新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题四立体几何第一讲空间几何体的表面积与体积截面与交线-小题备考微专题1空间几何体的表面积和体积

微专题1空间几何体的表面积和体积常考常用结论1．柱体、锥体、台体的表面积公式：①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)．2．柱体、锥体的体积公式：①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；1．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．地区不同，制作的粽子形态也不同，图中的粽子接近于正三棱锥．经测算，煮熟的粽子的密度为1.8g/cm3，若图中粽子的底面边长为8cm，高为4cm，则该粽子的重量大约是()A．105gB．110gC．115gD．120g2．[2023·安徽亳州一中模拟]若正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，高为3，则该正四棱台的体积为()A．5B．7C．D．3．[2023·江苏盐城三模]已知底面半径为r的圆锥SO，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为()A．B．C．D．1.(1)[2023·新高考Ⅱ卷](多选)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角PACO为45°，则()A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为4πC．AC＝2D．△PAC的面积为(2)如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长都是a，截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，则四面体BB1DE的体积为________．技法领悟1．求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．2．求空间几何体的体积，还常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体，易于求解．[巩固训练1](1)[2023·全国乙卷]已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为()A．πB．πC．3πD．3π(2)[2023·辽宁鞍山模拟]如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝CA＝AA1，点D是棱AA1上的点，AD＝AA1，若截面BDC1分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为()A．1∶2B．4∶5C．4∶9D．5∶7微专题1空间几何体的表面积和体积保分题1．解析：由题知，粽子的体积V＝Sh＝×82×4＝64(cm3)，依据ρ＝可得，该粽子重量大约为1.8×64＝115.2(g)，与C选项最为接近．故选C.答案：C2．解析：V棱台＝(S上＋＋S下)h＝×(1＋＋4)×3＝7.故选B.答案：B3．解析：圆锥的高为r，如图，由△SO1M∽△SOB可得：＝＝，∴SO1＝SO，∴OO1＝SO＝r，圆柱侧面积S1＝2π·r·r＝πr2，圆锥侧面积S2＝·2πr·2r＝2πr2，＝·＝.故选D.答案：D提分题[例1]解析：(1)依题意，∠APB＝120°，PA＝2，所以OP＝1，OA＝OB＝，圆锥的体积为×π×()2×1＝π，A选项正确；圆锥的侧面积为π××2＝2π，B选项错误；设D是AC的中点，连接OD，PD，则AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角PACO的平面角，则∠PDO＝45°，所以OP＝OD＝1，故AD＝CD＝＝，则AC＝2，C选项正确；PD＝＝，所以S△PAC＝×2＝2，D选项错误．故选AC.(2)解析：方法一取BB1中点F，连结DF，EF，则V四面体BB1ED＝V锥B1DEF＋V锥BDEF＝B1F·S△DEF＋BF·S△DEF＝BB1·S△DEF＝a·×()2＝a3.方法二取BB1中点F，连结DF，EF，则V四面体BB1DE＝2V锥B1DEF＝2··V锥B1ABC＝2×a3＝a3.方法三设A、D两点到平面BCC1B1的距离分别为h、h′，则h′＝h＝a.V锥DBB1E＝h′·S△BB1E＝h′×S正方形BB1C1C＝a×a2＝a3.答案：AC(2)a3[巩固训练1](1)解析：在△AOB中，∠AOB＝120°，而OA＝OB＝，取AB中点C，连接OC，PC，有OC⊥AB，PC⊥AB，如图，∠ABO＝30°，OC＝，AB＝2BC＝3，由△PAB的面积为，得×3×PC＝，解得PC＝，于是PO＝＝＝，所以圆锥的体积V＝π×OA2×PO＝π×()2×＝π.故选B.(2)解析：不妨令AB＝BC＝CA＝AA1＝4，且上下底面是等边三角形，又AA1⊥底面ABC，易知ABCA1B1C1为直三棱柱，即侧面为矩形，所以三棱柱ABCA1B1C1体积V＝AA1·S△ABC＝4××42