数学：第二章《平面向量教学设计》教案

人教A版数学必修4第二章平面向量教学设计

一、教材分析

向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之

一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景和深刻的几何

背景，是解决几何问题的有力工具.在数学和物理中都有广泛的应用.在本单元中，学生

将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、

平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量

语言和方法表述和解决数学及物理中的一些问题.发展运算能力和解决实际问题的能力.

1.本单元的教学内容的范围

(1)平面向量的实际背景及基本概念

通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等

的含义，理解向量的几何表示。

(2)向量的线性运算

①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。

②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线

的含义。

③了解向量的线性运算性质及其几何意义。

(3)平面向量的基本定理及坐标表示

①了解平面向量的基本定理及其意义。

②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。

③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。

④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

(4)平面向量的数量积

①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。

④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直

关系。

(5)向量的应用

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的

过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决

实际问题的能力。

本章知识结构如下:

根据数学知识的发展过程与学生的认知过程安排内容

向量是高中数学课程近年来引进的新内容，为了保证其科学性，同时又易于被学生接受,

根据向量知识的发展过程和学生的思维规律，根据“标准”对向量内容的定位，并考虑到学

生在数及其运算中建立起来的经验，本章按照如下次序来编排:

向量的实际背景及基本概念一向量的线性运算一平面向量基本定理及坐标表示一向量的

数量积一向量应用举例.

课标要求的具体化和深广度分析

①平面向量的实际背景及基本概念

《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求

通过力和理解向量的概念，掌握

如：用向量a表示向东走了6km,则-a表示

力的分析等实向量的几何表示，了解

例，了解向量共线向量

的实际背景，一辆汽车从A地出发向西行驶了lOOkw,到

理解平面向量达B地，可以用向量a表示，那么从B地出发至UA

和向量相等的达地应如何表示？

含义，理解向向量a,6都是非零向量，下面说法不正确的

量的几何表是（）

示.（A）向量a与6反向，则向量a+6与向量a

的方向可能相同

（B）向量a与6反向，则向量a+6与向量6

的方向可能相同

（C）向量a与6反向，且,卜忖，则向量a+b

与向量a的方向可能相同

（D）向量a与6反向，且,|<W，则向量a+6

与向量a的方向可能相同

②向量的线性运算

《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求

①通过实例，①如：若向量a表示向东走了2协?，6表示向南①掌握向量的加法与

掌握向量加、走了Tkm,则a-b表示.减法，并理解其几何意

减法的运算，已知下列各式义.

并理解其几何②掌握实数与向量的

@AB+BC+CA；

意义.积的运算，理解两个向

②通过实例，量共线的充要条件.

@AB+MB+BO+OM,

掌握向量数乘③会进行向量的线性

的运算，并理运算.

©OA+OB+BO+CO,

解其几何意

义，以及两个

@AB-AC+BD-CD-,

向量共线的含

义.其中结果为零向量的个数为()

③了解向量的(A)1(B)2(C)3(D)4

线性运算性质

②已知向量a,满足

及其几何意

义.

BC=—5a+66,CD-la—2b,则一定共线的三

点是()

(A)A,B,D(B)A,B,C

(C)B,C,D(D)A,C,D

③如：在AABC中，D,尸分别是1C的中点,

BF与CD交于0,设AB-a,AC-b,用a,b

表示向量X。.

③平面向量的基本定理及坐标表示

《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求

①了解平面向①如：某人在静水中游泳，速度为每小时3如?，①了解平面向量的基

量的基本定理水流的速度为每小时4km,如果他要垂直游到对本定理

及其意义.岸，则他的实际速度是多少？②理解平面向量的坐

②掌握平面向②如：已知平行四边形/版的三个顶点坐标分别标的概念

量的正交分解为A(-2,1),B(3,4),C(-1,3),则顶点D③掌握平面向量的坐

及其坐标表的坐标为.标运算

示.④理解两个向量共线

③如：已知4(0,1),8(3,-4)且点。在乙4。8的

③会用坐标表的充要条件

示平面向量的平分线上,若|。。|=2,则向量反=

加、减与数乘

运算.

④己知向量)=(%/2),而=(4,5),

④理解用坐标

表示的平面向

3=(一女,10)且A,B,。三点共线，则

量共线的条

件.k=

④平面向量的数量积

《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求

①通过物理中①明确平面向量数量

①如：用两根夹角为120。角的等长的绳子悬挂一

“功”等实积的定义、数学表达式

例，理解平面个灯具，若灯具的重量为10N,则每根绳子的拉及其几何意义

向量数量积的力大小是.②明确向量6在向量a

含义及其物理的方向上的投影

②如：已知点A(知一1),6(2,2),C(—4,6),则

意义.③掌握数量枳的公式，

②体会平面向能进行数量积的运算

而在衣上的投影的值为

量的数量积与④明确两向量夹角的

向量投影的关③如：a=(-3,2),b=(-4,k),若(5a—6)意义，掌握两向量垂直

系.•(3a-6)=55,求实数A的值.的充要条件，能用两种

③掌握数量积形式表示向量垂直的

④如：两单位向量a,6的夹角为60,则两向量

的坐标表达充要条件.

式，会进行平尸2a+Z＞与干3a+2b的夹角为

面向量数量积换垂直的题

的运算.

④能运用数量

积表示两个向

量的夹角，会

用数量积判断

两个平面向量

的垂直关系.

⑤向量的应用

《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求

经历用向量方掌握平面两点间的距

如图，在平行四边形ABC。中，DE=-DC,

法解决某些简3离公式、掌握线段的

单的平面几何AE与BD交于F,用向量的方法证明：定比分点和中点坐标

问题、力学问DF=、DB.公式、平移公式，并能

题与其他一些4熟练运用，会用平面向

实际问题的过_DEC量数量积处理长度、角

程，体会向量实际问题度等有关问题

是一种处理几........—如：一条河的两岸平

何问题、物理AB行，河的宽度为

问题等的工0.4Am,一艘船从一岸边的A处出发驶向对岸,

具，发展运算已知船速为同=5吗，水速为同=3%%,

能力和解决实

际问题的能欲使航行最短，则所用时间为一

力.

(2)本单元变化之处

①删繁就简，降低了知识的难度

②调整章节，凸显了知识的框架

③贴近生活，重视了知识的应用

（3）人教B版向量一章的教材特点

强调向量法的基本思想，明确向量运算及运算律的核心地位

向量具有明确的几何背景，向量的运算及运算律具有明显的几何意义，因此涉及长度、

夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决.另外，向量及其运算（运算律）与几何图形

的性质紧密相联，向量的运算（包括运算律）可以用图形直观表示，图形的一些性质也可以用

向量的运算（运算律）来表示.例如，平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，而向量的

加法及其交换律（a+》=8+a）又可以表示平行四边形的性质（在平行四边形AB/7CD中，AD

〃BC,AB/7CD,丝ACB。）.这样，建立了向量运算（包括运算律）与几何图形之间的关

系后，可以使图形的研究推进到有效能算的水平，向量运算（运算律）把向量与几何、代数有

机地联系在一起.

几何中的向量方法与解析几何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量运算”来

代替解析几何中的“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这

些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应

结果.如果把解析几何的方法简单地表述为

［形到数］一一［数的运算］——［数到形］，

则向量方法可简单地表述为

［形到向量］一一［向量的运算］一一［向量和数到形］.

教科书特别强调了向量法的上述基本思想，并根据上述基本思想明确提出了用向量法解

决几何问题的“三步曲”.为了使学生体会向量运算及运算律的重要性，教科书注意引导学生

在解决具体问题时及时进行归纳，同时还明确使用了“因为有了运算，向量的力量无限；如

果没有运算，向量只是示意方向的路标”的提示语.

说明：由于我们按照必修1,必修4的顺序进行教学，因此向量法这种解决问题的方法就

显得尤其重要，他为今后学习解析法奠定了基础。

二、教学方式概述

人教B版教材对教师的教学方式，教师驾驭课堂的能力，教师把握教材的程度提出了更高的

要求。

讲授启发式、自主探究式

向量是以往高中课程中已经出现的内容，新课标教材考虑的是通过改进呈现方式，提供

直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、

演绎证明、反思与建构等思维活动的载体，达到体现数学教育新理念，促使学生采取积极主

动、勇于探索的学习方式进行学习，教师改进教学方式，可以提高教学质量，使学生打好数

学基础，提高数学思维能力.

1.引导学生用数学模型的观点看待向量内容

2.加强向量与相关知识的联系性，使学生明确研究向量的基本思路

3.引导学生认真体会向量法的思想实质

掌握向量法的“三步曲”：

（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转

化为向量问题：

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

（3）把运算结果“翻译”成几何关系.

4.注意与数及其运算、解析几何的思想方法的类比

三、教学资源概述

教材、教参、多媒体或实物投影仪、尺规

四、课时建议

本单元教学约需12课时

2.1平面向量的实际背景及基本运算2课时

2.2平面向量的线性运算2课时

2.3平面向量的基本定理及坐标表示2课时

2.4平面向量的数量积2课时

2.5平面向量应用举例2课时

小结2课时

数学学科必修4模块第二单元教学设计方案

第一学时〜第二学时

2.1.1向量的概念

一.学习目标

1.关于向量的概念

(1)了解向量产生的物理背景,理解共线向量,相等向量等概念,理解向量的几何

表示；

(2)经历向量概念的形成过程,体会由实例引入概念的方法,并通过实例,体验用

向量表示点的位置的方法,培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力.

(3)通过学习，使学生认识到向量在刻画现实问题,物理问题和数学问题中的作

用，培养学生观察,类比联想等发现规律的一般方法,激发学生的学习兴趣和

钻研精神.

2.关于向量的线性运算

(1)通过实例，掌握向量加法,减法，向量数乘的运算,并理解其几何意义；

(2)让学生能由数的运算律类比向量的运算律，并结合图形验证相关的运算律,

强化对知识的形成过程的认识,并正确表述探究的结果.

(3)通过学习向量的线性运算,初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用

问题.

二.重点难点

1.关于向量的概念

(1)重点是向量的概念，相等向量的概念和向量的几何表示；

(2)难点是对向量概念的理解；

2.关于向量的线性运算

(1)重点是向量的加法运算，向量的减法运算，向量的数乘运算，法则的理解

及其几何意义；

(2)难点是对减法定义的理解及正确运用法则，运算律进行向量的线性运算，

并利用向量方法解决几何问题.

三.教学过程

教本环节教学内容师生互动设计意图

引入新课对向量全章的概念应用让学生了解大致

的介绍：通过对书(1)通过具体的内容和小学习本

上章前话的解读，例题1体会向量的章的重要性

让学生体会向量的概念和几何表示；

丰富实际背景，了通过例题2和例题

解向量的研究对象3巩固向量的几何

和研究方法，初步表示，相等，共线

了解向量与几何代向量等概念

数之间的关系.

⑵概念引入与形

成

概念形成1从常见的物理量例1船向南航行

力，位移等了解它100海里和向西航

们的特征是既有大行100海里的位移

小又有方向的量，相等吗选择适当

建立向量的认知基的比例尺用有向

础，自然引出向量线段表示这两次

航行.

2荽比学生熟悉的

例2某人从点A出

数量如温度，身高,发向西走200加到

体积,风速，时间,达8点，然后朝西

通过比较，使学生

偏北方向走

在比较中加深对概45°

念的认识.300m到达C点，

3让再举出几个既最后又向东走

有大小又有方向的200〃?到达。点.

量，以准确抓住向⑴按1:10000的

量的特点.比例作出向量

表示方法

(3)而衣和丽；

①再次类比数

的表示方

(2)求。4和AC

法，引出用

有向线段表的值.(精确到

示向量；(几1m)

何表示)例3在图中的4x5

②用有向线段的方格纸中有一

的方向和长

个向量赢，分别

度分别表示

向量的方向以图中的格点为

和大小，赋向量的起点和终

予向量的几点作向量.

何意义；(1)

③提出字母表其

示方法，明中

确书写上的与

要求，为向

量的运算做AB

好准备.相等的向量有几

(4)相关概念辨析个

①从向量的模

（2）与AB长度相

引出零向量

和单位向量等的共线向量有

的概念；多少个

②让学生了解

相等向量规

定的合理

性，可利用

计算机演示

向量的平行

移动，体会

向量的相

等，体会向

量与有向线

段之间的关

系；

③工向量的平

行移动体会

平行向量和

共线向量的

等价性；

归纳小结：向量的简单应用，找相等向量和用向量表示点的位置

作业:P79练习A,B

2.1.2向量的线性运算

教学环节教学内容师生互动设计意图

引入新课1）引入实验准备通过实际例子，使

数因为有了运情景1：让两个学学生学会用向量

算而使数的威力无生中的甲从教室解决实际问题的

穷，与数的运算类的某地A位移到方法

比，向量是否也能3地，再从8地位

进行运算呢从向量移到。地，

的物理背景和数的乙从A直接到达

运算中应该可以得C地，观察比较.

到一些启发结论：前者是位

探究向量加法的定移的合成，两次

义法则一＞一

①教师提出问题：位移的结

怎么定义任意二个—

向量的和？（教师果为AC,叩与后

在黑板上画出二个者从4点直接

器白由），让学生小组到C点的位移近

讨论以后，出现两相同；

种不同定义方式三情景2:观看事前

角形法则和平行四由学生做的力的

边形法则.合成的实验经过

②针对两种方式，要求①用二个互

教师引导学生理解相垂直的力

它们的本质的一致

6=3,工=4

性；

后同时提出思考

把橡皮条拉长

问题那种定义更一定的距离0E,

加严密？根据学

再撤去听,尸2，用

生的回答，启发

学生注意到平行一个力尸作用在

四边形法则对于橡皮条上，使橡皮

二个向量不能构沿着相同的方向

成平行四边形时伸长相同的长度，

要增加补充说记录厂的大小和

明，即二向量共方向；

线时的向量和如

②改变片,工的大

何？

④最后看书上相小和方向，重复以

关内容，补充对上实验，探究尸与

零向量的运算规

的关系.

定.

(5)向量加法定义③得出结论：排除

的运算律误差，合力产的方

①请学生类比

向在以片,尸2为邻

实数加法运

算律，猜测边的平行四边形

一下运算律的对角线上，且大

是什么？小等于平行四边

②由学生提出形该对角线的长.

探究的途例4如图，已知向

径，并分组量入b,用三角

验证，交流形法则和平行四

作图思路边形法则求作向

③教师投影学量2+5

生设计，并

根据情况进

行归纳点

评，总结探

究过程和探

究结论，让

学生有一个

完整的认

识.

(6)应用举例

①通过例5体

会向量加法

的实际应

用；

②通过例6体

会向量加法

在几何中的

应用.

例5一架飞机向南

飞行400府?，然后

改变方向向东飞行

300km,试求飞机

飞行的路程和位

移.

例6在平面内能否

构造三个非零向量

a,b,c使

a+b+c=6.根据

构造结果还可以

继续提出若

.---►■■»—•

AB+BC+CA^Q,

则A三点共线

是否正确

3.关于向量的减法

运算部分教学内容

⑴类比数的减法

运算，提出相反向

量的概念，定义减

法运算；

⑵根据减法的定

义，探索做出两个

向量的差的方法，

总结出向量减法的

三角形法

则；

(3)比较加法和减

法的三角形法则的

区别

(4)应用举例

①通过例7体

会向量的加

法和减法的

三角形法则

的混合应用；

②通过例8体

会向量减法

的实际应用.

例7在五边形

ABCDE中,

若而

BC^b,CD^c,

，DE^d,EA^e，

求作向量

a-c+b-d-e

例8已知一艘船从

A点出发，以

2y/3km/h的速度

向垂直于对岸的方

向行驶,而船

实际行驶速度为

4km/h,求河水的

流速的大小.

归纳小结：使学生理解并掌握向量加法的就几何意义。

作业1：P83练习A,B

作业2：P85练习A,B

数学学科必修4模块第二单元教学设计方案

第三学时〜第四学时

§2.1.4数乘向量(新教改B版教材)

教学目标：(1)掌握向量数乘运算法则，并理解其几何意义；

(2)让学生能由实数运算律类比向量运算律，并且验证强化

对知识的形成过程的认识，正确表示结果；

(3)初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题。

教学重点、难点:

重点：向量的数乘运算法则的理解及几何意义。

难点：正确运用法则解决几何问题。

教学过程:

教学

教学内容师生互动设计意图

环节

（1）前两节我们介绍了解了向

量的加法和减法，其中“加法”

我们要牢固掌握“三角形法则”

和“平行四边形法则”；

例如：平面内有向量a和人：

和f》师生互答

ab

①当顺次首尾连结

与

时:，

复习和向量即生/图的帚示；（副板教师讲解复习旧知识，

提问书）结合引出新知识

②当重合起点或终点时，图略，

复习师生互答复习旧知识

和向量应用“平行四边形法则”

提问求得；与引出新知识

而且向量的减法我们可以看成教师讲解

一个向量加上另一个向量的等

结合

模、反向、或记住口诀“连结

终点，指向被减”直接由代数

形式求得结果。

例如：AB~AC=CB

（2）下面我们来看这么一道

题：

1.例：已知如图向量:为非零

向量，试用作图方式表示；+a

->TT

+〃和一〃+（—〃）

a

（投影）

函瞬学弹概念及首先我们抓住学生通过对

性痂它的特点，；+老师利用向量加

1.向量数乘（实数和向量相乘）

a+a是区别法的讲解，能够

的定义：

于一般情况下很自然地接受向

实数;1和向量。的乘积是

的三个相同的量和实数相乘的

定理

一个向量，记作痴，且加的向量的加法，

这样一种从一般

形成长冽=4a.显然顺次连结

的加法到乘法的

（而且我们可以根据刚才首尾，我们依

运算

变换,通过观察、

的例题总结出这样的结论：）照加法规律可

率的比较、抽象、概

痴（a/0）的方向以很容易的得

形成［当4>0时，与。同方向;到3：的几何括出实数与向量

［当丸<0时,与a反方向.

相乘的几何表示

及证表示

当

这一点学生是与代数表示法。

明/1=0或。=0时,0。=0或；10=0.

容易理解并接发展学生的理性

2.实数和向量相乘所满足的运

受的，而一W+

算率：思维的能力。

（1）（/i+〃）a=/Ui+〃Q；（—a）也是两对于数乘向

（2）%（〃a）=（A/z）«;个和：等模反量的计算法则，

（3）A（a+b）=Aa+Ab（分向的向量的证明要求不是很

配率）.和。这时我们高，学生们只需

（以上各运算律证明方法会发现：当有要理解、掌握、

见后面，（3）的证明类似于例非零实数和非

并且能够灵活运

1,略，由学生自己证明）零向量相乘时

用该法则解答、

我们只需相应

证明题就可以了

扩大或缩小向

量的线段长

度，“例如3«

是将］的线段

扩大为。的三

倍”，并且应注

意所乘的常数

是正数时得到

的新向量方向

不变，负数时

变为和原向量

相反即可。若

原向量已有非

零实系数，那

么实系数相乘

再作系数。

并且：特殊地，

当实数0和一

个向量相乘

时，得到的仍

为一个向量，

且模为0,即

“零向量”。

（因为零向量

的方向不固定

且模为0,所以

我们不能以一

个固定方向的

箭头或一个点

来表示它，所

以“零向量”

没有几何表示

方法，它的代

数形式为6。）

1.计算下列各式：例3作图通过分段

(1)(—2)x—fl；

2是学生需要锻设问，引导学

应用⑵2(0+方)一3(0-力)；炼的能力之生体会解题思

(3)(4+〃)(〃一b)—(/l_//)(〃+万).

举例一，督促学生路的形成过

解：

应用画好，其次是程，培养学生

(1)(-2)

举例=(-2x—；注意回顾和正独立思考分

2

=(-i)a=-a确使用向量加析、解决问题

法法则，亦可的能力

（2）2（a+b）-3（a-b）以使用相似先

=2a+2b-3a+3b

»

=（2。-3。）+（2）+3历得到线段长度

=-a+5b

的关系，判断

（3）（A+〃）（a—b）—（4—〃）（“+b）

=a（Q-b）+〃（a-b）-〃a+b）方向，从而得

+〃（。+力

=Au—Ab+/M—jub—AM到结论

一4））

=2jua-2Ab

例2.设x是未知向量，解方程：

5（x+a）+3（x-Z>）=0.

解:原式可变形为：

5X+5G+3X-3）=0

sx=-5a+3b

53,

x=——a+-b

88

（例1和例2所需要注意的是书

写格式要正确,箭头不要丢掉）

例3.如图所示，已知

04'=304,0=3薪，说明向量

而与防的关系.

解:因为

OB=OA+AI

=3OA+3AB

=3（凉+嘉）

->

=30B

所以而'与方共线且方向

相同,长度是否的3倍.

布置书后练习A组题目和B组

巩固所学知识

1,2小题.学生独立完成

作业方法

三.教学资源建议:

可以参阅之前向量这一部分的参考资料，结合新教材B版的

自有的参考资料共同完成。

四.教学方法与学习指导策略建议：

本节内容介绍的是向量与实数相乘的相关内容，其中包括定

义、性质以及运算法则,对于这一部分的内容我觉得关键是在于让

学生能够从理解的角度认可并掌握实数与向量相乘的几何图形表

Zp*o

课文一开始的引入是从图形的放大和缩小是否能使用向量的

手段进行解决这个问题入手的，是从向量和实数相乘的用法的角

度切入的，可能相当一部分学生对这个问题不怎么感兴趣。而从

向量的数乘是向量加法的一种特殊情况入手不仅复习回顾了前面

向量的加减运算，而且从加法的特例（即几个相同的向量相加）

入手，使得学生能自然地接受几何表示，不会觉得很突兀。其次

牢记实数与向量相乘的结果是向量,而不是数,也比较重要，尤其

是当向量为零或实数为零时，是讲解的重点。并且对于代数形式,

稍加归纳总结即可。运算率可以让学生自己来证明。最后就是在

解题的过程中，要强调格式的正确性，因为是高中的新知识，初

中没有接触过，所以正确的格式要坚持强调。

§2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运

算

一（新教改B版教

材）

教学目标：使学生掌握平面向量共线的条件及简单的证明过程,会使用

该定理解题，掌握轴上向量的定义方法,会计算向量的坐标,

利用向量的坐标解题。

教学重点难点：重点是平行向量基本定理；

难点是平行向量基本定理的应用.

教学内容安排:

教学

教学内容师生互动设计意图

环节

在学习向量概念的时候，我

们已经定义了什么是向量共线

（即平行）.而我们要知道向量的

师生互答

共线和平行是同一个含义,它与

与

复习直线的平行、重合不同,两个向复习旧知识，

教师讲解

提问量的基线是同一条直线或两条引出新知识

平行直线时，向量都称为共线结合

（或平行）向量，〈因为向量是自

由的＞°它的表示方法是力

而且由于零向量觉得方向不定，

所以可以把零向量认为成和任

一向量平行的向量。

同学们要

1.平行向量基本定理：学生通过

如果肪，贝IJ。〃办；反牢记基本定对老师利用向

之，如果。//4且6力0,贝IJ存在

理，而且这样量加法的讲

唯一一个实数2,使得

以来实数与这解，能够很自

（这样我们给出的这个平

条轴上的向量然地接受向量

行向量的基本定理,根据它就可

建立起----对和实数相乘的

以判断两个向量是否共线了，实

应的关系，至

定理际上,给出的这种判断方法是一这样一种从一

此,我们就可

形成种代数的判断方法,后面在学习般的加法到乘

了坐标后我们在判断是否共线

定理以用数值来表法的变换，通

时也是根据这种方法来判断

形成小向里.给我过观察、比较、

的.）

们奠定了向量

定理抽象、概括出

2.单位向量：

形成的数量化的基向量的坐标表

给定一个非零向量。，与。

础，也是我们

同方向且长度等于1的向量,叫示，为以后向

做向量。的单位向量.将来平面向量量平面的坐标

如果。的单位向量记作，

空间向量数量做好准备，是

由数乘向量的定义可

化的基础.向量坐标非常

知:或

那么我们重要的坐标表

二.轴上向量的坐标及其运算：

由数轴上两点示的引理。另

（对于数轴定义的回忆）

的距离可以用一方面有助于

规定了方向和长度单位的

直线叫做*gf7cA->B

右边的点的坐发展学生的理

已知轴/.取单位向量e,使标减去左边点性思维的能

e的方向与/同方向，根据向量

的坐标这种方力，从简单的

平行的条件，对轴上任意向量

法来计算两点向量的知识开

a,一定存在唯一实数%，使

间的距离，所始，逐步深入，

a-xe.

以以这两点为为平面向量的

反过来，任意给定一个实

数了,我们总能作一个向量起终点的向量基本定理做好

a=xe,使它的长