只有零解.例9.3求线性方程组的一个解.输入Clear[A,b];A={{1,1,2,1},{3,2,1,2},{0,5,7,3},{2,3,5,1}};b={4,2,2,4}LinearSolve[A,b]输出为{1,1,1,0}注:命令LinearSolve只给出线性方程组的一个解.例9.4求线性方程组的一个解.输入Clear[A,b];A={{1,1,2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}};b={4,2,2,4}LinearSolve[A,b]输出为Linearsolve::nosol:Linearequationencounteredwhichhasnosolution.说明该方程组无解.例9．5求出通过平面上三点(0,7),(1,6)和(2,9)的二次多项式并画出其图形.根据题设条件有输入Clear[x];A={{0,0,1},{1,1,1},{4,2,1}}y={7,6,9}p=LinearSolve[A,y]Clear[a,b,c,r,s,t];{a,b,c}.{r,s,t}f[x_]=p.{x^2,x,1};Plot[f[x],{x,0,2},GridLines>Automatic,PlotRange>All];则输出的值为{2,3,7}并画出二次多项式的图形(略).非齐次线性方程组的通解用命令Solve求非齐次线性方程组的通解.例9.6求出通过平面上三点(0,0),(1,1),(-1,3)以及满足的4次多项式解设则有输入Clear[a,b,c,d,e];q[x_]=a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e;eqs=[q[0]==0,q[1]==1,q[-1]==3,q’[-1]==20,q’[1]==9];{A,y}=LinearEquationsToMatrices[eqs,{a,b,c,d}];p=LinearSolve[A,y];f[x_]=p.{x^4,x^3,x^2,x,1};Plot[f[x],{x,-1,1},GridLines->Automatic,PlotRange->All];则输出所求多项式用命令solve求非齐次线性方程组的通解.例9.9解方程组输入Solve[{x-y+2z+w==1,2x-y+z+2w==3,x-z+w==2,3x-y+3w==5},{x,y,z,w}]输出为{{x2-w+z,y1+3z}}即,.于是,非齐次线性方程组的特解为(2,1,0,0).例9.10解方程组解法1用命令Solve输入Solve[{x-2y+3z-4w==4,y-z+w==-3,x+3y+w==1,-7y+3z+3w==-3},{x,y,z,w}]输出为{{x-8,y3,z6,w0}}即有唯一解,，，.解法2这个线性方程组中方程的个数等于未知数的个数,而且有唯一解,此解可以表示为.其中是线性方程组的系数矩阵,而是右边常数向量.于是,可以用逆阵计算唯一解.输入Clear[A,b,x];A={{1,-2,3,-4},{0,1,-1,1},{1,3,0,1},{0,-7,3,1}};b={4,-3,1,-3};x=Inverse[A].b输出为{-8,3,6,0}解法3还可以用克拉默法计算这个线性方程组的唯一解.为计算各行列式,输入未知数的系数向量,即系数矩阵的列向量.输入Clear[a,b,c,d,e];a={1,0,1,0};b={-2,1,3,-7};c={3,-1,0,3};d={-4,1,1,1};e={4,-3,1,-3};Det[{e,b,c,d}]/Det[{a,b,c,d}]Det[{a,e,c,d}]/Det[{a,b,c,d}]Det[{a,b,e,d}]/Det[{a,b,c,d}]Det[{a,b,c,e}]/Det[{a,b,c,d}]输出为-8360例9.10当为何值时,方程组无解、有唯一解、有无穷多解?当方程组有解时,求通解.先计算系数行列式,并求,使行列式等于0.输入Clear[a];Det[{{a,1,1},{1,a,1},{1,1,a}}];Solve[%0,a]则输出{{a2},{a1},{a1}}当,时,方程组有唯一解.输入Solve[{a*xyz1,xa*yz1,xya*z1},{x,y,z}]则输出{{xyz}}当2时,输入Solve[{2x+y+z==1,x2y+z==1,x+y2z==1},{x,y,z}]则输出{}说明方程组无解.当=1时,输入Solve[{x+y+z==1,x+y+z==1,x+y+z==1},{x,y,z}]则输出{{x1yz}}}说明有无穷多个解.非齐次线性方程组的特解为(1,0,0),对应的齐次线性方程组的基础解系为为(1,1,0)与(1,0,1).例9.11求非齐次线性方程组的通解.解法1输入A={{2,1,1,1},{3,2,1,3},{1,4,3,5}};b={1,4,2};particular=LinearSolve[A,b]nullspacebasis=NullSpace[A]generalsolution=t*nullspacebasis[[1]]+k*nullspacebasis[[2]]+Flatten[particular]generalsolution//MatrixForm解法2输入B={{2,1,1,1,1},{3,2,1,3,4},{1,4,3,5,2}}RowReduce[B]//MatrixForm根据增广矩阵的行最简形,易知方程组有无穷多解.其通解为(k,t为任意常数)实验习题1.解方程组2.解方程组3.解方程组4.解方程组5.用三种方法求方程组的唯一解.6.当为何值时,方程组有唯一解、无解、有无穷多解?对后者求通解.实验10投入产出模型(综合实验)实验目的利用线性代数中向量和矩阵的运算,线性方程组的求解等知识,建立在经济分析中有重要应用的投入产出数学模型.掌握线性代数在经济分析方面的应用.应用举例假设某经济系统只分为五个物质生产部门:农业、轻工业、重工业、运输业和建筑业,五个部门间某年生产分配关系的统计数据可列成下表1.在该表的第一象限中,每一个部门都以生产者和消费者的双重身份出现.从每一行看,该部门作为生产部门以自己的产品分配给各部门;从每一列看,该部门又作为消耗部门在生产过程中消耗各部门的产品.行与列的交叉点是部门之间的流量,这个量也是以双重身份出现,它是行部门分配给列部门的产品量,也是列部门消耗行部门的产品量.表1投入产出平衡表(单位:亿元)产出投入物质生产部门最终产品产品(X)农业轻工业重工业运输业建筑业合计积累消费合计(Y)12345物质生产部门农业轻工业重工业运输业建筑业123456008132445117800450454757125013627102252013050250305160125625751101740842436345055012013594528511551650215298465120177022871043750127535103129540612001825合计116718503522411995794526404485712515070折旧(D)7015830015451733物质消耗合计(C)12372008382256510468678净产品劳动报酬(V)社会纯收(M)184742640072192865627036567710241222270总产品(X)3510312954061200182515070注:最终产品舍去了净出口.在第二象限中,反映了各部门用于最终产品的部分.从每一行来看,反映了该部门最终产品的分配情况;从每一列看,反映了用于消费、积累等方面的最终产品分别由各部门提供的数量情况.在第三象限中,反映了总产品中新创造的价值情况,从每一行来看,反映了各部门新创造价值的构成情况;从每一列看,反映了该部门新创造的价值情况.采用与第三章第七节完全相同的记号,可得到关于表1的产品平衡方程组(1)其中,A为直接消耗系数矩阵,根据直接消耗系数的定义,易求出表1所对应的直接消耗系数矩阵:利用Mathematica软件(以下计算过程均用此软件实现,不再重述),可计算出为方便分析,将上述逆矩阵列成表2.表2部门农业1轻工业2重工业3运输业4建筑业5农业1轻工业2重工业3运输业4建筑业51.241750.04921560.3025730.0350220.06377610.4026511.201660.4951450.05944450.06721490.152540.00065522.166530.1008050.09529640.08741440.07520550.5292591.054470.07391050.1322480.1220050.8594870.08842031.11036下面我们来分析上表中各列诸元素的经济意义.以第2列为例,假设轻工业部门提供的最终产品为一个单位,其余部门提供的最终产品均为零,即最终产品的列向量为于是,轻工业部门的单位最终产品对5个部门的直接消耗列向量为通过中间产品向量产生的间接消耗为,,于是,轻工业部门的单位最终产品对五个部门总产品的需求量为其中向量为列昂惕夫逆矩阵的第2列,该列5个元素分别是部门2生产一个单位最终产品对部门1、2、3、4、5总产品的需求量,即总产品定额.同理,可以解释列昂节夫逆矩阵中第1、3、4、5列分别是部门1、3、4、5生产一个单位最终产品对部门1、2、3、4、5的总产品定额.对应于附表1的完全消耗系数矩阵最终产品是外生变量,即最终产品是由经济系统以外的因素决定的,而内生变量是由经济系统内的因素决定的.现在假定政府部门根据社会发展和人民生活的需要对表1的最终产品作了修改,最终产品的增加量分别为农业2%,轻工业7%,重工业5%,运输业5%,建筑业4%,写成最终产品增量的列向量为则产品的增加量可由式(8)近似计算到第5项,得其中,为各部门生产直接消耗各部门产品数量;而后面各项的和为各部门生产的全部间接消耗的和.实验报告下表给出的是某城市某年度的各部门之间产品消耗量和外部需求量(均以产品价值计算,单位:万元),表中每一行的数字是某一个部门提供给各部门和外部的产品价值.农业轻工业重工业建筑业运输业商业外部需求农业45.0162.05.29.00.810.1151.9轻工业27.0162.06.46.00.660.0338.0重工业30.830.052.025.015.014.043.2建筑业0.00.60.20.24.820.054.2运输业1.65.73.92.41.22.133.1商业16.032.35.54.212.66.1243.3(1)试列出投入—产出简表,并求出直接消耗矩阵;(2)根据预测,从这一年度开始的五年内,农业的外部需求每年会下降1%,轻工业和商业的外部需求每年会递增6%,而其它部门的外部需求每年会递增3%,试由此预测这五年内该城市和各部门的总产值的平均年增长率;(3)编制第五年度的计划投入产出表.实验11交通流模型(综合实验)*实验目的利用线性代数中向量和矩阵的运算,线性方程组的求解等知识,建立交通流模型.掌握线性代数在交通规划方面的应用.应用举例假设某城市部分单行街道的交通流量(每小时通过的车辆数)如图5.1所示.图51试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.假定上述问题满足下列两个基本假设(1)全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量;(2)全部流入一个节点的流量等于流出此节点的流量.于是,根据图5.1及上述基本两个假设,可建立该问题的线性方程组即若将上述矩阵方程记为,则问题就转化为求的全部解.下面我们利用Mathmatica软件来求解1、输入矩阵A,并利用RowRedu