综合训练（4）大题训练-2022届高三数学二轮复习

2022届高三数学二轮复习大题训练（综合训练（4））1．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，．条件①：；条件②：；条件③：平面平面．请从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．2．已知数列的前项和为，满足，．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前100项的和．3．在中，角，，的对边分别为，，，，且．（1）若，，求；（2）若，求的最大值．4．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点，到的距离为3．（1）求抛物线的方程和点的坐标；（2）设斜率为的直线过点，且与抛物线交于不同的两点，，若，，求斜率的取值范围．5．某工厂对一批零件进行质量检测．具体检测方案为：从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到有2件不合格零件时，停止检测，此批零件检测未通过，否则检测通过．假设每件零件为不合格零件的概率为0.1，且每件零件是否为不合格零件之间相互独立．（1）若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率：（2）已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为150元件，现对不合格零件进行修复，修复后合格的零件正常销售，修复后不合格的零件以10元件按废品处理，若每件零件的修复费用为20元，每件不合格零件修复后为合格零件的概率为0.8，记为生产一件零件获得的利润，求的分布列和数学期望．6．已知函数．（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，，方程的根为，，且，求证：．2022届高三数学二轮复习大题训练（综合训练（4））1．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，．条件①：；条件②：；条件③：平面平面．请从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【解答】若选择①②：（1）证明：，，，，又，，平面；（2）由（1）可知，，，四边形是正方形，，如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，0，，，4，，，4，，，设平面的一个法向量为，则，则可取，设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成角的正弦值为．若选择①③：（1）证明：，，，，又平面平面，平面平面，平面；（2）与选择①②相同．2．已知数列的前项和为，满足，．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前100项的和．【解答】（1）当时，，整理得，又，得，则数列是以为首项，为公比的等比数列．∴（2）已知，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，则．3．在中，角，，的对边分别为，，，，且．（1）若，，求；（2）若，求的最大值．【解答】（1）由，可得：，所以，又且，所以，所以，由正弦定理可知：，所以，解得，所以或；（2）设中点为，则，可得，在中，，在中，，因为，所以，所以，由（1）知：，，因为，又（当且仅当时取等号），所以，即当且仅当时取得最大值6．4．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点，到的距离为3．（1）求抛物线的方程和点的坐标；（2）设斜率为的直线过点，且与抛物线交于不同的两点，，若，，求斜率的取值范围．【解答】（1）由题意，可得，解得，抛物线的方程为，把点，代入抛物线方程可得，解得，点的坐标为，．（2）设，，，，直线的方程为，联立，可得，，，，，，，，，令，，，（1），可得函数在，上单调递减，在上单调递增．时，的最小值为（1），又（4），，，解得，即，，．5．某工厂对一批零件进行质量检测．具体检测方案为：从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到有2件不合格零件时，停止检测，此批零件检测未通过，否则检测通过．假设每件零件为不合格零件的概率为0.1，且每件零件是否为不合格零件之间相互独立．（1）若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率：（2）已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为150元件，现对不合格零件进行修复，修复后合格的零件正常销售，修复后不合格的零件以10元件按废品处理，若每件零件的修复费用为20元，每件不合格零件修复后为合格零件的概率为0.8，记为生产一件零件获得的利润，求的分布列和数学期望．【解答】（1）若此批零件检测未通过，恰好检测5次，则第五次检验不合格，前四次有一次检验不合格，故恰好检测5次的概率．（2）由题意可得，合格产品利润为70元，不合格产品修复合格后利润为50元，不合格产品修复后不合格的利润为元，则可取70，50，，且，，，故的分布列为：70500.90.080.02故（元．6．已知函数．（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，，方程的根为，，且，求证：．【解答】（1），设，则△，①当时，△，恒成立，所以在，上减函数，又因为（1），所以恒成立，②当时，△，方程的根为，又因为，所以，由，得，由，得，所以在，上是增函数，在，上是减函数，因为（1），所以不恒成立，所以，所以的取值范围为，．（2）证明：，，所以在上