对数（九大题型）（原卷版）

4．2对数课程标准学习目标1、了解对数的概念．2、会进行对数式与指数式的互化．3、掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程．4、通过对数的运算性质的探素及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识1、数学抽象：对数运算性质的符号表示2、逻辑推理：对数运算性质的推导、理解指数运算与对数运算之间的关系3、数学运算：对数运算性质的运用4、数学建模：能运用对数运算解决实际问题知识点01对数概念1、对数的概念如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数．知识点诠释：对数式中各字母的取值范围是：且，，．2、对数（ 且）具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即；（2）1的对数为0，即；（3）底的对数等于1，即．3、两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为．4、对数式与指数式的关系由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．【即学即练1】（2023·高一校考课时练习）在b＝log3a－1(3－2a)中，实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．知识点02对数的运算法则已知，（且，、）（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；推广：（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；知识点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：，，．【即学即练2】＝（

）A．1 B．2C．－1 D．－5知识点03对数公式1、对数恒等式：2、换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，则有，，即，即，即：．（2），令，则有，则有即，即，即当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：．【即学即练3】化简求值：.题型一：对数的定义例1．（2023·全国·高一专题练习）有下列说法：①以10为底的对数叫作常用对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以e为底的对数叫作自然对数；④零和负数没有对数.其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2023·高一校考课时练习）若，则x的取值范围是A． B．C． D．例3．（2023·北京·高一东直门中学校考阶段练习）使式子有意义的x的取值范围是（

）A． B． C． D．,且变式1．（2023·高一课时练习）对数式中实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．变式2．（2023·高一单元测试）使对数有意义的的取值范围为A． B． C． D．变式3．（2023·江苏·高一假期作业）在中，实数a的取值范围是A． B． C． D．【方法技巧与总结】对数式中各字母的取值范围是：且，，．题型二：指数式与对数式互化及其应用例4．（2023·高一课时练习）将下列指数式与对数式进行互化．(1)(2)(3).例5．（2023·高一课时练习）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)；(2)；(3)；(4)．例6．（2023·全国·高一专题练习）将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．变式4．（2023·高一课时练习）将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：(1)2－7＝；(2)；(3)lg1000＝3；(4)变式5．（2023·高一课时练习）将下列对数式为指数式或指数式化为对数式：(1)；(2)；(3)；(4)．变式6．（2023·全国·高一专题练习）利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值．（1）；（2）；（3）．变式7．（2023·高一课时练习）将下列指数式与对数式互化:（1）；（2）；（3）；（4）；（5）(x>0，且x≠1，y>0).【方法技巧与总结】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.题型三：利用对数恒等式化简求值例7．（2023·江西赣州·高一校考期中）的值.例8．（2023·浙江杭州·高一统考期末）计算：，.例9．（2023·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期中）已知，，则．变式8．（2023·江苏·高一校联考期中）计算．变式9．（2023·浙江丽水·高一统考期末）若a＝log23，则＝．变式10．（2023·全国·高一专题练习）设，则的值等于（

）A．10 B．13 C．100 D．变式11．（2023·高一课时练习）若，则的值是A． B． C． D．【方法技巧与总结】对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.题型四：积、商、幂的对数例10．（2023·甘肃·高一统考期中）求值:(1);(2);例11．（2023·河北石家庄·高一校考期中）计算(1)(2)(3)例12．（2023·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）计算下列各式的值：(1)；(2).变式12．（2023·江苏南京·高一校考期末）计算：(1)；(2)．变式13．（2023·高一课时练习）求下列各式中x，y的值：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则；（5）若，则；（6）若，则，；（7）若，则.变式14．（2023·高一课时练习）计算：．变式15．（2023·全国·高一专题练习）．变式16．（2023·辽宁大连·高一阶段练习）计算：．【方法技巧与总结】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．题型五：一类与对数有关方程的求解问题例13．（2023·高一课时练习）方程的实数解为.例14．（2023·上海虹口·高一上外附中校考期中）设、是关于x的方程的两个实数根,则．例15．（2023·高一课时练习）方程log2(5－x)＝2，则x＝．变式17．（2023·高一单元测试）方程的解是.变式18．（2023·上海·高一专题练习）方程的解为.变式19．（2023·江苏·高一专题练习）若是方程的两个实根，则的值为．变式20．（2023·高一课时练习）方程的解是.变式21．（2023·上海虹口·高一上外附中校考阶段练习）方程的解是.变式22．（2023·高一课时练习）方程log3（12•3x）=2x+1的解x=．变式23．（2023·江西抚州·高一统考期末）已知，若，则.【方法技巧与总结】直接利用定义法或者换元法题型六：对数运算法则的应用例16．（2023·湖北十堰·高一校考阶段练习）化简与求值：(1)；(2)．例17．（2023·海南·高一海南华侨中学校考阶段练习）求值：(1)；(2)．例18．（2023·山东青岛·高一校考期中）计算下列各式：(1)；(2)变式24．（2023·全国·高一专题练习）计算下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．变式25．（2023·高一课时练习）计算：（1）(log33)2＋log＋9log5－log1；（2）.【方法技巧与总结】（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来.题型七：换底公式的运用例19．（2023·全国·高一专题练习）已知，且，则A的值是.例20．（2023·全国·高一专题练习）已知，则．例21．（2023·高一课时练习）若，则．变式26．（2023·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）记，那么.变式27．（2023·江苏·高一阶段练习）已知，且，则.【方法技巧与总结】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．（3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用．题型八：由已知对数求解未知对数式例22．（2023·广东汕尾·高一海丰县海城仁荣中学校考阶段练习）已知，则（结果用a，b表示）.例23．（2023·高一单元测试）已知，，用，表示为．例24．（2023·湖北省直辖县级单位·高一阶段练习）已知，用表示，则．变式28．（2023·全国·高一假期作业）已知，试用表示.变式29．（2023·江苏·高一专题练习）已知,，用表示=.变式30．（2023·高一单元测试）已知，试用a，b分别表示下列各式：（1）；（2）；（3）．变式31．（2023·江苏·高一阶段练习）已知，，用、表示.变式32．（2023·江苏·高一阶段练习）（1）已知，用a，b表示；（2）已知，用a，b表示.【方法技巧与总结】利用对数运算法则的应用进行转换.题型九：证明常见的对数恒等式例25．（2023·江苏·高一假期作业）已知(，且；，且)，试探究a与b的关系，并给出证明．例26．（2023·高一课时练习）已知a>0且a≠1，M>0，N>0.(1)举出一个反例说明不成立；(2)证明：.例27．（2023·高一单元测试）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作.比如指数式可以转化为，对数式可以转化为..我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：.理由如下：设，，所以，，所以，由对数的定义得:，又因为，所以解决以下问题：（1）将指数转化为对数式：.（2）仿照上面的材料，试证明：.（3）拓展运用：计算.变式33．（2023·高一课时练习）证明：（1）；（2）.变式34．（2023·高一课时练习）（1）证明对数换底公式：（其中且，且，）（2）已知，试用表示.变式35．（2023·江苏·高一专题练习）设a，b均为不等于1的正数，利用对数的换底公式，证明：（1）；（2）（，，）.变式36．（2023·高一课时练习）证明：.【方法技巧与总结】利用换底公式和作差法进行证明.一、单选题1．（2023·全国·高一专题练习）下列各式正确的是（

）A． B． C． D．2．（2023·高一课时练习）已知均为正实数，若，则＝（

）A．或 B．C． D．2或3．（2023·云南保山·高一统考期末）新型冠状病毒特指2019年底爆发，世界卫生组织正式命名为2019新型冠状病毒（2019novelcoronavirus，2019nCoV），“新冠疫情防控常态化，核酸检测应检尽检！”核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的苂光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时检测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数满足：，其中为扩增效率，为DNA的初始数量.已知某被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，那么该标本的扩增效率约为（参考数据：）（

）A．0.369 B．0.415 C．0.585 D．0.6314．（2023·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考期中）已知，则（

）A． B． C．1 D．25．（2023·江西赣州·高一统考期中）17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化成乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（

）A． B． C． D．6．（2023·广东深圳·高一统考期末）已知正实数m，n满足，则下列不等式恒成立的为（

）A． B．C． D．7．（2023·全国·高一专题练习）已知，则（

）A．11或 B．11或 C．12或 D．10或8．（2023·高一课时练习）已知，则（

）A． B． C．2 D．3二、多选题9．（2023·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）已知正实数满足，则下列说法中正确的是（

）A． B． C． D．10．（2023·辽宁·高一校联考阶段练习）已知，则下列说法一定正确的是（

）A． B． C． D．11．（2023·山东济宁·高一统考期末）若，，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．12．（2023·湖南永州·高一永州市第一中学校考期末）若，，则（

）A． B． C． D．三、填空题1