2024年新高考数学押题密卷（三）

2024年新高考数学押题密卷（三）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，若，则（

）A． B． C． D．2．复数满足（为虚数单位），在复平面内的共轭复数所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺4．2023年3月11日，“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器圆满完成国际首次环大洋洲载人深潜科考任务，顺利返回三亚．本次航行有两个突出的成就，一是到达了东南印度洋的蒂阿曼蒂那深渊，二是到达了瓦莱比—热恩斯深渊，并且在这两个海底深渊都进行了勘探和采集．如图1是“奋斗者”号模型图，其球舱可以抽象为圆锥和圆柱的组合体，其轴截面如图2所示，则该模型球舱体积为（

）．A． B． C． D．5．已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（

）A． B． C． D．6．已知函数的图像如图所示，则此函数可能是(

)A． B．C． D．7．已知函数，关于的命题：①的最小正周期为；②图像的相邻两条对称轴之间的距离为；③图像的对称轴方程为；④图像的对称中心的坐标为；⑤取最大值时.则其中正确命题是（

）A．①②③ B．①③⑤ C．②③⑤ D．①④⑤8．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则=（

）A．4036 B．4040 C．4044 D．4048二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C．向量，在上的投影向量相等 D．10．，分别为随机事件，的对立事件，下列命题正确的是（

）A．若，为相互独立事件且，则B．若，则C．D．若，，则11．已知正方体的棱长为分别为棱的点，且，若点为正方体内部（含边界）点，满足：为实数，则下列说法正确的是（

）A．点的轨迹为菱形及其内部B．当时，点的轨迹长度为C．最小值为D．当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．为助力乡村振兴，九江市教科所计划选派5名党员教师前往5个乡村开展“五育”支教进乡村党建活动，每个乡村有且只有1人，则甲不派往乡村A的选派方法有种.13．已知数列的通项公式为，前项和为，则满足不等式的取值的集合为.14．在三棱锥中，侧面所在平面与平面的夹角均为，若，且是直角三角形，则三棱锥的体积为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）在中，角所对的边成等比数列，角是与的等差中项.(1)若，求的面积；(2)求的值.16．（15分）如图，在四棱锥中，平面.(1)求证：平面平面；(2)若点为的中点，线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由.17．（15分）设函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)若时，函数的图像与的图像仅只有一个公共点，求的取值范围.18．（17分）已知为坐标原点，双曲线的焦距为，且经过点.(1)求的方程：(2)若直线与交于，两点，且，求的取值范围：(3)已知点是上的动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足？若存在，求出圆的半径：若不存在，请说明理由.19．（17分）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚．甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种．他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复．(1)若3月1日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率；(2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布列与数学期望；(3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数．2024年新高考数学押题密卷（三）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，即，此时，由，得，而，所以.故选：A2．复数满足（为虚数单位），在复平面内的共轭复数所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】由，得，所以，对应的点为位于第一象限.故选：A.3．周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】C【解析】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长分别为，，，，前n项和，由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，得，解得，，所以谷雨日影长为（尺）．故选：C4．2023年3月11日，“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器圆满完成国际首次环大洋洲载人深潜科考任务，顺利返回三亚．本次航行有两个突出的成就，一是到达了东南印度洋的蒂阿曼蒂那深渊，二是到达了瓦莱比—热恩斯深渊，并且在这两个海底深渊都进行了勘探和采集．如图1是“奋斗者”号模型图，其球舱可以抽象为圆锥和圆柱的组合体，其轴截面如图2所示，则该模型球舱体积为（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】由模型的轴截面可知圆锥的底面半径为，高为；圆柱的底面半径为，高为，故该模型球舱体积为（），故选：D.5．已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，如图，记为的左焦点，连接，则由椭圆的对称性可知，由，设，则.又轴，所以，即，所以，解得.所以的长轴长为.故选：B6．已知函数的图像如图所示，则此函数可能是(

)A． B．C． D．【答案】B【解析】对于，，有，解得，即的定义域为，在区间上，，，，与所给图象不符；对于，，的定义域为，又由，为奇函数，在区间上，，，，在区间上，，，，与所给图象不矛盾；对于，，有，解得，即的定义域为，在区间上，，，，而x>3时，3x2+1<x3+x，，f(x)在上递减，与所给图象不符；对于，，的定义域为，在区间上，，，，与所给图象不符.故选：B7．已知函数，关于的命题：①的最小正周期为；②图像的相邻两条对称轴之间的距离为；③图像的对称轴方程为；④图像的对称中心的坐标为；⑤取最大值时.则其中正确命题是（

）A．①②③ B．①③⑤ C．②③⑤ D．①④⑤【答案】B【解析】，则的最小正周期为，故①正确；图像的相邻两条对称轴之间的距离为，故②错误；令，则，故③正确；令，则，故④错误；令，则，故⑤正确.故选：B.8．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则=（

）A．4036 B．4040 C．4044 D．4048【答案】D【解析】由题意得为奇函数，所以，即，所以函数关于点中心对称，由为偶函数，所以可得为偶函数，则，所以函数关于直线对称，所以，从而得，所以函数为周期为4的函数，因为，所以，则，因为关于直线对称，所以，又因为关于点对称，所以，又因为，又因为，所以，所以，故D正确.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C．向量，在上的投影向量相等 D．【答案】BC【解析】作向量，在中，，，由向量平分与的夹角，得是菱形，即，对于A，与不一定垂直，A错误；对于B，，即，B正确；对于C，在上的投影向量，在上的投影向量，C正确；对于D，由选项A知，不一定为0，则与不一定相等，D错误.故选：BC10．，分别为随机事件，的对立事件，下列命题正确的是（

）A．若，为相互独立事件且，则B．若，则C．D．若，，则【答案】ABC【解析】对于A，由，为相互独立事件且，得，A正确；对于B，由，得，即，B正确；对于C，事件互斥，则，C正确；对于D，由选项C同理得，与不一定相等，因此不一定成立，D错误.故选：ABC11．已知正方体的棱长为分别为棱的点，且，若点为正方体内部（含边界）点，满足：为实数，则下列说法正确的是（

）A．点的轨迹为菱形及其内部B．当时，点的轨迹长度为C．最小值为D．当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】ABD【解析】对于A，因为，由空间向量基本定理可知，所以在菱形内，A正确；对于B，取上一点，使得，连接，，易证四边形和四边形是平行四边形，所以，所以四边形是平行四边形，所以，当时，,所以，即，在线段上，的轨迹长度为线段的长，即为，B正确；对于C，由知，在菱形内，所以的最小值即为点到平面的距离，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，可得设平面的法向量为，则，取，可得，所以，所以到平面的距离为：，故C错误；对于D，当时，,分别取的中点，连接，在线段上，，所以，可得，平面的法向量为，，设与面所成角为，所以，设，因为，则，则代入化简可得，当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，D正确．故选：ABD．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．为助力乡村振兴，九江市教科所计划选派5名党员教师前往5个乡村开展“五育”支教进乡村党建活动，每个乡村有且只有1人，则甲不派往乡村A的选派方法有种.【答案】96【解析】第一步，由于甲不派往乡村A，则A地有种选派方法，第二步，其他4个乡村有种选派方法，所以共有种选派方法.故答案为：96.13．已知数列的通项公式为，前项和为，则满足不等式的取值的集合为.【答案】.【解析】由，则，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列.，所以不等式，整理得，，令，则，当时，，即，当时，，即，所以数列前3项递增，从第3项后递减.又，，，所以满足成立的的值有1,2,3.所以满足成立的取值的集合为.故答案为：.14．在三棱锥中，侧面所在平面与平面的夹角均为，若，且是直角三角形，则三棱锥的体积为．【答案】或或或【解析】如图，过作面于，过作，因为面，面，所以，又，面，所以面，又面，所以，故为二面角的平面角，由题知，，同理可得，当在三角形内部时，由，即为三角形的内心，设，则，得到，所以，三棱锥的体积为；又因为，所以点在以为焦点的椭圆上，如图，以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则，由题知，椭圆中的，所以椭圆的标准方程为，设，因为是直角三角形，当时，易知，此时，所以，得到，当时，易知，此时，所以，得到，又因为，故以为圆心，为半径的圆与椭圆没有交点，即，综上所述，；同理，当在三角形外部时，由，即为三角形的旁心，设，则，得到，所以，三棱锥的体积为；或，得到，所以，三棱锥的体积为；或，得到，所以，三棱锥的体积为.故答案为：或或或.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）在中，角所对的边成等比数列，角是与的等差中项.(1)若，求的面积；(2)求的值.【解析】（1）由角是与的等差中项，及三角形内角和定理，可得，解得，由、、成等比数列，得.，，.（2）因为，由正弦定理可得，，16．（15分）如图，在四棱锥中，平面.(1)求证：平面平面；(2)若点为的中点，线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设的中点为，因为，所以，因为，所以，所以三点共线，所以，因为平面，平面，所以，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）以所在的直线为轴和轴，过点作平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，因为为的中点，所以，设，所以，所以，由（1）知平面，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，即当或时，直线与平面所成角的正弦值为.17．（15分）设函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)若时，函数的图像与的图像仅只有一个公共点，求的取值范围.【解析】（1）的定义域为，，①当时，，由，得，由，得，当时，的在区间上单调递增，在区间上单调递减，②当时，，，当时，，的区间上单调递减，③当时，由，得或，且.当变化时，的变化情况如下表：递减递增递减综上所述，当时，的在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上的单调递减；当时，在区间上的单调递增，在区间和上单调递减区间；（2）若时，函数的图像与的图像仅只有一个公共点，即关于的方程，即在区间上仅只有一个解，是方程的解，且时，问题等价于即在上无解，即曲线或与直线无公共点，，由得，当或时，变化时，，的变化情况如下表：递减，负值无意义递减，正值极小值递增，正值且当且时，；当且时，.故的取值范围为.18．（17分）已知为坐标原点，双曲线的焦距为，且经过点.(1)求的方程：(2)若直线与交于，两点，且，求的取值范围：(3)已知点是上的动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足？若存在，求出圆的半径：若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意可得，解得，故双曲线方程为（2）当直线斜率不存在时，设,将其代入双曲线方程，又，解得，此时，当直线斜率存在时，设其方程为，设,联立，故，则，化简得，此时，所以，当时，此时，当时，此时，，故，因此，综上可得.（3）解法一：当直线与相切时，圆心到直线的距离，设设,类似（2）中的计算可得，所以，由双曲线的对称性，延长交双曲线于另一点,则，且，根据轴对称性可得,且直线与也相切，即即为,符合题意，当或斜率不存在时，此时，，显然满足题意，故存在这样的圆，半径为解法二：设，，由于为圆的切线，平分，且,所以,设过点与圆相切的直线方程为（直线斜率存在时），，将两根记为，，同理可得故，故存在这样的圆，半径为当或斜率不存在时，此时，，显然满足题意，故存在这样的