正弦定理 同步习题 高中数学新苏教版必修第二册（2022年）

1L2正弦定理

一、单选题

1.（2021・江苏高一课时练习）在△ABC中，a=3,A=30。，5=15°,则c等于（）

A.1B.V2C.30D.百

【答案】C

【分析】

求出C角，用正弦定理求得C.

【详解】

•03x—

C=180°-30°-15°=135°,所以c=竺'-----=3&.

sinA1

2

故选：C.

2.（2021.全国高一课时练习）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,且A：8：C=1：2：3,

则。：b：c=（）

A.1：2：3B.3：2：1

C.2：百：1D.1：6：2

【答案】D

【分析】

三角形中，由角的比例关系可得A=30。，B=60°,C=90。，结合正弦定理即可求a：b：c.

【详解】

在4ABC中，有A：B：C=1：2：3,

；.B=2A,C=3A,又A+B+C=180°,即A=30°,B=60°,C=90°,

由正弦定理知:a：b：c=sinA：sinB：sinC=sin30°:sin60°：sin90。=1：6:2.

故选：D

3.（2021•安徽省临泉第一中学高二期末（理））设△ABC的内角A,民。所对的边分别是瓦〜其中

a=yf2,b=s/3,B=-,那么满足条件的AABC（）

4

A.有一个解B.有两个解C.不能确定D.无解

【答案】A

【分析】

先利用正弦定理求得sinA,再由a<b确定解的个数.

【详解】

在△AfiC中，a-\[2,b=y/3,B=—,

4

由正弦定理得：‘一=」—，

sinAsinB

SF-ri..asinBG

所以smA=------=——，

h3

又因为a<b，

所以Ae1，

所以满足条件的AABC只有一个解，

故选：A

4.（2021・江苏高一课时练习）在△ABC中，若4=匹,sinB=J5cosC,则△ABC为（）

4

A.直角非等腰三角形B.等腰非直角三角形

C.非等腰且非直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【分析】

.3乃.7T

Sin（+C）

由4=工，5泊3=近85。，可得si"]一。）46■近，「行，从而可求出

4----------=---------=——十——tanC=V2

cosCcosC22

tanC=l,得C=4,进而可判断出三角形的形状

4

【详解】

,K厂sinBr-

由A=一,sinB=J?COSC=-----=J2

4、cosCV

所以sin（；.C）sing+C）夜夜

----------=---------=——+——tanC=72

cosCcosC22

所以tanC=l,

又C£（0,兀），则c=4,

7T

所以B=—，AABC为等腰直角三角形.

2

故选：D.

5.（202卜四川高三月考（理））如图，小46。中，角。的平分线。。交边48于点。，/，4=彳，4。=26，

CD=3五,则BC=（）

A.3名B.4C.4V2D.6

【答案】D

【分析】

△ACD中由正弦定理求得ZADC后可得ZACD,从而得ZACB,5角，得AB，用余弦定理可得BC.

【详解】

■7C@I-

在“口）中，根据正弦定理得./4八rACsinAV2,

smZAZJC=-------------=-------F=—=—

CD3V22

由NADC<ZA,

TC

所以乙4。。=一，

4

27r7171

所以乙4CO=〃——

3412

TC71

所以NACB=—,则ZB=，

66

所以A8=AC=26，

22

在小钻。中，由余弦定理得BC?+（2V3）-2X2V3X2V3X36,

所以30=6.

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：本题主要考查正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值等基础知识，解题时对照已知条件

选用恰当的公式进行计算.如先在△ACD中选用正弦定理求得两边中另一边的对角，可得三角形的第三角，

这样图形听所有角都已知，然后再求选用公式求边.本题也可以不用余弦定理求边BC.

6.（2021•全国高三专题练习）△ABC的内角A的对边分别为a,4c,已知

bsinC+csinB-4-asinBsinC,b2+c2-a2=S>则AABC的面积为（）

A.—B.C.yfjD.立

334

【答案】B

【分析】

先由正弦定理边角互化，计算求得sinA,再根据余弦定理求6c,最后计算面积.

【详解】

根据正弦定理有sin3sinC+sinCsin5=4sinAsin8sinC,二2sinJ3sinC=4sinAsinsinC,

sin4=2_/=&，•cosA='+0一"=—=—，be-，

22bcbe23

._1,.「2百

••3c=-besinA----»

23

故选：B

7.（2021・上海高一专题练习）在三角形ABC中，"sinA>sinB”是“A>3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.以上都不是

【答案】C

【分析】

结合正弦定理，和三角形大边对大角，大角对大边的性质，判断选项.

【详解】

ah

因为sinA>sin3,由正弦定理二一=--可知，a>b,在△/15c中，大边对大角，所以反

sinAsinB

过来也成立，所以三角形ABC中，"sinA>sin8”是的充要条件.

故选：C

8.（2021.上海高一专题练习）△A6C中，若。=41=3,c=2,则△A5C的外接圆半径为（)

8715°16V1506y/13c12Vi3

A・------D.--------C•------U.--------

15151313

【答案】A

【分析】

由余弦定理求出cosA,再求出sinA,即可由正弦定理求出.

【详解】

•.•a=4,b=3,c=2,

Z?2+c2-a2_9+4-16_1

由余弦定理可得cosA=

2bc2x3x24

-,■()<A<^r,sinA=>/l-cos2A=-----,

4

设△ABC的外接圆半径为R,

则由正弦定理可得2R=，一=处叵，则R=

sinA1515

故选：A.

二、多选题

9.（2020•江苏高一期中）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a*,c.若A=45°，b=10则结合。的值解三

角形有两解，则a的值可以为（）

A.a-7B.a=8C.a-9D.a=10

【答案】BC

【分析】

qjnA

根据正弦定理可得sin8=--------,再根据三角形有两解可得sin8<l且即可求解.

a

【详解】

由正弦定理可得：，一=一丝，

sinAsinB

]nV|

所以,„ftsinA1UX-r50,

sinB=--=--------=-----

aaa

因为△A5C有两解，所以sinB<l且h>a,

5/?

所以sin8=-----<1»。<10,可得vav10，

a

所以〃=8和〃=9符合题意，

故选：BC.

10.（2021•广东揭阳市•高二期末）在A/EC中，下列说法正确的是（）

A.若A>B,则sinA>sin5

TT

B.若C〉,，则sin?CAsin?A+sin?3

C.若sinA<cos6,则△ABC为钝角三角形

D.存在AABC满足cosA+cosB40

【答案】ABC

【分析】

根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B；结合诱

导公式，以及三角函数的单调性判断CD.

【详解】

A--.-A>B<：.a>b,根据正弦定理一3—=—2—,可知sinA>sin8,故A正确；

sinAsinB

q2+/?222

B.vC>-,■,cosC=i--<0，即"+》2<c?,由正弦定理边角互化可知sinC>sinA+sinB，

2lab

故B正确；

rr（7T1TCTCTC

C.当0<A<—时，sinA<cos30cos——A<cosB,即——A>A+B<—,即C>—,则

2<2J222

TT（71\TTjr

△ABC为钝角三角形，若A>—,sinA<cosS<=>cosA——<cosB,即A——>B=>A>—+B成

2I2J22

jr

立，4是钝角，当人=一是，sinA>cosB.所以综上可知：若sinAccosB,则△ABC为钝角三角形，

2

故C正确；

D.A+B<7r^>A<7r-B,0<A<7r,0<7r-B<7r,cosA>cos-5）=-cosB,

即cosA+cos6>0,故D不正确.

故选：ABC

【点睛】

关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱

导公式和三角函数的单调性.

11.（2020・重庆市凤鸣山中学高三月考）在AABC中，角A，B,C所对的边分别为。，b,c,若

2cos24二C+cos8=』，且AABC的面积为苴/，则角8不可能是（）

224

71c兀「5冗、24

A.-B.—C.—D.—

6363

【答案】ACD

【分析】

利用三角恒等变换和三角形的面积公式求出sinB的值，再根据cosB的范围求出角氏

【详解】

2cos2---+cosB=cos(A-C)+l-cos(A+C)=—,

即cosAcosC+sinAsinC+l-cosAcosC+sinAsinC,

2

31/a

所以sinAsinC="S^ABC=-acsmB=，

2

利用正弦定理得：SABC=—sinAsinCsinB=^-sinB，

△AOC24

3Ji

将sinAsinC=一代入可得：sinfi=—.

42

因为Ce（（）,万），所以。=三或。=日，

因为COS8=3-2COS2^—―,S.cos2——―<1,所以cosBN*-2=L,

22222

冗

所以6=上，

3

角8不可能是？¥，寻

663

故选：ACD

【点睛】

本题主要考查了利用三角恒等变换和三角形的面积公式解三角形，属于中档题.

A「g-I

关键点睛：利用2cos2=匕+cosB=-得至ijcos8»一，进而缩小角B的范围是解题的关键.

222

12.（202。全国高三专题练习）已知。，b,。分别为AABC内角A,B,C的对边，

cos?A—cos?8—cos?C=cosAcos3+cost?—cos28,月.c=G，则下列结论中正确的是（）

厂71-21

A.C=—B.C=—

33

C.AASC1面积的最大值为立D.AA5c面积的最大值为地

44

【答案】BC

【分析】

2〃*

由正余弦定理结合已知条件化简得c=—,由三角形的面积公式结合基本不等式计算得面积的最大值.

3

【详解】

cos'A—cos2B—cos2C=cosAcosB+cosC—cos2B

：.（1-sin2A）-0—sin23）-（1—sin2C）=cosAcosB-cos（A+B）—（1—2sin2B）,

sinAsinB+sin23+sir?A-sin2c=0,由正弦定理可得+a2-c2=0.

.•.c°sC=^^=-L0<C<»,=@

2ab23

c2=3=/+Z?2-2Q/?COS——=a2+Z?2+ab>2ab+ah=3ab,当Q=Z?=1时取等号,

3

：.ab<2,：.S^-absinC<—

24

故选：BC

【点睛】

本题考查了正余弦定理的应用，三角形的面积公式，基本不等式求最值，属于基础题.

三、填空题

冗

13.（2021•江苏高一课时练习）在AABC中，A=-,BC=3,则△ABC的周长为（用B表示）.

3

【答案】6sin（5+专）+3

【分析】

先利用正弦定理把AC,表示出来，然后可求出BC+AC+AB的值，即可三角形的周长

【详解】

AC-----

在aABC中，由正弦定理得•——-=6，

sinB——

2

A63

即AC=2gsinB,如发一(8+马♦无，

.3」2

化简得AB=25/3sin(—―B),

所以三角形的周长为

2力

BC+AC+AB=3+26sinB+2百sin(^-B)=3+3yfjsinB+3cosB

TC

=6sin(5+—)+3.

71

故答案为:6sin(B+--)+3

6

14.(2021•江苏高一课时练习)在AABC中，若C=2B,则反的取值范围为__________.

b

【答案】(1，2)

【分析】

TT1

由已知条件可得A=7T-3B>0,得0<B<一,由此可求出77<COSB<1,再利用正弦定理可得

32

csinCsin2B-门___

-=--=——=2cosB,进而可求得结果m

bsinBsinB

【详解】

因为A+B+CF,C=2B,

乃1

所以A=7t-3B>0,所以0<B<一,所以一ccosBcl.

32

e、，csinCsin2B-„

因为一=----=------=2cos3,

hsinBsinB

所以lv2cosB<2,故1<£<2.

b

故答案为:(1,2)

15.(2021•江苏南通市•高二开学考试)我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积

术“，即以小斜哥，并大斜累，减中斜幕，余半之，自乘于上：以小斜累乘大斜幕，减上，余四约之，为实：

1(「22一〃2丫

一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即5=4—c2a2-------------(其中S为三角形的

面积，a,b,c为三角形的三边).在非直角5c中，a,b,c为内角A，B,C所对应的三边，若

。=3,且。=c(cosB+J^cosC),则△ABC的面积最大时，B=.

.此A.27

【答案】y

【分析】

由正弦定理化边为角，应用诱导公式，两角和的正弦公式变形可求得sin8=6sinC，再由正弦定理得

b=6c，代入面积公式得面积S为c的函数，结合二次函数性质得最大值，及此时。值，然后由余弦定理

求得cos得3角.

【详解】

*.*a=c(cos3+6cosC)，sinA=sinC(cos5+百cosc),

即sinCcosB+\/3sinCcosC=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

GsinCeosC=sin5cosC，。6(0,万)且。。］,则cosCwO,

**•sinB=5/3sinC，***b=V3c，又a=3,

：

.S忖i2J

3卜A+18c、2-弓二；J_(c?—9尸+竿,

•••c=3时，S,皿=券・止匕时匕=3百，

35二三士廿2

而Be(0,万)，

2ac2x3x32

故答案为：.

【点睛】

思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查新定义，解题关键是利用正弦定理及三角函数恒等

变换公式得出边的关系，利用新给出的面积公式表示出三角形面积，从而可得最大值及边长，然后由余弦

定理求得角.

16.（2021•黑龙江哈尔滨市•哈尔滨三中高三一模（文））在一ABC中，记角所对的边分别是a,上c,

s

面积为S,则后E的最大值为____________

【答案】■

【分析】

sinBsinB

根据面积公式及基本不等式可得,利用辅助角公式可求而商的最大值'

b~+4ac4(3-cos8)

从而可得F------的最大值.

b+4ac

【详解】

-acsinfi-acsinfi

SsinB

2<2

b2+4ac/+H-2accosB+4ac6ac-2accosB4(3-cosB)

令y=3s：：B，则3y=sin3+ycos3=Jl+y?sin(5+0)，

故J]+/,故一

又y>o,故0<y«Y2,当且仅当8满足述=sinB+也cosB时等号成立,

444

此时而殷平，38]'故屋的最大值为的.

故答案为：

16

【点睛】

/?sinx+力

方法总结：对于形如y=-~一的函数的值域，可以用导数或辅助角公式来处理，后者实际上是把函

ccosx+a

数的值域问题归结三角方程的有解问题.

四、解答题

17.(2021.广东中山市.高三期末)在锐角△至。中，设角A,B,。所对的边长分别为。，b,C,且

…AK

匕sinA=——a-

2

(1)求8的大小；

3

(2)若A8=2，BC=—，点。在边AC上，,求8。的长.

2

请在①AO=DC：②NDBC=NDBA；③BOLAC这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并

完成解答(如选多个条件作答，按排列最前的解法评分).

【答案】(1)二；(2)答案见解析.

3

【分析】

(1)根据正弦定理进行边角互化，化简可得3；

(2)若选①由余弦定理可求AC的值，在△ABO,△03C中，分别用余弦定理，结合

cosZADB+cosZCDB=0,可求得8。的值；若选②，由久树=S-m+S©。，利用三角形的面积公

式即可求解BD的值；若选③，由余弦定理可求得AC的值，利用三角形的面积公式可得夕BQ=挛，

44

进而可得8。的值.

【详解】

(1)在△ABC中，由正弦定理一二=一2一及bsinA=、5a，

sinAsinB

得sinBsinA=—^-sinA.

2

因为△A3C为锐角三角形，所以AE，所以sinA>0.

所以sin8=3

2

71

又因为Be，所以8=—.

3

(2)若选①.

在AABC中，由余弦定理，得

AC2^AB2+BC2-2ABBC-COSB^22+(^]-2x2x-xcos-=—,

UJ234

所以AC=巫，所以AO=QC=但.

24

在△AB£>中，由余弦定理，得AB'=3D+D4'-2BZ>ZM-cosNA£>8,

KP4=BD:+---BDcosZADB,

162

在ADBC中，由余弦定理，得BC=BD+DC'-2BD-DC-cosNCDB,

即2=BO：+身-巫BDcosZCDB.

4162

又ZADB+NCDB=n,所以COSNADB+COSNCDB=0.

913

所以4+—=28。+—,

48

所以

4

若选②.

在△ABC中，8“阮=S阴口+SxCBD，

即！3A.3Csin?=!BA.3»sin[+53»3Csin%

23262o

即！x2xgxg=!x2xBOx!+!xBOxH

22222222

解得8。=华.

若选③.

在△ABC中，由余弦定理，得AC?=AB2+8C2—2AB-8C-COS5

-22+f—-2x2x—xcos—,所以AC=^^.

⑶2342

因为巨由=/BABC-sinB=乎'又S5c=^8。•AC=李8。,

所以呼8。=挛，解得3。=之叵.

4413

【点睛】

在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一

般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用.解

决三角形问题时，注意角的限制范围.

18.(2020•全国高一课时练习)半径为1,圆心角为120°的扇形,点尸是扇形AB弧上的动点，设ZPOA=x.

(1)用x表示平行四边形ODPC的面积S=/(%):

(2)求平行四边形OQPC面积的最大值.

【答案】⑴S°o0pc=2sin(120。—X)sinx,(xe(0。,120。)；⑵B.

V32

【分析】

(1)利用正弦定理求出PCOC,即可用x表示平行四边形ODPC的面积S=/(%);

(2)利用辅助角公式化简，即可求平行四边形ODPC面积的最大值.

【详解】

(1)由题意得：

在QPC中，设OC=a,由正弦定理得

COOP

sin4CP0-sinNOCP

a_1_1

sin(120°sin60£

T

20

a—sin(120-x)

所以S°wpc=-^sin(120°-x)sinx,(xe(0°,120°),

2

⑵由⑴得：SaODPC=sin(l20°-x)sin(xe(0°,120°)

21.

COSX+—sinxsinx

百22

1.

=cosxsinx+—7=sin'2x

A/3

1G.△l-cos2x

=­；='—sin2x4---------

7322

1sin2x.^-cosx.l+l

忑222

2x-30°)+-

)2

当2x-30°=90"时达最大值

2x=90°+30°=120°

即，当x=60°e

【点睛】

本题考查正弦定理，考查辅助角公式的运用，考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

19.(2021•全国高三专题练习)在AABC中，角的对边分别为","c,若

asmBcosC+csinBcosA=—b,且c>/?.

2

(1)求角B的值；

(2)若4=^,且AAbC的面积为4JJ，求边上的中线的长.

【答案】(1)?；(2)2币.

6

【分析】

(1)先由正弦定理边角互化，计算求得sin3；(2)由(1)可知AABC是等腰三角形，根据面积公式求

边长。，AAMC中，再根据余弦定理求中线A"的长.

【详解】

(1)VasinBcosA=—b,

2

由正弦定理边角互化得sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=—sinB,

2

由于5e(0,7),sinBwO,sinAcosC+sinCcosA=4，即sin(A+C)=,，得sinB='.

77TT

又c〉/?,/.0<BB=—.

26

(2)由(1)知8=工，若4=工，故〃=/?,则。人sinC=L〃2sin-=，

66we223

，。=4,a=-4(舍)

2224

又在AAMC中，AM=AC+MC--2AC-MCcos—,

3

A/IM2=AC2+(|AC)2-2-AC-AC-cos=42+22-2•4•2-(-1)=28,AAM=277.

,,B

20.(2021•上海高一)在△ABC中，角4,B,C所对的变分别为a,b,c,已知cos2B+1=2sirT—

2

(1)求角B的大小；

(2)若b=5求a+c的最大值.

【答案】(1)y；(2)2G.

【分析】

(1)根据降累公式和升累公式可求得结果；

(2)利用正弦定理边化角得到a+c=2gsin(A+^),根据角A的范围可得结果.

6

【详解】

B

(1)由cos23+1=2sin2—,得2cos2B=1—cosB，

2

得(2cosB-l)(cos3+1)=0,

得cos8=工或cos3=—1(舍)，

2

TT

因为0<B<»,所以8=一.

3

(2)由正弦定理可得a=2sinA,c=2sinC

?冗

所以Q+c=2(sinA+sinC)=2(sinA+sin(———A))

八~.2JC,_24.

=2sinA+2sm——cosA-2cos——smA

33

=2sinA+5/3cosA+sinA

=3sinA+gcosA

h1

=2A/3(——sinA+—cosA)

22

=2V3sinfA+-

又Ae。子，可得当A=?时，Q+c最大为26.

【点睛】

关键点点睛：利用正弦定理边化角得到a+c=2gsin(A+工)是解题关键.

6

21.(2021•上海高一)在△ABC中，A民C的对边分别为4也c且2bcosB=acosC+ccosA.

(1)求3的值;

(2)求Zsin?A+cos(A-C)的范围.

【答案】(1)B=Z(2)(―；,1+百］.

32

【分析】

(1)根据等差数列的性质可知acosC+ccosA=»cos3,利用正弦定理把边转化成角的正弦，化简整

理得sin3=2sin3cosB,求得cos8,进而求得B；

(2)先利用二倍角公式及辅助角对原式进行化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的单调性求得

201?A+cos(A-C)的范围.

【详解】

因为28cosB=acosC+ccosA

由正弦定理得，2sinJ?cosB=sinAcosC+sinCcosA

即：sin(A+C)=2sin3cosB,则sinB=2sin3cosB,因为sin8,0所以cosB=；,又0<B<兀

得B=g

3

7t

(2)・・・B=-

3

./「2乃

A4-C=—

3