初中数学勾股定理 作业设计三

数学学科第十七章单元作业

《勾股定理》作业设计

一、单元信息

基本学科年级学期教材版本单元名称

信息数学八年级第二学期人教版勾股定理

单元

组织方自然单元

式

序号课时名称对应教材内容

1勾股定理17.1勾股定理P22-24

2勾股定理的应用17.1勾股定理的应用（1）P25-26

课时

3勾股定理的应用17.1勾股定理的应用（2）P26-27

信息

4勾股定理的逆定理17.2勾股定理的逆定理P31-32

勾股定理的逆定理17.2勾股定理的逆定理的应用

5P33

的应用

6数学活动数学活动P36

7单元复习单元复习作业P37-39

二、单元分析

（-）课标要求

《义务教育数学课程标准（2011年版）》对勾股定理本章的要求为：

探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。

课标在“知识技能”方面指出探索并掌握三角形的基本性质与判定，掌握

1

基本的证明方法和基本的作图技能；在“数学思考”方面指出，在研究图形性

质过程中进一步发展空间观念，经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何

直观；体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多

种形式的数学活动中发展合情推理与演绎推理的能力；初步学会在具体的情境

中，从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简

单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。

（二）教材分析

1.知识结构框图

-------------------互逆定理

勾股定理----------------勾股定理的逆定理

直角三角形边长的数量关系--------直角三角形的判定

2.内容分析

勾股定理是《课标（2011年版）》“图形与几何”领域的内容.

直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多性质，如两个锐角互余，30°

的角所对的直角边等于斜边的一半。本章所研究的勾股定理，是直角三角形非

常重要的性质，有极其广泛的应用。勾股定理指出了直角三角形三边之间的数

量关系，这就搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要

的作用。勾股定理不仅在平面几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何

学、微积分学中都是理论的基础，对现代数学的发展也产生了重要而深远的影

响。因此，勾股定理，不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为

是数学中最重要的定理之一。因此，本章的学习重点是：勾股定理及其应用。

本章分为两节，第17.1节介绍勾股定理及其应用，第17.2节介绍勾股定

理的逆定理及其应用。

2

在第17.1节中，教科书安排了对勾股定理的观察、计算、猜想证明及简单

应用的过程。历史上对勾股定理的证明有很多方法。教科书正文介绍了三世纪

三国时期中国数学家赵爽的证明方法，这是一种面积证法，依据是图形在经过

适当切割后，再另拼成一个新的图形切割，拼接前后图形各部分的面积之和不

变，利用面积不变的关系和对图形面积的不同算法得到等量关系，从而证明了

勾股定理。根据勾股定理，在直角三角形中，已知两条边即可求出第三边，让

学生学习运用勾股定理解决问题。

17.2节中，教科书首先让学生画出一些两边的平方和等于第三边平方的三

角形，发现画出的三角形都是直角三角形。从而做出猜想，如果三角形三边满

足两边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。教科书借助

勾股定理和判定全等三角形的定理，证明这个猜想得到勾股定理的逆定理，勾

股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形一种重要的依据。

（三）学情分析

从学生的认知规律看：学生在八年级已学习过三角形，全等三角形，直角

三角形的相关性质等几何知识，已初步具有几何图形观察和几何推理证明的思

维能力，这些都为学生学习勾股定理奠定了知识基础。

从学生的学习习惯、思维规律看：八年级学生已经具有一定的自主学习能

力和独立思考能力，积累一定的数学活动经验。但是勾股定理探究的是直角三

角形三边之间的数量关系，学生发现一猜想一验证一证明勾股定理这一过程会

有一定障碍，教学过程中让学生经历几何命题证明的一般过程，重视学生观

察、猜想能力的培养，同时重视从特殊结论到一般结论的严密逻辑思维能力的

培养。因此，本章的教学难点：勾股定理及其逆定理的探究和证明。

三、单元学习与作业目标

1.经历勾股定理及其逆定理的探索过程，知道这两个定理的联系和区别，

能用这两个定理解决一些简单的实际问题。

2.初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，会用这两个定理解决一些几

何问题。

3.通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命

3

题，知道原命题成立时其逆命题不一定成立。

4.通过对我国古代研究勾股定理成就的介绍，培养民族自豪感，通过对勾

股定理的探索和交流，培养数学学习的自信心。

四、单元作业设计思路

数学课程标准强调：“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上

得到不同发展”。作业是教学过程中不可缺少的重要环节之一，作业是反馈教

学效果的重要手段，有助于学生巩固知识，培养学生的创新精神，形成基本数

学思想和积累数学基本活动经验.但作业不应当是强加给学生的负担，而是学生

成长的一种自觉的需要，根据新课标的要求，我们的作业应该成为学生巩固知

识、快乐实践、探索创新的园地。

尊重个性差异，作业有适度的层次性。作业设计太容易，对优秀的学生一

-“吃不饱”，反之太难，对较差的学生一一“吃不了”。在新课程理论下作

业设计要体现因材施教，满足不同层次学生的需求，要有适度的层次性。每课

时均设计“基础性作业”（面向全体，体现课标，要求学生必做）和“发展性

作业”（体现个性化，探究性、实践性，要求学生有选择的完成）。也可以设

置多种答案或解题策略多样的开放型练习。让学生全面参与，发挥学生的所

长，让每一个学生都得到不同的发展。

五、课时作业

第一课时（17.1勾股定理）

作业一（基础性作业）

1.作业内容

（1）在RtA制嘲毁中，NA、NB、NC的对边分别为望、b、

C.

①若NC=90。，/=3,b=4,求c；

②若NC=90。，望：b=l:2,c=5,求b;

③若NC=90°,NA=45。，c=10,求盘和b.

4

④若望=6,寰=8,求c;

⑵如图，已知aABC中，ZACB=90°,以AABC的

食边为边在△ABC外作三个正方形，翼、招s磊分别表示这三

正方形的面积，若爵=25,翳=144,贝1JAB=.

(3)如图，△嘲嘈翅中，瑕=90

Z°,奥是制都边上一点，吧噌=

吧理=10碧理，嘲都=8碧盍，求蜕碧建,

的长.

2.时间要求(10分钟以内)

3.评价设计

等级

评价指标备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

B等，答案正确、过程有问题。

答题的准确性

C等，答案不正确，有过程不完整；答

案不准确，过程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

B等，过程不够规范、完整，答案正

答题的规范性确。

C等，过程不规范或无过程，答案错

、口

O

A等，解法有新意和独到之处，答案正

确。

B等，解法思路有创新，答案不完整或

解法的创新性

错误。

C等，常规解法，思路不清楚，过程复

杂或无过程。

5

AAA、AAB综合评价为A等;ABB、BBB、

综合评价等级AAC综合评价为B等；其余情况综合评

价为C等。

4.作业分析与设计意图

作业第(1)题考查学生运用勾股定理解决问题的能力，明确运用勾股定理

解决问题时只要知道直角三角形中任意两条边即可求第三边；或者知道一边以

及另外两边之间的数量关系，可利用勾股定理建立方程模型解决问题，培养学

生建模思想；当直角不明确时，考查学生分类讨论的思想。

作业第(2)题要求学生根据探究勾股定理的过程掌握三个正方形的面积关

系，以及能将正方形的面积关系和直角三角形的三边关系进行联系，加深对勾

股定理证明的理解，感悟数形结合，通过勾股树，感受数学之美。

作业第(3)题多次运用勾股定理解决数学问题，培养学生分析问题和解决

问题的能力。

作业2(发展性作业)

1.作业内容

(1)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂

美"四边形ABCD,对角线AC、8口交于点0.若人口=2,BC=B

4,则AB2+CD2=./

(2)如图，在ABC中，ZBAC=90%"

°，AB=4,

AC=3,DE垂直平分AB,分别交AB、BC于点D、E,AP平分

ZBAC,与DE的延长线交于点P.

(1)求PD的长度；

(2)连结PC,求PC的长度.

(3)【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家

称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则

6

弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（

如图1）,后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.

【实践操作】（1）请叙述勾股定理；

（2）验证勾股定理，请利用图2中的数据来验证该定理.

【探索发现】（1）如图3、4、5,以直角三角形的三边为边或直径，分别向

外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足Si+S?=S3的

有个；

（2）如图6所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形

图案（图中阴影部分）的面积分别为S］、S2,直角三角形面积为S3,请判断S］、

S2.S3的关系并说明理由.

2.时间要求（10分钟）

3.评价设计

等级

评价指标备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

答题的准确性

B等，答案正确、过程有问题。

7

C等，答案不正确，有过程不完整；答案

不准确，过程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，答案正

确。

B等，解法思路有创新，答案不完整或错

解法的创新性、口

1天。

C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂

或无过程。

AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、

综合评价等级AAC综合评价为B等；其余情况综合评价

为C等。

4.作业分析与设计意图

作业第（1）题正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题

的关键.利用勾股定理列式，以及对代数式变形进而解决问题。

作业第（2）题培养学生几何综合能力：等腰直角三角形的判定，角平分线

的性质，线段垂直平分线的概念，勾股定理.①根据垂直平分线的性质结合角

的平分线定义得到AD=DP,即可求出PD长度②作PF1AC于F,根据角平分线

的性质定理求出PF,再根据勾股定理计算即可.渗透在平面几何问题中求线段

长度常联想到运用勾股定理解决问题。

作业第（3）题要求学生掌握勾股定理的内容，并能运用“面积法”证明勾

股定理。借助于勾股定理解决与图形面积有关的问题。感悟数形结合的思想，

感受中国古代数学文化，提高民族文化自信。

第二课时（17.1勾股定理的应用（1））

作业一（基础性作业）

8

1.作业内容

(1)如图1,一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯

子的长度比梯子底端离墙的距离大5米.

①这个云梯的底端离墙多远？

②如图2,如果梯子的顶端下滑了8m,那么梯子的底部在水平方向滑动了

多少米？

(2)楼梯.的侧面视图如图所示，其中上£=4米，NA4c=30°,

NC=90°,因某种活动要求铺设红色地毯，求AB段楼梯所铺地毯的长度.

(3)我国古代数学著作《九章算术》中“折竹抵地”问题：“今有竹高一

丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”今译：一根竹子高1丈，折断后竹

子顶端落地，离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少？(1丈=10尺)

2.时间要求(10分钟以内)3尺

3.评价设计

等级

评价指标备注

ABc

9

A等，答案正确、过程正确。

B等，答案正确、过程有问题。

答题的准确性

C等，答案不正确，有过程不完整；答

案不准确，过程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

B等，过程不够规范、完整，答案正

答题的规范性确。

C等，过程不规范或无过程，答案错

、口

庆。

A等，解法有新意和独到之处，答案正

确。

B等，解法思路有创新，答案不完整或

解法的创新性

错误。

C等，常规解法，思路不清楚，过程复

杂或无过程。

AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、

综合评价等级AAC综合评价为B等；其余情况综合评

价为C等。

4.作业分析与设计意图

作业第（1）题考查学生运用勾股定理解决问题的能力，明确运用勾股定理

解决问题：知道一边以及另外两边之间的数量关系，可利用勾股定理建立方程

模型解决问题，培养学生建模思想。

作业第（2）题要求学生利用平移转化的思想将地毯的长转化为AC和BC的

长度和，然后根据直角三角形30°角所对直角边等于斜边的一半，利用勾股定

理建立方程模型解决问题，进一步培养学生建模思想。

作业第（3）此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造

直角三角形，从而运用勾股定理设未知数建立方程模型解决问题。同时渗透数

学文化，感受中国古代数学文化，提高民族文化自信。

作业2（发展性作业）

10

1.作业内容

C

(1)如图，在ABC中，ZC=90

。，分别以各//飞\)

边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波

克拉底月牙"，当AC=4,BC=2时，求阴影部分的面AB

积。

(2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：”「二丰二工|

今有池方一丈，葭(㈣生其中央，出水一尺.弓I葭赴岸，适与岸，三子三

齐.问水深几何？"(注：丈，尺是长度单位，1丈=io尺)这「一#，」

段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方

形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边

的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求水池里水的深度是几尺.

(3)如图，长方体的长为15宽为10,高为20,点B离点

C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到

点B,求需要爬行的最短距离。

2.时间要求(15分钟以内)

3.评价设计

等级

评价指标备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

B等，答案正确、过程有问题。

答题的准确性

C等，答案不正确，有过程不完整；答案

不准确，过程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

11

A等，解法有新意和独到之处，答案正

确。

B等，解法思路有创新，答案不完整或错

解法的创新性、口

i天o

C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂

或无过程。

AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC

综合评价等级综合评价为B等；其余情况综合平价为C

等。

4.作业分析与设计意图

作业第（1）题借助于勾股定理解决与图形面积有关的问题一一两个小半圆

面积之和等于大半圆，进而探究得到阴影部分面积等于三角形面积。感悟数形

结合的思想，了解数学文化。

作业第（2）题引导学生从实际问题中抽象出直角三角形模型，知道一边以

及另外两边之间的数量关系，利用勾股定理建立方程模型解决问题。感受中国

古代数学文化，提高民族文化自信。

作业第（3）题本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展

开，然后利用两点之间线段最短解答.根据题意分类讨论、进行求解,学生往往

会忽略分类讨论.

第三课时（17.1勾股定理的应用（2））

作业一（基础性作业）

1.作业内容

（1）如图，小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：

首先画数轴，原点为0,在数轴上找到表示数2的点A,然后过点A作AB_L0A,

-2-1O45

12

使AB=3（如图）.以0为圆心，0B长为半径作弧，交数轴正半轴于点P,则点P所

表示的数介于（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

（2）如图，在3x3的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在

格点上，若BD是AABC的高，则BD的长为.

(3)如图，RtaABC中，ZB=90°,AB=3cm,AC=5cm,将△ABC折

叠，使点C与A重合，折痕为DE,求△ABE的周长.

（4）如图所示，^ABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜边BC的中点,

E、F分别是AB、AC边上的点,且下J_DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。

2.时间要求（10分钟以内）

3.评价设计

等级

评价指标备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

B等，答案正确、过程有问题。

答题的准确性

C等，答案不正确，有过程不完整；答

案不准确，过程错误、或无过程。

13

A等，过程规范，答案正确。

B等，过程不够规范、完整，答案正

答题的规范性确。

C等，过程不规范或无过程，答案错

、口

沃。

A等，解法有新意和独到之处，答案正

确。

B等，解法思路有创新，答案不完整或

解法的创新性

错误。

C等，常规解法，思路不清楚，过程复

杂或无过程。

AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、

综合评价等级AAC综合评价为B等；其余情况综合评

价为C等。

4.作业分析与设计意图

作业第（1）题利用勾股定理列式求出0B,再估算无理数的大小判断即

可.

作业第（2）题利用网格根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角

形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论.

作业第（3）题根据勾股定理，可得BC的长，根据翻折即轴对称的性质，

可得AE与CE的关系，即可求得三角形的周长。

作业第（4）题此题综合考查了学生灵活利用等腰三角形性质根据勾股定理

解决问题的能力，解题的关键是利用题目信息添加中线利用等腰三角形“三线

合一”的性质构造全等三角形，实现边的转换，从而运用勾股定理解决问题。

培养逻辑推理能力。

作业2（发展性作业）

1.作业内容

（1）课本中有这样的一句话：“利用勾股定理可以作出",厂，…等线

V3V5

段”（如图所示），即：0A=1,过点A作AAi10A且AAi=1,根据勾股定理，

14

得OAi=V2；再过点AI作A】A210Alt且A]A2=1,

推，0A2020=_________.

(2)已知：如图，在△ABC中，Zc=90°

D是AC的中点，求证：AB?+3BC2=4BD2.

(3)如图是有公共边AB的两个直角三角形，其中

AC=BC,ZACB=ZADB=90°.

(1)如图1,若延长DA到点E,使AE=BD,

连接CD,CE.

①求证：CD=CE,CD1CE；

②直接写出AD、BD、CD之间的数量关系；

(2)若aABC与4ABD位置如图2所示，请写出线段AD,BD,CD的数量关

系，并证明.

2.时间要求(15分钟以内)

3.评价设计

等级

评价指标备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

B等，答案正确、过程有问题。

答题的准确性

C等，答案不正确，有过程不完整；答案

不准确，过程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

15

A等，解法有新意和独到之处，答案正

确。

B等，解法思路有创新，答案不完整或错

解法的创新性、口

i天o

C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂

或无过程。

AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、

综合评价等级AAC综合评价为B等；其余情况综合评价

为C等。

4.作业分析与设计意图

作业第（1）题利用勾股定理计算出OA］、0A2,0A3,然后根据计算的结

果观察、归纳规律进而写出OA2019.本题考查了勾股定理的计算，意在培养学

生的计算和归纳能力。

作业第（2）题本题考查了勾股定理，线段中点的定义，难点在于二次利用

勾股定理列式整理.根据线段中点的定义可得AC=2CD,然后在内△BCD中，

利用勾股定理列式表示出CD,再表示出AC,再次利用勾股定理列式整理即可得

证.意在培养学生的逻辑推理和式子变形能力。

作业第（3）题本题考查的是等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的

判定和性质，勾股定理，类比第（1）问、正确的作出辅助线是解题的关键.

（1）①根据四边形的内角和得到NDAC+ZDBC=180°,得到/

DBC=

NEAC,根据全等三角形的性质得到CD=CE,ZBCD=ZACE,求得NDCE=

90°,根据垂直的定义得到结论；

②由已知条件得到4CDE是等腰直角三角形，求得DE=，2CD,根据线段

的和差即可得到结论；

（2）类比第（1）问在AD上截取AE=BD,连接CE,根据等腰直角三角形的

性质得到NBAC=NABC=45°,求得NCBD=NCAE,根据全等三角形的性

16

质得到CD=CE,ZBCD=ZACE,求得/DCE=90°,根据线段的和差即可

得到结论.这一问对对学生的推理能力要求较高。

第四课时（17.2勾股定理的逆定理）

作业一（基础性作业）

1.作业内容

（1）写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题。

①两条直线平行，内错角相等；

②如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；

③全等三角形的对应角相等；

④在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

（2）下列各组数是勾股数的是（）

A.6,7,8B.6,8,10C.0.3,0.4,0.5D,52,122,132

（3）下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？

①a=15,b=8,c=17;②a=13,b=14,c=15；

③a=l,b=-^2,c=W；④a=7,b=14,c=15.

2.时间要求（10分钟以内）

3.评价设计

等级

评价指标备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

B等，答案正确、过程有问题。

答题的准确性

C等，答案不正确，有过程不完整；答

案不准确，过程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

B等，过程不够规范、完整，答案正

答题的规范性确。

C等，过程不规范或无过程，答案错

、口

味。

17

A等，解法有新意和独到之处，答案正

确。

B等，解法思路有创新，答案不完整或

解法的创新性

错误。

C等，常规解法，思路不清楚，过程复

杂或无过程。

AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、

综合评价等级AAC综合评价为B等；其余情况综合评

价为C等。

4.作业分析与设计意图

作业第(1)题判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是

假命题只需要举出反例即可。第(2)题根据勾股数的定义，勾股数必须为正整

数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可。第

(3)题要判断一个角是不是直角，可构造出三角形，然后求出三条边的大小，

用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角

三角形；否则不是。

作业2(发展性作业)

1.作业内容

(1)如图，正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则AABC的形状为

()

A

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形

D.以上答案都不对

(2)若AABC的三边a,b,c,且a+b=4,ab=l,c=",试说明aABC是直角

三角形。

(3)如果满足等式。2+/=。2的a、八c是三个正整数，我们称b,c

为勾股数.王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；

9、40、41；学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，

于是王老师提出以下问题让学生解决。

18

①请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、、;

②若第一个数用字母a（a为奇数，且a23）表示，那么后两个数用含a

的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：4=

早,12=号,24=?...于是他很快表示了第二数为早，

则用含。的代数式表示第三个数为；

③用所学知识加以说明。

2.时间要求（10分钟）

3.评价设计

等级

评价指标，备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

B等，答案正确、过程有问题。

答题的准确性

C等，答案不正确，有过程不完整；答案

不准确，过程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，答案正

确。

B等，解法思路有创新，答案不完整或错

解法的创新性、口

1天。

C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂

或无过程。

AAA、AAB综合评价为A等;ABB、BBB、

综合评价等级AAC综合评价为B等；其余情况综合评价

为C等。

4.作业分析与设计意图

19

作业第（1）题考要判断一个角是不是直角，可构造出三角形，然后求出三

条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则

三角形为直角三角形；否则不是。第（2）题已知三角形三边的满足关系式判断

三角形形状，首先根据等式的变形，推出三条边满足：a2+b2=c2,再用勾股定

理的逆定理判断其是否是直角三角形。第（3）题已知一组系列的勾股数，观察

发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，主要考察：整式的混

合运算、勾股数、及数式规律，渗透有特殊到一般的数学归纳思想。

第五课时（17.2勾股定理逆定理的实际应用）

作业1（基础性作业）

1.作业内容

（1）李晨想做一个直角三角形的木架，以下长度的四组木棒中，能够刚好

做成的是（）

A.2,3,4B.3,4,5C.4,5,6D.1,1,2

⑵如图，在aABC中，AB=5,BC=6,BC边上的中

线AD=4,则NADC的度数为

（3）医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市

在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m,公

园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公

园在医院的北偏东的方向.

2.时间要求（10分钟以内）

3.评价设计

作业评价表

等级

评价指标备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

答题的准确性B等，答案正确、过程有问题。

C等，答案不正确，有过程不完整；答案

20

不准确，过程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

B等，解法思路有创新，答案不完整或错

、口

解法的创新性1天。

C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂

或无过程。

AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC

综合评价等级综合评价为B等；其余情况综合评价为C

等。

4.作业分析与设计意图

作业第（1）题要求学生会用勾股定理的逆定理进行计算和判断，加深对勾

股定理的逆定理的理解和运用。第（2）题是勾股定理的逆定理的几何应用，能

够加深学生对勾股定理的逆定理的理解；第（3）题是勾股定理的逆定理在实际

生活中的应用，需要学生先借助图形直观感受，再利用定理进行计算，培养学

生的几何直观和运算能力.

作业2（发展性作业）

1.作业内容

（1）如图，如果只给你一把带刻度的直尺，你能判断是不是直角吗？简述

你的作法.

21

(2)有一块空白地，如图，ZADC=90

°,CD=6mAD=8m,AB=

26m,BC=24m,试求这块空地的面积？

(3)在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消［北

息，在海面上有疑似漂浮目标A、B.于是，一艘搜救艇以

16海里/时的速度离开港口0(如图)沿北偏东40°的方向B<\\/

向目标A的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口0出发，以邛一

12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时

分别到达目标A、B.此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向

是北偏西多少度？

2.时间要求(10分钟)

3.评价设计

等级

评价指标备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

B等，答案正确、过程有问题。

答题的准确性

C等，答案不正确，有过程不完整；答案

不准确，过程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错

、口

沃。

22

C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂

或无过程。

AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC

综合评价等级综合评价为B等；其余情况综合评价为C

等。

4.作业分析与设计意图

作业第（1）题要求学生动手度量，进行简单计算，最后利用勾股定理的逆

定理进行判断，培养学生的动手能力。第（2）题需要连接AC作辅助线，先利

用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理进行计算，是勾股定理和勾

股定理的逆定理的综合运用。第（3）题是勾股定理的逆定理在实际生活中的应

用，将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题，培养学生将生活

问题数学化的意识.解决实际问题的步骤：构建几何模型（从整体到局部）；标注

有用信息，明确已知和所求；应用数学知识求解.

第六课时（数学活动）

作业1（基础性作业）

1.作业内容

（1）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末

端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，

发现此时绳子末端距离地面2m,求旗杆的高度C骨轮上方的

部分忽略不计）。

（2）如图，正方体的棱长为2,B为一条棱的中点.已

知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，求它运动

的最短路程。

23

(3)如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根。的距离为2米，梯子的

顶端B到地面的距离为7米.现将梯子的底端A向外移动到A',使梯子的底端

A'到墙根0的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B',那么BB'的值：①

等于1米；②大于1米；③小于1米.其中正确结论的序号是________.

(4)汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古

代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的斜边

长为5,较短直角边长为3,求图中小正方形(空白区域)的面积。

2.时间要求(15分钟以内)

3.评价设计

等级

评价指标备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

B等，答案正确、过程有问题。

答题的准确性

C等，答案不正确，有过程不完整；答

案不准确，过程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

B等，过程不够规范、完整，答案正

答题的规范性确。

C等，过程不规范或无过程，答案错

、口

沃。

24

A等，解法有新意和独到之处，答案正

确。

B等，解法思路有创新，答案不完整或

解法的创新性

错误。

C等，常规解法，思路不清楚，过程复

杂或无过程。

AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、

综合评价等级AAC综合评价为B等；其余情况综合评

价为C等。

4.作业分析与设计意图

第（1）题设计意图，与本课“活动一”的学习目标相对应，练习构造直角

三角形，利用勾股定理解决实际问题，本题类似于课本习题中的“引葭赴

岸”，可通过添加辅助线构造直角三角形。

第（2）题设计意图，与本课“活动一”的学习目标相对应，练习构造直角

三角形，利用勾股定理解决实际问题，本题需要展开正方体的侧面，化曲为

直，进而构造直角三角形解决问题。

第（3）题设计意图，本题由课本例题改编，需要根据实际情况确定直角三

角形，并利用勾股定理求出B0的长度及夕0的长度，进而计算出BB'的长

度，本题需要根据实际情况确定直角三角形，是为了达成作业目标2而设计。

第（4）题设计意图，本题是由“赵爽弦图”改编而成，目的在于考查学生

应用勾股定理解决问题的能力，体会“弦图”中直角三角形各边之间的关系，

本题既可以用勾股定理求边长再计算，也可以利用面积法求，从而体会勾股定

理证明过程中以形证数的思想，可以达成目标1。

作业2（发展性作业）

1.作业内容

（1）如图，长宽高分别为3,2.1的长方体木块上有/q/

一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点B,求\A....\yP

它爬行的最短路程。AC

25

（2）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全

等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个关的正方形（如图1）,