2025届浙江省杭州市示范名校高一数学第二学期期末联考试题含解析

2025届浙江省杭州市示范名校高一数学第二学期期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（）A． B．C． D．2．已知，且，那么a，b，，的大小关系是（）A． B．C． D．3．执行如图的程序框图，则输出的λ是()A．-2 B．-4 C．0 D．-2或04．已知样本的平均数是10，方差是2，则的值为（）A．88 B．96 C．108 D．1105．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A． B．C． D．6．已知一个扇形的圆心角为，半径为1．则它的弧长为（）A． B． C． D．7．某社区义工队有24名成员，他们年龄的茎叶图如下表所示，先将他们按年龄从小到大编号为1至24号，再用系统抽样方法抽出6人组成一个工作小组，则这个小组年龄不超过55岁的人数为（）3940112551366778889600123345A．1 B．2 C．3 D．48．如图，两个正方形和所在平面互相垂直，设、分别是和的中点，那么：①；②平面；③；④、异面.其中不正确的序号是（）A．① B．② C．③ D．④9．若，满足，则的最大值为（）．A． B． C． D．10．在等差数列中，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为__________.12．当函数取得最大值时，=__________．13．已知点及其关于原点的对称点均在不等式表示的平面区域内，则实数的取值范围是____．14．已知点，,若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是____________.15．已知，，若，则实数的值为__________．16．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦.B.曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，下图是按照一定的分形规律生长成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，且.(1)求的值；(2)求的值.18．已知，，，求：的值.19．已知.（1）当时，解不等式；（2）若，解关于x的不等式.20．已知圆A：，圆B：.（Ⅰ）求经过圆A与圆B的圆心的直线方程；（Ⅱ）已知直线l：，设圆心A关于直线l的对称点为，点C在直线l上，当的面积为14时，求点C的坐标.21．已知圆内有一点，过点作直线交圆于两点.（1）当直线经过圆心时，求直线的方程；（2）当弦被点平分时，写出直线的方程.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

根据左右平移和周期变换原则变换即可得到结果.【详解】向左平移个单位得：将横坐标缩短为原来的得：本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数的左右平移变换和周期变换的问题，属于基础题.2、D【解析】

直接用作差法比较它们的大小得解.【详解】；；.故.故选：D【点睛】本题主要考查了作差法比较实数的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3、A【解析】

根据框图有，由判断条件即即可求出的值.【详解】由有.根据输出的条件是，即.所以，解得：.故选：A【点睛】本题考查程序框图和向量的加法以及数量积以及性质，属于中档题.4、B【解析】

根据平均数和方差公式列方程组，得出和的值，再由可求得的值．【详解】由于样本的平均数为，则有，得，由于样本的方差为，有，得，即，，因此，，故选B．【点睛】本题考查利用平均数与方差公式求参数，解题的关键在于平均数与方差公式的应用，考查计算能力，属于中等题．5、B【解析】

试题分析：由三视图可知，该几何体是如下图所示的三棱锥，其中平面平面，,且，，所以，与均为正三角形，且边长为，所以，故该三棱锥的表面各为，故选B．考点：1．三视图；2．多面体的表面积与体积．6、C【解析】

直接利用扇形弧长公式求解即可得到结果.【详解】由扇形弧长公式得：本题正确选项：【点睛】本题考查扇形弧长公式的应用，属于基础题.7、B【解析】

求出样本间隔，结合茎叶图求出年龄不超过55岁的有8人，然后进行计算即可．【详解】解：样本间隔为，年龄不超过55岁的有8人，则这个小组中年龄不超过55岁的人数为人．故选：．【点睛】本题主要考查茎叶图以及系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键，属于基础题．8、D【解析】

取的中点，连接，，连接，，由线面垂直的判定和性质可判断①；由三角形的中位线定理，以及线面平行的判定定理可判断②③④．【详解】解：取的中点，连接，，连接，，正方形和所在平面互相垂直，、分别是和的中点，可得，，平面，可得，故①正确；由为的中位线，可得，且平面，可得平面，故②③正确，④错误．故选：D．【点睛】本题主要考查空间线线和线面的位置关系，考查转化思想和数形结合思想，属于基础题．9、D【解析】作出不等式组，所表示的平面区域，如图所示，当时，可行域为四边形内部，目标函数可化为，即，平移直线可知当直线经过点时，直线的截距最大，从而最大，此时，，当时，可行域为三角形，目标函数可化为，即，平移直线可知当直线经过点时，直线的截距最大，从而最大，，综上，的最大值为．故选．点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.10、B【解析】

利用等差中项的性质得出关于的等式，可解出的值.【详解】由等差中项的性质可得，由于，即，即，解得，故选：B.【点睛】本题考查等差中项性质的应用，解题时充分利用等差中项的性质进行计算，可简化计算，考查运算能力，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1【解析】

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得

S=1，i=1

满足条件S<40，执行循环体，S=3，i=2

满足条件S<40，执行循环体，S=7，i=3

满足条件S<40，执行循环体，S=15，i=4

满足条件S<40，执行循环体，S=31，i=5

满足条件S<40，执行循环体，S=13，i=1

此时，不满足条件S<40，退出循环，输出i的值为1．

故答案为：1．【点睛】本题主要考查的是程序框图，属于基础题．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．12、【解析】

利用辅助角将函数利用两角差的正弦公式进行化简，求得函数取得最大值时的与的关系，从而求得，，可得结果.【详解】因为函数，其中，，当时，函数取得最大值，此时，∴，，∴故答案为【点睛】本题考查了两角差的正弦公式的逆用，着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质，属于中档题.13、【解析】

根据题意，设与关于原点的对称，分析可得的坐标，由二元一次不等式的几何意义可得，解可得的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，设与关于原点的对称，则的坐标为，若、均在不等式表示的平面区域内，则有，解可得：，即的取值范围为，；故答案为，．【点睛】本题考查二元一次不等式表示平面区域的问题，涉及不等式的解法，属于基础题．14、【解析】

根据直线方程可确定直线过定点；求出有公共点的临界状态时的斜率，即和；根据位置关系可确定的范围.【详解】直线可整理为：直线经过定点，又直线的斜率为的取值范围为：本题正确结果：【点睛】本题考查根据直线与线段的交点个数求解参数范围的问题，关键是能够明确直线经过的定点，从而确定临界状态时的斜率.15、【解析】

利用共线向量等价条件列等式求出实数的值.【详解】，，且，，因此，，故答案为.【点睛】本题考查利用共线向量来求参数，解题时要充分利用共线向量坐标表示列等式求解，考查计算能力，属于基础题.16、【解析】

观察图像可知每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点,每个空心圆点下一行均为实心圆点.再利用规律找到行与行之间的递推关系即可.【详解】由图像可得每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点,每个空心圆点下一行均为实心圆点.故从第三行开始,每行的实心圆点数均为前两行之和.即.故第1到第13行中实心圆点的个数分别为：.故答案为：【点睛】本题主要考查了递推数列的实际运用,需要观察求得行与行之间的实心圆点的递推关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）由即可求得；（2）可由的差角公式进行求解【详解】（1）由题可知，，，（2），又由前式可判断，，，故，【点睛】本题考查三角函数的计算，二倍角公式的使用，两角差公式的使用，易错点为忽略具体的角度范围，属于中档题18、【解析】

求出和的取值范围，利用同角三角函数的基本关系求出和的值，然后利用两角差的余弦公式可求出的值.【详解】，则，且，，，，，，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用两角差的余弦公式求值，解题的关键就是利用已知角来表示所求角，考查计算能力，属于中等题.19、（1）或；（2）答案不唯一，具体见解析【解析】

（1）将代入，解对应的二次不等式可得答案；

（2）对值进行分类讨论，可得不同情况下不等式的解集．【详解】解：（1）当时，有不等式，，∴不等式的解集为或（2）∵不等式又当时，有，∴不等式的解集为；当时，有，∴不等式的解集为；当时，不等式的解集为.【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，解二次不等式，难度中档．20、（I）（Ⅱ）或【解析】

（Ⅰ）由已知求得，的坐标，再由直线方程的两点式得答案；（Ⅱ）求出的坐标，再求出以及所在直线方程，设，利用点到直线的距离公式求出到所在直线的距离，代入三角形面积公式解得值，进而可得的坐标.【详解】（Ⅰ）将圆：化为：，所以，圆：化为：，所以，所以经过圆与圆的圆心的直线方程为：，即.（Ⅱ）如图，设，由题意可得，解得，即，∴，所在直线方程为，即，设，则到所在直线的距离，由，解得或，∴点的坐标为或.【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点关于直线的对称点的求法，考查运算求解能力，属于中档题.21、（