高中数学8.2.1随机变量及其分布列同步练习教师版苏教版选择性必修第二册

8.2.1随机变量及其分布列一、单选题1．下列结论中，正确的是（

）A．随机事务个数与随机变量一一对应B．随机变量与区间一一对应C．随机变量的取值是实数D．随机变量与自然数一一对应【答案】C【分析】依据随机变量的定义干脆得到答案.【解析】依据随机变量的定义知：随机变量的取值是实数，C正确；随机事务个数与随机变量不肯定是一一对应的，A错误；离散型随机变量与区间不是一一对应的，B错误；连续型随机变量与自然数不是一一对应，D错误.故选：C.2．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（

）．A．至少取到1个白球 B．取到白球的个数C．至多取到1个白球 D．取到的球的个数【答案】B【分析】依据随机变量的定义进行求解.【解析】依据随机变量的定义，选项B是随机变量，其可能取值为0,1,2,其他三个选项均不能作为随机变量.故选：B3．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量ξ，则ξ全部可能取值的个数是（

）A．25 B．10 C．15 D．9【答案】D【分析】依据有放回抽样，将号码之和可能的状况列举求解.【解析】由题意得：两个球的号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个.故选：D4．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（

）A．甲赢三局B．甲赢一局输两局C．甲、乙平局二次D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次【答案】D【分析】列举出的全部可能的状况，即得.【解析】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故表示两种状况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选：D．5．设是一个离散型随机变量，其分布列为则等于（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】依据分布列的学问列方程来求得.【解析】依题意，，解得（大于，舍去）或.故选：C6．袋中有大小相同的6个黑球，5个白球，从袋中每次随意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球，记所须要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用随机变量的定义求解.【解析】因为取到白球时停止，所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球；最多次数是7次，即把全部的黑球取完之后才取到白球．所以取球次数可以是1，2，3，∙∙∙，7．故选：B．7．随机变量ξ的全部可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a的值为（

）A． B． C．110 D．55【答案】B【分析】依据随机变量的概率和为1,列出方程即可求解【解析】∵随机变量ξ的全部可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a＝故选：B.8．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是（

）A． B．C．[－3，3] D．[0，1]【答案】B【分析】依据等差数列的性质和分布列的性质可求解.【解析】解：由题意得：设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质得(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故，由，解得.所以公差的取值范围是.故选：B9．某一随机变量的概率分布如下表，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据离散型随机变量分布列的性质和已知条件得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，由此可求得的值.【解析】由离散型随机变量分布列的性质以及已知条件得，解得，因此，.故选：B.10．若实数x∈R，记随机变量ξ＝，则不等式≥1的解集所对应的ξ的值为（

）A．1 B．0C．－1 D．1或0【答案】A【分析】先解不等式≥1，再依据随机变量ξ求解.【解析】不等式≥1，可化为不等式，即，解得0<x≤1.而当x∈(0，1]时，ξ＝1.故选：A.11．已知集合，，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则为（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】列举法确定分别从集合A、B中取3个元素后对应的最小、最大元素及全部组合，再由题设知的取值为，利用古典概型的概率求法求即可.【解析】依据题意，从集合中任取3个不同的元素有4种：，其中最小的元素取值分别为，从集合中任取3个不同的元素有10种：，其中最大的元素的取值分别为，由，随机变量的取值为，故对应，∴，故选：C.12．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X全部可能的取值为1，2，…，n，且，定义X的信息熵．命题1：若，则随着n的增大而增大；命题2：若，随机变量Y全部可能的取值为1，2，…，m，且，则．则以下结论正确的是（

）A．命题1正确，命题2错误 B．命题1错误，命题2正确C．两个命题都错误 D．两个命题都正确【答案】A【分析】依据信息熵公式，利用对数的运算性质及对数函数的单调性推断命题1；由已知公式得到关于的绽开式，应用作差法及对数的性质推断的大小推断命题2.【解析】若，则，故随着n的增大而增大，命题1正确；，则，而，，，所以，故，命题2错误；故选：A二、多选题13．设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：ξ－10123P则下列各式不正确的是（

）A．P(ξ＜3)＝ B．P(ξ＞1)＝C．P(2＜ξ＜4)＝ D．P(ξ＜0.5)＝0【答案】ABD【分析】利用分布列和概率的性质求出概率，逐一验证即可.【解析】P(ξ＜3)＝＋＋＋＝，A错误；P(ξ＞1)＝＋＝，B错误；P(2＜ξ＜4)＝P(ξ＝3)＝，C正确；P(ξ＜0.5)＝＋＝，D错误．故选：ABD．14．已知随机变量的分布列为：若，则实数的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】求出的分布列，对各选项依次推断即可.【解析】由随机变量的分布列可知，随机变量的可能取值为，，，，的分布列为：，，，，用表格表示为∴对于A，时，，故选项A错误；对于B，时，，故选项B正确；对于C，时，，故选项C正确；对于D，时，，故选项D正确.故选：BCD.15．一盒中有7个乒乓球，其中5个未运用过，2个已运用过．现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已运用过的球的个数为，则下列结论正确的是（

）A．X的全部可能取值是3，4，5 B．X最有可能的取值是5C．X等于3的概率为 D．X等于4的概率为【答案】AC【分析】求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，即得.【解析】记未运用过的乒乓球为M，已运用过的为N，任取3个球的全部可能是：1个M球和2个N球，2个M球和1个N球，3个M球．M球运用后成为N球，故X的全部可能取值是3，4，5，所以选项A正确；又，，，所以X最有可能的取值是4，所以选项B，D错误，选项C正确．故选：AC．16．乒乓球（tabletennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”．某次竞赛采纳五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局竞赛时，就由该选手晋级而竞赛结束．每局竞赛皆须分出输赢，且每局竞赛的输赢不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为，实际竞赛局数的期望值记为，下列说法正确的是（

）A．三局就结束竞赛的概率为 B．的常数项为3C． D．【答案】ABD【分析】设实际竞赛局数为，先计算出可能取值的概率，即可推断A选项；进而求出期望值，即可推断BCD选项.【解析】设实际竞赛局数为，则，，，因此三局就结束竞赛的概率为，则A正确；则，由，则常数项为3，则B正确；由，则D正确；由，，所以，令，则；令，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，因为，所以关于对称，且越极端，越可能快结束，有，得，则C不正确.故选：ABD.三、填空题17．已知随机变量，若，则p＝_____．【答案】##0.25【分析】由可得，进而可求解答案.【解析】已知X～B（2，p），则，∴，解得或（因为0＜p＜1，故舍去）．故答案为：．18．设随机变量的分布列为，（，2，3），则a的值为___________.【答案】##【分析】利用离散型随机变量分布列的性质，列式计算作答.【解析】依题意，，解得，所以a的值为.故答案为：19．设X是一个离散随机变量，其分布列为：X－101P则实数q的值为______.【答案】##【分析】依据概率和为1，结合概率的范围列式求解即可.【解析】由离散型随机变量分布列的性质，知，故，因为，解得.故答案为：20．设随机变量的概率分布为，为常数，，，，，则______．【答案】【分析】由概率之和为1以及数列求和公式即可求解.【解析】由题意知：随机变量的全部可能取值的概率和为1，即，则，由等比数列的求和公式，得，所以，得.故答案为：四、解答题21．一个袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1、2、3、4、5、6，从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码．(1)求的分布；(2)求的取值不小于4的概率．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）随机变量的可能取值为3、4、5、6，计算对应概率得到分布列.（2），计算得到答案.【解析】（1）随机变量的可能取值为3、4、5、6，且，，，，所以的分布为：（2）的取值不小于4的概率为：．22．设随机变量的概率分布，．(1)求常数的值；(2)求和的值．【答案】(1)(2)；【分析】（1）（2）由分布列的性质求解即可；【解析】（1）解：由，得．（2）解：由题知：．．23．某机构对于某地区的10000户家庭的年可支配收入的调查中，获得如下的统计数据：60%的家庭将年可支配收入用来购买银行结构性存款，20%的家庭将年可支配收入存入银行，其余家庭将年可支配收入用于风险投资.已知银行结构性存款获得的年收益率为5%的概率为95%，获得的年收益率为-2%的概率为5%，存入银行的年收益率为2%，风险投资的平均年收益率为3%.把频率当作概率，假设该地区的每户家庭的年可支配收入均为10万元.(1)求这些家庭将年可支配收入不存入银行的概率；(2)每户家庭获得的年收益为X万元，求X的分布列.【答案】(1)80%(2)分布列见解析【分析】（1）利用对立事务的概率公式可求得所求事务的概率.（2）计算出随机变量X的可能取值，求出每个随机变量X的可能取值，列出随机变量X的分布列.（1）由已知得，这些家庭将年可支配收入不存入银行的概率为.（2）由已知得，X的可能取值为，，，，，，，，所以X的分布列为X0.20.30.5P0.030.20.20.5724．近日，某调查公司在一家大型超市进行了顾客运用移动支付状况的调查．调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随机抽取了200人，得到如下数据：年龄人数类型运用移动支付45402515不运用移动支付0102045(1)现从这200人中随机依次抽取2人，已知第1次抽到的人运用移动支付的条件下，求第2次抽到的人不运用移动支付的概率；(2)在随机抽取的200人中对运用移动支付的人群采纳分层随机抽样的方式抽取25人做进一步的问卷调查，再从这25人中随机选出3人颁发参加奖，设这3人中年龄在之间的人数为X，求X的分布列．【答案】(1)(2)分布列见解析【分析】（1）利用条件概率即可得解；（2）写出随机变量的全部取值，求出对应概率，再写出分布列即可.（1）解：记事务A：第1次抽到的人运用移动支付，事务B：第2次抽到的人不运用移动支付，所以；（2）解：在年龄段中抽取的人数为，则X的可能取值为0，1，2，3，且，，，，则X的分布列为012325．近日，某调查公司在一家大型超市进行了顾客运用移动支付状况的调查．调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随机抽取了200人，得到如下数据：年龄人数类型运用移动支付45402515不运用移动支付0102045(1)现从这200人中随机依次抽取2人，已知第1次抽到的人运用移动支付的条件下，求第2次抽到的人不运用移动支付的概率；(2)在随机抽取的200人中对运用移动支付的人群采纳分层随机抽样的方式抽取25人做进一步的问卷调查，再从这25人中随机选出3人颁发参加奖，设这3人中年龄在之间的人数为X，求X的分布列．【答案】(1)(2)分布列见解析【分析】（1）利用条件概率即可得解；（2）写出随机变量的全部取值，求出对应概率，再写出分布列即可.（1）解：记事务A：第1次抽到的人运用移动支付，事务B：第2次抽到的人不运用移动支付，所以；（2）解：在年龄段中抽取的人数为，则X的可能取值为0，1，2，3，且，，，，则X的分布列为012326．某高校对该校学生进行了一次“身体素养测试”，包括铅球、50米跑、立定跳远三项．现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示合格，2表示优良，再用综合指标的值评定身体素养等级，若，则为一级；若，则为二级；若，则为三级．为了了解该校学生身体素养的状况，随机抽取了10人的测试成果，得到如下表所示结果：编号编号（1）在这10人中任取2人，求抽取的2人指标z