数学必修五的知识点框架整合

数学必修五的知识点框架整合2021

为了学好高中数学，首先就要明白数学及数学学习的重要性，从

而喜爱数学，有剧烈的愿望去学好数学。下面是我为大家整理的有关

数学必修五的学问点框架整合，盼望对你们有关心！

数学必修五的学问点框架整合

【差数列的基本性质】

团公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其

公差仍为d.

团公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列,

其公差为kd.

团若｛a｝、｛b｝为等差数列，则｛a士b｝与｛ka+b｝（k、b为非零常数）也是等

差数列.

团对任何m、n,在等差数列｛a｝中有：a=a+（n-m）d,特殊地，当m=l时,

便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性.

回、一般地，假如l,k,p,...,m,nj...皆为自然数，且

l+k+p+...=m+n+r+...（两边的自然数个数相等）,那么当⑶为等差数列时,

有：a+a+a+...=a+a+a+....

团公差为d的等差数列,从中取出等距离的项，构成一个新数列，此

数列仍是等差数列，其公差为kd（k为取出项数之差）.

团假如⑶是等差数列,公差为d,那么,a,a，…,a、a也是等差数列，其公

1

差为-d;在等差数列｛a｝中,a-a=a-a=md.(其中m、k、)

回在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前

后两项的等差中项.

回当公差dO时，等差数列中的数随项数的增大而增大;当dO时，等

差数列中的数随项数的削减而减小;d=o时，等差数列中的数等于一个

常数.

回设a,a,a为等差数列中的三项，且a与a,a与a的项距差之比=(工-1),

则a=.

【等差数列前n项和公式S的基本性质】

回数列｛a｝为等差数列的充要条件是：数列⑶的前n项和S可以写

成S=an+bn的形式(其中a>b为常数).

国在等差数列⑶中，当项数为2n(nN)时,S-S=nd,=;当项数为(2n-l)(n)

时,S-S=a产.

团若数列｛a｝为等差数列，则S,S-S,S-S,…仍旧成等差数列，公差为.

回若两个等差数列｛a｝、｛b｝的前n项和分别是S、T(n为奇数)，则=.

回在等差数列｛a｝中,S=a,S=b(nm),则S=(a-b).

团等差数列｛a｝中，是n的一次函数，且点(n,)均在直线y=x+(a-)上

回记等差数列⑶的前n项和为S.①若aO,公差dO,则当a>0且a<0

时,S;②若aO,公差dO,则当a<0且a>0时,S最小.

【等比数列的基本性质】

回公比为q的等比数列,从中取出等距离的项，构成一个新数列，此

数列仍是等比数列，其公比为q(m为等距离的项数之差).

2

团对任何m、n,在等比数列｛a｝中有：a=a-q,特殊地，当m=l时，便得

等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性.

回一般地，假如皆为自然数，且

t+k,p，…,m+...=m+n+r+...（两边的自然数个数相等）,那么当｛a｝为等比数列

日寸,石：a.a.a….=a.a.a.....

回若｛a｝是公比为q的等比数列，则｛|a|｝、｛a｝、｛ka｝、｛｝也是等比数

列,其公比分别为|q|｝、夕｝、夕｝、｛｝.

团假如间是等比数列,公比为q,那么,a,a,a，…,a,…是以q为公比的等

比数列.

回假如｛a｝是等比数歹U,那么对任意在n,都有a.a=a-qO.

回两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比

等于这两个数列的公比的积.

回当ql且aO或00且01时，等比数列为递减数列;当q=l时，等比

数列为常数列;当q0时，等比数列为摇摆数列.

【集合】

一、集合有关概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中

每一个对象叫元素.

2、集合的中元素的三个特性：

L元素的确定性2元素的互异性;3.元素的无序性

说明：（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个

对象或者是或者不是这个给定的集合的元素.

3

⑵任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象相同的

对象归入一个集合时，仅算一个元素.

(3)集合中的元素是公平的,没有先后挨次，因此判定两个集合是否

一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列挨次是否一样.

⑷集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性.

3、集合的表示：｛｝如｛我校的篮球队员｝，｛太平洋,大西洋，印度洋，

北冰洋｝

1.用拉丁字母表示集合：A=｛我校的篮球队员｝,B=｛1,2,3,4,5｝

2.集合的表示方法：列举法与描述法.

留意啊：常用数集及其记法：

非负整数集(即自然数集)记作：N

正整数集N或N+整数集Z有理数集Q实数集R

关于属于的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，

就说a属于集合A记作aA,相反,a不属于集合A记作a?A

列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上.

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表

示集合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.

①语言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝

②数学式子描述法:例：不等式x-32的解集是｛x?R|x-32｝或｛x|x-32｝

4、集合的分类：

1.有限集含有有限个元素的集合

4

2.无限集含有无限个元素的集合

3.空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5}

二、集合间的基本关系

L包含关系子集

留意：有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合.

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或

BA

2.相等关系(55,且55,则5=5)

实例：设A={x|x2J=0}B={；,1}元素相同

结论：对于两个集合A与B,假如集合A的任何一个元素都是集

合B的元素，同时，集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说

集合A等于集合B,即：A=B

①任何一个集合是它本身的子集AA

②真子集:假如AB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作

AB(或BA)

③假如AB,BC,那么AC

④假如AB同时BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为

规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.

三、集合的运算

1.交集的定义:一般地，由全部属于A且属于B的元素所组成的集

合，叫做A,B的交集.

5

记作AB(读作A交B),即AB={x|xA,且xB).

2、并集的定义：一般地，由全部属于集合A或属于集合B的元素

所组成的集合，叫做A,B的并集.记作：AB(读作A并B),即AB={x|xA或

xB}.

3、交集与并集的性质：AA=A,A=,AB=BA,AA=A,

A=A,AB=BA.

4、全集与补集

⑴补集：设S是一个集合,A是S的一个子集(即)，由S中全部不属

于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)

⑵全集：假如集合S含有我们所要讨论的各个集合的全部元素,

这个集合就可以看作一个全集.通常用U来表示.

(3计生质：回CU(CUA)=A(3(CUA)回(CUA)A=U

【立体几何】

柱、锥、台、球的结构特征

棱柱

定义：有两个面相互平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个

四边形的公共边都相互平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、

五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱

柱。

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都

6

是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多

边形。

棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角

形，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、

五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面

相像，其相像比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

棱台

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间

的部分。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、

五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台

几何特征：①上下底面是相像的平行多边形②侧面是梯形③侧

棱交于原棱锥的顶点

圆柱

定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的

曲面所围成的几何体。

几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆

7

的半径垂直;④侧面绽开图是一个矩形。

圆锥

定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲

面所围成的几何体。

几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面绽

开图是一个扇形。

圆台

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间

的部分

几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶

点;③侧面绽开图是一个弓形。

球体

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的

几何体

几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等

于半径。

N0.2空间几何体的三视图

定义三视图

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面对后面正投影）;侧视图

（从左向右）、俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的

高度和长度;

8

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度

和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度

和宽度。

N0.3空间几何体的直观图一一斜二测画法

斜二测画法

斜二测画法特点

①原来与x轴平行的线段仍旧与x平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍旧与y平行，长度为原来的一半。

直线与方程

直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特殊地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为。度。

因此，倾斜角的取值范围是0*al80。

直线的斜率

定义：倾斜角不是90。的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线

的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

过两点的直线的斜率公式：

(留意下面四点)

(1)当时一，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90。；

(2)k与Pl、P2的挨次无关;

⑶以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;

9

⑷求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

幕函数

定义

形如y=xy(a为常数)的函数，即以底数为自变量事为因变量，指

数为常量的函数称为基函数。

定义域和值域

当a为不同的数值时，幕函数的定义域的不怜悯况如下：假如a

为任意实数，则函数的定义域为大于0的全部实数;假如a为负数，

则x确定不能为0,不过这时函数的定义域还必需根［据q的奇偶性来

确定，即假如同时一q为偶数，则x不能小于0,这时函数的定义域为

大于0的全部实数;假如同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0

的全部实数。当x为不同的数值时，幕函数的值域的不怜悯况如下：

在x大于0时-，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时一，则只

有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才

进入函数的值域

性质

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种状况来争论各自的

特性：

首先我们知道假如a=p/q,q和p都是整数,则x%p/q)=q次根号

(x的p次方)，假如q是奇数，函数的定义域是R,假如q是偶数，函

数的定义域是［0,+°°)o当指数n是负整数时,设@=-1<,则x=l/(xAk),

明显xwO,函数的定义域是卜g,0)团(0,+8).因此可以看至I」x所受到的

10

限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶

数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

排解了为0与负数两种可能，即对于xO,则a可以是任意实数;

排解了为0这种可能，即对于x0和x0的全部实数，q不能是偶

数；

排解了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的全部实数,

a就不能是负数。

指数函数

指数函数

⑴指数函数的定义域为全部实数的集合,这里的前提是a大于0,

对于a不大于0的状况，则必定使得函数的定义域不存在连续的区间，

因此我们不予考虑。

⑵指数函数的值域为大于0的实数集合。

(3)函数图形都是下凹的。

(4)a大于1,则