信号与系统 课件 朱刚 第4-7章 连续时间系统的复频域分析-离散时间系统的复频域分析

信号与系统第四章

连续时间系统的复频域分析主要内容

线性系统的拉普拉斯变换分析引言123拉普拉斯变换系统与系统函数45系统的方框图和信号流图主要内容

线性系统的拉普拉斯变换分析引言123拉普拉斯变换系统与系统函数45系统的方框图和信号流图4.1

引言在第三章中，我们学习了傅里叶级数、傅

里叶变换和频域分析，并引入了信号频谱和系统频率响应的概念，具有清晰的物理含义。信心·恒心·责任心4.1

引言在第三章中，我们学习了傅里叶级数、傅

里叶变换和频域分析，并引入了信号频谱和系统频率响应的概念，具有清晰的物理含义。然而，如果函数不满足绝对可积条件，那么它的傅里叶变换不一定存在。信心·恒心·责任心4.1

引言在本章中，我们将傅里叶变换从频域推广到复频域，建立在此基础上的系统分析方法称为复频域分析。信心·恒心·责任心主要内容

线性系统的拉普拉斯变换分析引言123拉普拉斯变换系统与系统函数4系统的方框图和信号流图5信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换拉普拉斯变换在数学中是从积分变换的观点定义的，是求解线性微分方程的有效数学工具。下面，我们将从信号分析的角度出发，有傅里叶变换推广到拉普拉斯变换。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换一、双边拉氏变换和单边拉氏变换函数

若不满足绝对可积条件，往往是由于随着时间的增长，函数不衰减造成的。为此，如果乘上一个“衰减因子”

，则构成的新函数

就可能符合绝对可积条件。信心·恒心·责任心· ·4.2

拉普拉斯变换一、双边拉氏变换和单边拉氏变换函数

若不满足绝对可积条件，往往是由于随着时间的增长，函数不衰减造成的。为此，如果乘上一个“衰减因子”

，则构成的新函数

就可能符合绝对可积条件。假如这个因子乘得合适，则 绝对可积，从而信心

恒心

责任心4.2

拉普拉斯变换一、双边拉氏变换和单边拉氏变换令，显然上式积分的结果就是s的函数，于是有：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换一、双边拉氏变换和单边拉氏变换令，显然上式积分的结果就是s的函数，于是有：反之，我们有：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换一、双边拉氏变换和单边拉氏变换由于 ，从而 ，可得：这样就得到了双边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯反变换：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换一、双边拉氏变换和单边拉氏变换在实际的系统分析中，更常用的是单边拉普拉斯变换，定义为：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换一、双边拉氏变换和单边拉氏变换可以看出，单边拉普拉斯变换与双边拉普拉斯变换的区别仅仅在于两者积分下限的不同。原因在于，实际中物理可实现的系统是因果的，加入到系统的激励信号通常也是有始的，即

时

。当，信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换一、双边拉氏变换和单边拉氏变换函数 与 是一对拉普拉斯变换对，它们是同一信号在时域和复频域的不同表示，且两者是一一对应的：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换二、拉普拉斯变换的收敛域函数 是否可积，要看取得是否合适。拉普拉斯变换的收敛域是指使满足绝对可积的

的取值范围。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换二、拉普拉斯变换的收敛域函数 是否可积，要看取得是否合适。拉普拉斯变换的收敛域是指使满足绝对可积的

的取值范围。例如，，当

取不同值时，函数是否满足绝对可积也会发生变化。当时，满足绝对可积，因此，该函数拉普拉斯变换的收敛域为。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换二、拉普拉斯变换的收敛域这个区域可更为直观地在一个称为s平面的复平面中表示出来：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换二、拉普拉斯变换的收敛域这个区域可更为直观地在一个称为s平面的复平面中表示出来：收敛轴信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换二、拉普拉斯变换的收敛域这个区域可更为直观地在一个称为s平面的复平面中表示出来：收敛轴收敛坐标信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换二、拉普拉斯变换的收敛域例4.1：求下列函数的拉普拉斯变换及其收敛域：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换二、拉普拉斯变换的收敛域解：（1），只要 ，即可保证本身就满足绝对可积条件，因此绝对可积。收敛域可分为三种情况：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换二、拉普拉斯变换的收敛域解：（1）这个函数是持续时间有限的信号，它的收敛域几乎是整个s平面，三种情况的主要区别在于收敛域是否包含负无穷和正无穷。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换二、拉普拉斯变换的收敛域解：（2）这个函数是一个有始信号，或称右边信号，它的收敛域位于收敛轴的右边。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换二、拉普拉斯变换的收敛域解：（2）信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换二、拉普拉斯变换的收敛域解：（3）这个函数是一个左边信号，它的收敛域位于收敛轴的左边。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换二、拉普拉斯变换的收敛域解：（3）信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换二、拉普拉斯变换的收敛域解：（4）参数需满足，否则就没有收敛域，其拉普拉斯变换也就不存在。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换二、拉普拉斯变换的收敛域解：（4）信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换二、拉普拉斯变换的收敛域使得 的点称为极点，如果是一个有理分式，那么极点就是分母多项式的根。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换二、拉普拉斯变换的收敛域使得 的点称为极点，如果是一个有理分式，那么极点就是分母多项式的根。

只有在它的收敛域内才有意义，在收敛域外是没有意义的。因此，在收敛域中不应该包含极点。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换二、拉普拉斯变换的收敛域严格地说，给出一个函数的拉普拉斯变换，必须同时给出它的收敛域。但是，在系统分析中，通常只用单边拉普拉斯变换，单边拉普拉斯变换的收敛域比较简单，总是在收敛轴的右边。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换二、拉普拉斯变换的收敛域下面，总结单边拉普拉斯变换的收敛域如下：1、对于持续时间有限且绝对可积的函数，其拉普拉斯变换的收敛域是几乎整个s平面；2、单边拉普拉斯变换的收敛域总是在收敛轴的右边；3、在收敛域中不包含极点。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换二、拉普拉斯变换的收敛域课堂练习：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换三、拉普拉斯变换的物理意义与傅里叶变换类似，将改写为：上式表明，拉普拉斯变换是将信号在s平面沿收敛域中 的路径分解成无穷多的分量，这些分量的系数即 。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换三、拉普拉斯变换的物理意义而傅里叶变换则是沿虚轴的分解与合成，如下图所示：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换三、拉普拉斯变换的物理意义因此，傅里叶变换是拉普拉斯变换的特

例，即

时的拉普拉斯变换，或虚轴上的拉普拉斯变换。，信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换三、拉普拉斯变换的物理意义因此，傅里叶变换是拉普拉斯变换的特

例，即

时的拉普拉斯变换，或虚轴上的拉普拉斯变换。（1）如果函数拉普拉斯变换的收敛域包

含虚轴，说明这个函数的傅里叶变换一定存在，并且它的拉普拉斯变换和傅里叶变换可以相互转化，只要将 改成 即可。，信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换三、拉普拉斯变换的物理意义（2）如果函数拉普拉斯变换的收敛域不

包含虚轴，则这个函数的傅里叶变换不一定

存在，它的拉普拉斯变换和傅里叶变换就不能相互转化。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换四、复指数信号的含义拉普拉斯变换将信号在s平面沿收敛域中信号 ，其中，的路径分解成无穷多复指数称复频率。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换四、复指数信号的含义拉普拉斯变换将信号在s平面沿收敛域中信号 ，其中，的路径分解成无穷多复指数称复频率。一般情况下，表达一个实信号需要一对共轭的复频率，于是信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换四、复指数信号的含义下图画出了复频率在s平面中不同位置时对应的不同信号形式。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换四、复指数信号的含义信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换五、常用函数的拉普拉斯变换与傅里叶变换类似，在实际计算拉普拉斯变换和反变换时，一般并不用定义式直接计算，而是熟记下面介绍的几个常用的变换对，再结合拉普拉斯变换的性质来推演得到结果。记忆时，应同时记住原函数和其拉普拉斯变换，以用于求解拉普拉斯变换与反变换。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换五、常用函数的拉普拉斯变换1、单边指数函数单边指数函数记为 ，其变换对为：参数

既可以是实数，也可以是复数，实数时收敛域为 ，复数时收敛域为信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换五、常用函数的拉普拉斯变换1、单边指数函数单边指数函数记为 ，其变换对为：参数

既可以是实数，也可以是复数，实数时收敛域为 ，复数时收敛域为当

0时，单边指数函数就变成单位阶跃函数，于是：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换五、常用函数的拉普拉斯变换1、单边指数函数

s

00022e sin

tt u t

信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换五、常用函数的拉普拉斯变换2、t的正幂函数t的正幂函数记为如下：，它的变换对推演信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换五、常用函数的拉普拉斯变换

2、t的正幂函数当n=0时，原函数就变为单位阶跃函数，由这个变换对即可推出 等等的拉普拉斯变换。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换五、常用函数的拉普拉斯变换3、单位冲激函数信心·恒心·责任心信4.2

拉普拉斯变换五、常用函数的拉普拉斯变换

0心·恒心·责任心220s

4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质由于拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，许多性质是相似的，在学习时应注意其相同之处和不同之处。拉普拉斯变换性质的证明也与傅里叶变换类似，因此，我们只对部分性质做出证明。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质1、线性性质信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质2、尺度变换注：由于是单边拉普拉斯变换，常数a应大于0。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

2、尺度变换

课堂练习：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

2、尺度变换

课堂练习：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

3、移位性质

时域移位：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

3、移位性质

课堂练习：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

3、移位性质

时域移位：复频域移位：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

3、移位性质

时域移位：复频域移位：注：时域移位对应复频域中乘以一个复指数，而复频域移位对应时域中乘以复指数。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

3、移位性质

课堂练习：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

3、移位性质

课堂练习：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质3、移位性质

例4.3：两函数如下所示，且有拉普拉斯变换关系 ，求两函数的拉普拉斯变换，并指出收敛域。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质3、移位性质解：由于质和时域移位性质，可得：，利用线性性其中收敛域为，是绝对可积的单个脉冲，因而其。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质3、移位性质解：斯变换为：为一个有始周期信号，其拉普拉信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质3、移位性质

从这个例子，我们可以得出以下结论：1、对于周期为T的有始周期函数，求其拉普拉斯变换，只要求出第一个周期的变换，然后再乘以

即可。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质3、移位性质

从这个例子，我们可以得出以下结论：2、如果的分母含有类似 的因子，则原函数为有始周期函数。做反变换时，需要先将

分母中的这个因子去掉，然后再

求拉普拉斯反变换，最后以T为周期延拓即可。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质3、移位性质

下面，我们再举一个类似的例子。例4.4：已知，求原函数。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质3、移位性质解：由于

F

s

1

e

sT

1

e

2sT

，令则有：11

e

sT信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质3、移位性质

解：根据下图，可写成更为简洁的形式：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

3、移位性质

课堂练习：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

4、微分性质

时域微分：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

4、微分性质

时域微分：证明：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

4、微分性质

时域微分：如果该函数存在n阶导数，这个性质可推广到n阶导数的情形：.信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

4、微分性质

时域微分：如果该函数存在n阶导数，这个性质可推广到n阶导数的情形：对于单边拉普拉斯变换，则有.信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

4、微分性质

时域微分：于是，也就是说，时域信号微分一次，对应在

复频域中乘以一个s。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

4、微分性质

复频域微分：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质4、微分性质

对参变量的微分：如果，则有：，其中

为一个参变量信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

4、微分性质

例4.5：已知：普拉斯变换。，求该函数的拉信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质4、微分性质例4.5：已知：普拉斯变换。，求该函数的拉解：1、利用时域微分性质；信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质4、微分性质例4.5：已知：普拉斯变换。，求该函数的拉解：1、利用时域微分性质；2、利用复频域移位性质；信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质4、微分性质例4.5：已知：普拉斯变换。，求该函数的拉解：1、利用时域微分性质；2、利用复频域移位性质；3、利用参变量微分性质。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

5、积分性质

时域积分：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

5、积分性质

时域积分：证明：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

5、积分性质

复频域积分：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

5、积分性质

复频域积分：证明：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质5、积分性质

对参变量积分：如果，则有：，其中

为一个参变量信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

5、积分性质

课堂练习：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

5、积分性质

课堂练习：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

6、卷积定理

时域卷积：这个性质与傅里叶变换的卷积定理是类似的，时域卷积对应复频域乘积。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

6、卷积定理

复频域卷积：这个性质与傅里叶变换的卷积定理也是类似的，时域乘积对应复频域卷积，还有一个

常数

。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

7、初值定理和终值定理

初值定理：如果函数的一阶导数及其拉普拉斯变换存在，则该函数的初值为：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

7、初值定理和终值定理

初值定理：如果函数在t=0处有冲激且其导数存在，则该函数的拉普拉斯变换必可分解为一个多项式和另一个真分式之和：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

7、初值定理和终值定理

初值定理：如果函数在t=0处有冲激且其导数存在，则该函数的拉普拉斯变换必可分解为一个多项式和另一个真分式之和：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

7、初值定理和终值定理

初值定理：如果函数在t=0处有冲激且其导数存在，则该函数的拉普拉斯变换必可分解为一个多项式和另一个真分式之和：这时，初值定理应修正为：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

7、初值定理和终值定理

终值定理：如果函数的一阶导数及其拉普拉斯变换存在，并且该函数拉普拉斯变换的所有极点位

于s平面的左半平面内，或仅在原点处存在单极点，则该函数的终值为：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

7、初值定理和终值定理

使用初值定理和终值定理时，应注意它们的适用条件。（1）如果函数在t=0处存在冲激及其导数，表现为该函数的拉普拉斯变换是一个假分式，需要将其化成多项式和真分式之和，然后求初值。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换的性质

7、初值定理和终值定理

使用初值定理和终值定理时，应注意它们的适用条件。（2）终值定理应注意函数拉普拉斯变换的极点分布，只有它的极点全部位于s平面的

左半平面，或者仅在原点处有一个单极点时，才能求终值；否则，终值就不存在。信心·恒心·责任心信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换拉普拉斯变换对是同一信号在时域和复频域中的不同表示，是一一对应的。在已知某函数拉普拉斯变换的情况下，求出原函数，就是拉普拉斯反变换。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换拉普拉斯变换对是同一信号在时域和复频域中的不同表示，是一一对应的。在已知某函数拉普拉斯变换的情况下，求出原函数，就是拉普拉斯反变换。求解拉普拉斯反变换：（1）可直接代入定义式进行求解，是一个复变函数的积分问题。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换求解拉普拉斯反变换：（2）依靠常用变换对，再结合性质和典

型例子，通过将拉普拉斯变换化成认识的变换对，然后直接写出原函数。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法

部分分式分解法又称为部分分式展开法，如果

是有理分式，可以通过部分分式分解将它写成一些简单的分式之和，然后根据拉普拉斯变换对直接写出原函数

。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法当n>m时，上式为真分式，反之，上式为假分式。当

为假分式时，可用长除法将它

化成一个多项式和一个真分式之和，分别求出其拉普拉斯反变换。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（1）单极点当有n个单极点时，可以得到：其中，称为部分分式的系数：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（1）单极点也可由下式求得：由单边指数函数的拉普拉斯变换对，有信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（1）单极点于是：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（1）单极点例4.8：已知分别求拉普拉斯反变换。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（1）单极点解：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（1）单极点解：由于 是假分式，用长除法化为多项式和真分式之和，利用前面的结论有：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（1）单极点课堂练习：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（2）多重极点设有1个p阶极点 ，而其他的n-p个极点仍是单极点，这时，只需考虑以下有理分式的分解：信心·恒心·责任心信心·恒心·责任4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（2）多重极点设有1个p阶极点 ，而其他的n-p个极点仍是单极点，这时，只需考虑以下有理分式的分解：心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（2）多重极点部分分式系数信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（2）多重极点根据t的正幂函数的变换对及复频域移位性质，有：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（2）多重极点于是，可得：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（2）多重极点例4.9：已知，求原函数。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（2）多重极点例4.9：已知，求原函数。解：根据该函数的极点，可将其分解为信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（2）多重极点解：其中，信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（2）多重极点解：于是，信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（2）多重极点解：于是，信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（2）多重极点课堂练习：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（3）极点是共轭复数极点是共轭复数时仍为单极点，因此，仍然可以用单极点的方法进行部分分式分解，但这样运算比较复杂。下面先看一个简单的例子。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（3）极点是共轭复数例4.10：已知数。，求其原函解：对于该拉普拉斯变换，可以将它的分

母写成一个完全平方加一个常数的形式，然后利用常用拉普拉斯变换对写出其反变换。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（3）极点是共轭复数解：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（3）极点是共轭复数对于比较复杂的有理分式，仍然需要分解。但如果其分母多项式存在某些二次多项式且具有一对共轭复根时，应使分母中的二次多项式保持整体，将

分解成一些二次分式。这时，二次分式的分子不是一个常数，而是一个一次多项式。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（3）极点是共轭复数例4.12：已知求原函数。，信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（3）极点是共轭复数解：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（3）极点是共轭复数解：信心·恒心·责任心信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（3）极点是共轭复数解：4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（3）极点是共轭复数解：于是，有：4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换1、部分分式分解法（3）极点是共轭复数解：因此，得到：4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换

1、部分分式分解法

课堂练习：4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换

1、部分分式分解法

课堂练习：4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换2、围线积分法拉普拉斯反变换是复变函数的积分问题。因此，可根据复变函数中的留数定理，求解原函数。4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换2、围线积分法4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换2、围线积分法被积函数的极点4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换2、围线积分法不经过极点的闭合路径4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换2、围线积分法各个极点上的留数4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换2、围线积分法拉普拉斯反变换中的积

分路径是其收敛域中的

一条直线，

而非闭合路

径4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换2、围线积分法4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换2、围线积分法4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换2、围线积分法4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换2、围线积分法4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换2、围线积分法1.

如果拉普拉斯变换是

有理分式，

只要是真分

式，

则第一个条件满足；4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换2、围线积分法2.

对于单边拉普拉斯变

换，

t>0

，

第

二

个条

件满足，补左边圆弧。4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换2、围线积分法4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换2、围线积分法拉普拉斯反变换是复变函数的积分问题。因此，可根据复变函数中的留数定理，求解原函数。对于单边拉普拉斯变换，总是取左边的圆弧，其留数计算可以分为两种情况：1、对于一阶极点，有4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换2、围线积分法拉普拉斯反变换是复变函数的积分问题。因此，可根据复变函数中的留数定理，求解原函数。对于单边拉普拉斯变换，其留数计算可以分为两种情况：2、对于p阶极点，有4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换2、围线积分法

现在将围线积分计算拉普拉斯反变换的方法归纳如下：1、拉普拉斯反变换中的被积函数是，被积函数的极点就是 的极点；2、对于单边拉普拉斯变换，的收敛域在收敛轴的右边，因而积分路径取左半圆弧；4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换2、围线积分法3、因左半圆弧的半径为无穷大，从而围线中包含了 的所有极点；4、在满足约当引理的情况下，左半圆弧上的积分等于0，所以拉普拉斯反变换就等于的所有极点上的留数之和。4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换

2、围线积分法

例4.13：已知积分法求原函数。，用围线4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换

2、围线积分法

例4.13：已知积分法求原函数。，用围线解：由于是真分式，满足约当引理，且有三个单极点，信心·恒心·责4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换

2、围线积分法

例4.13：已知积分法求原函数。，用围线解：由于 是真分式，满足约当引理，且有三个极点，各极点上的留数分别为：任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换

2、围线积分法

例4.13：已知积分法求原函数。解：，用围线信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换

2、围线积分法

例4.14：已知积分法求原函数。，用围线解：件，但是假分式，不满足约当引理的条可写成：上式的第二项有两个单极点，因此，信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换

2、围线积分法

例4.14：已知积分法求原函数。解：，用围线信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换部分分式分解法和围线积分法是求解拉普拉斯反变换的两种基本方法。在工程实际中，更常用的是部分分式法。对于一些复杂的 ，还需要结合拉普拉斯变换的性质来简化计算。信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换课堂练习：信心·恒心·责任心4.2

拉普拉斯变换七、拉普拉斯反变换课堂练习：信心·恒心·责任心主要内容

线性系统的拉普拉斯变换分析引言123拉普拉斯变换系统与系统函数4系统的方框图和信号流图5信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析拉普拉斯变换是求解线性常系数微分方程的有效数学工具，而线性时不变连续时间系统的数学模型正是一个线性常系数微分方程，当已知系统的微分方程时，这种方法简单又直接。信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析一、已知系统微分方程的系统分析当已知系统的微分方程时，可以利用性质对方程做拉普拉斯变换，从而将微分方程变成一个代数方程。下面，用一个简单的例子说明这种分析方法。信心·恒心·责任心，激励为单4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析一、已知系统微分方程的系统分析例4.16：已知二阶系统的微分方程为系统的初始条件为位阶跃函数，求系统的全响应。信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析一、已知系统微分方程的系统分析解：利用拉普拉斯变换的微分性质，直接对方程两边做拉普拉斯变换得：信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析一、已知系统微分方程的系统分析解：利用拉普拉斯变换的微分性质，直接对方程两边做拉普拉斯变换得：代入初始条件，可得：信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析一、已知系统微分方程的系统分析解：对上式做部分分式分解，得到系统的全响应为：信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析一、已知系统微分方程的系统分析注：由于在求解过程中同时计入了初始条件和激励，因而直接求得了全响应。这种方法的实质是：已知微分方程，对方程做拉普拉斯变换，得到代数方程，求解代数方程，最后求拉普拉斯反变换，直接得到全响应。信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析一、已知系统微分方程的系统分析课堂练习：信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析二、已知电路的系统分析若已知系统的电路，则可以先根据电路列出微分方程，然后再由上节的方法求解。信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析二、已知电路的系统分析若已知系统的电路，则可以先根据电路列出微分方程，然后再由上节的方法求解。然而，更为简洁的方法是：将电路等效到

复频域中，然后列方程，这样列出的方程就是代数方程。信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析二、已知电路的系统分析

复频域中的等效电路称为运算等效电路。通常的电路是时域中的电路模型，为将电路等效到复频域中，首先要将组成电路的元件等效。线性电路的元件有三个，分别是电阻、电感、电容。信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析二、已知电路的系统分析1、电阻信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析二、已知电路的系统分析1、电阻信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析二、已知电路的系统分析1、电阻信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析二、已知电路的系统分析1、电阻注：电阻的时域和复频域表示相同。信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析二、已知电路的系统分析2、电感信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析二、已知电路的系统分析2、电感信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析二、已知电路的系统分析2、电感信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析二、已知电路的系统分析2、电感在两个等效模型中，一个是将电感初始电流等效为电压源，另一个则是等效为电流源。其中，参数 是电感在复频域中的元件参数，称为运算感抗。信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析二、已知电路的系统分析3、电容信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析二、已知电路的系统分析3、电容信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析二、已知电路的系统分析3、电容信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析二、已知电路的系统分析3、电容两个等效模型中一个是将电容初始电压等效为电压源，另一个则是等效为电流源。其中，参数

是电容在复频域中的元件参数，称为运算容抗。信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析二、已知电路的系统分析有了这些元件的等效模型，就可以将整个电路等效到复频域中，时域中的基尔霍夫定律在复频域中同样成立，然后根据基尔霍夫定律列出回路方程或节点方程。信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析二、已知电路的系统分析有了这些元件的等效模型，就可以将整个电路等效到复频域中，时域中的基尔霍夫定律在复频域中同样成立，然后根据基尔霍夫定律列出回路方程或节点方程。下面举一个例子。信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析二、已知电路的系统分析例4.17：电路如下图所示，求回路电流信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析二、已知电路的系统分析解：首先，根据时域电路模型画出等效电路：信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析二、已知电路的系统分析解：然后，列出回路方程并求解：信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析二、已知电路的系统分析解：然后，列出回路方程并求解：信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析二、已知电路的系统分析解：最后，求拉普拉斯反变换，得到回路电路的全响应：信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析二、已知电路的系统分析注：这种求法的实质是：已知电路，做运算等效电路；根据等效电路列方程直接得到代数方程；求解代数方程；最后求拉普拉斯反变换，直接得到全响应。信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析二、已知电路的系统分析课堂练习：信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析前面介绍的方法，可以一步直接求出系统的全响应，称为一步到位法。然而，这种方法不能看出系统其他方面的特性，因此，下面将系统的全响应分为零输入响应和零状态响应来求解。信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析拉普拉斯变换是将信号在复频域中分解成无穷多的

分量，对于信号

，如果已知它的拉普拉斯变换，那么，信心·恒心·责任心。4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析拉普拉斯变换是将信号在复频域中分解成无穷多的

分量，对于信号

，如果已知它的拉普拉斯变换，那么，设系统的单位冲激响应为，对于因果系统有信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析因此，系统的零状态响应为：其中：信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析因此，系统的零状态响应为：其中：系统函数信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析因此，系统的零状态响应为：其中：系统函数信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析因此，系统的零状态响应为：其中：系统函数信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析在复频域中求系统对激励 的零状态响应步骤如下：信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析在复频域中求系统对激励 的零状态响应步骤如下：1、计算激励的拉普拉斯变换 ；信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析在复频域中求系统对激励 的零状态响应步骤如下：1、计算激励2、求系统函数的拉普拉斯变换 ；；信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析在复频域中求系统对激励 的零状态响应步骤如下：1、计算激励2、求系统函数的拉普拉斯变换 ；；3、将斯变换 ；与相乘得到响应的拉普拉信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析在复频域中求系统对激励 的零状态响应步骤如下：1、计算激励2、求系统函数的拉普拉斯变换 ；；3、将斯变换 ；与相乘得到响应的拉普拉4、计算的零状态响应的拉普拉斯反变换，得到系统。信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析在复频域中求系统对激励 的零状态响应步骤如下：1、计算激励2、求系统函数的拉普拉斯变换 ；；（关键）3、将斯变换 ；与相乘得到响应的拉普拉4、计算的零状态响应的拉普拉斯反变换，得到系统。信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析系统函数是反映系统本身特性的一个重要函数，它由构成电路系统的元件参数决定。信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析系统函数是反映系统本身特性的一个重要函数，它由构成电路系统的元件参数决定。系统函数可写成：信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析如果已知系统的微分方程：利用拉普拉斯变换的微分性质对上式两边做拉普拉斯变换，得：信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析于是，信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析于是，如果已知具体的电路，可以先列出方程，然后根据上式写出系统函数。还可以将电容

和电感用运算容抗和运算感抗代替，然后根据电路求出系统函数。信心·恒心·责任心，4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析

下面，举一个例子来说明。例4.18：下图的电路中，以回路电流作为响应 为激励，求系统函数及冲激响应。信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析解：根据电路列方程，分别将电容和电感用运算容抗和运算感抗代替：信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析解：根据电路列方程，分别将电容和电感用运算容抗和运算感抗代替：求出：信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析解：从而，信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析系统函数的分母多项式就是系统的特征方程。因此，系统函数的极点就是特征根。那么，在已知系统激励和初始条件的情况下，根据系统函数，既可以求出零状态响应，也可以求出零输入响应。信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析系统函数的分母多项式就是系统的特征方程。因此，系统函数的极点就是特征根。那么，在已知系统激励和初始条件的情况下，根据系统函数，既可以求出零状态响应，也可以求出零输入响应。下面，再举一个例子。信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析例4.19：如下图电路，开关S在t=0时打开，求t>0时电容两端的电压。信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析解：利用分压公式容易写出系统函数：信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析解：利用分压公式容易写出系统函数：由于，于是：信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析解：信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析

解：

零输入响应的一般形式为：代入初始条件，可得：信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析

解：

零输入响应的一般形式为：代入初始条件，可得：因此，全响应为：信心·恒心·责任心信心·恒4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析

解：

零输入响应的一般形式为：代入初始条件，可得：因此，全响应为：心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析课堂练习：信心·恒心·责任心4.3

线性系统的拉普拉斯变换分析三、基于系统函数的系统分析课堂练习：信心·恒心·责任心主要内容

线性系统的拉普拉斯变换分析引言123拉普拉斯变换系统与系统函数4系统的方框图和信号流图5信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数系统函数是反映系统本身特性的一个重要函数，它包含了系统的一些信息。信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数系统函数是反映系统本身特性的一个重要函数，它包含了系统的一些信息。一、系统稳定的充要条件实际中，总是希望系统能够稳定可靠地工作，那么，怎样的系统才是稳定的呢？如何判定一个系统是否稳定呢？信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件1、系统稳定的充要条件

系统稳定是指系统输入有限（有界）的激励，只能产生有限（有界）的响应，这种稳定通常称为BIBO稳定。信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件1、系统稳定的充要条件

系统稳定是指系统输入有限（有界）的激励，只能产生有限（有界）的响应，这种稳定通常称为BIBO稳定。其中，有限的激励也包括激励为零的情况。信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件1、系统稳定的充要条件

系统稳定是指系统输入有限（有界）的激励，只能产生有限（有界）的响应，这种稳定通常称为BIBO稳定。其中，有限的激励也包括激励为零的情况。用数学表述为：如果，则响应为，且A、B都是有限正实数。信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件1、系统稳定的充要条件

线性时不变系统稳定的充分必要条件是单位冲激响应绝对可积，即：（证明可参见书154-155页）信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件2、系统稳定的判别

工程中，可根据冲激响应的形式来判断系统的稳定性。信心·恒心·责任心信心·恒心4.4

系统与系统函数·责任心信心·恒心4.4

系统与系统函数稳定稳定·责任心信心·恒心4.4

系统与系统函数稳定稳定临界稳定临界稳定·责任心4.4

系统与系统函数信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数不稳定不稳定信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件2、系统稳定的判别

冲激响应是系统函数的拉普拉斯反变换，时域函数的形式与复频域函数的极点是密切相关的。系统函数分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称为极点。只要求出系统函数的极点，然后根据这些极点在复平面中的位置，即可对系统的稳定性作出判断。信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件2、系统稳定的判别

归纳起来，有三种情况：1、极点全部在左半平面，系统稳定；2、在右半平面存在极点，或在虚轴上存在多阶极点，系统不稳定；3、在原点或虚轴上只存在单阶极点，而其他的极点都在左半平面，系统临界稳定。信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件3、罗斯-霍维茨判据判别系统是否稳定，只要求出系统函数的极点，即系统函数分母多项式的根即可：若所有极点在复平面的左半平面，或者说这些

极点的实部小于0，那么系统稳定。否则，系统不稳定或临界稳定。信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件3、罗斯-霍维茨判据然而，当系统函数分母多项式是一个高次多项式时，它的根是不容易求得的，这时可用罗斯-霍维茨判据来判断它的根在复平面中的位置。信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件3、罗斯-霍维茨判据然而，当系统函数分母多项式是一个高次多项式时，它的根是不容易求得的，这时可用罗斯-霍维茨判据来判断它的根在复平面中的位置。由系统函数分母多项式构成的一个n次方程，即系统的特征方程：信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件3、罗斯-霍维茨判据假设特征方程的n个根为，则有其中，信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件3、罗斯-霍维茨判据根据根与特征方程的关系，可得出以下结论：1、如果所有的根在左半平面，即所有根的实部小于0，则特征多项式的系数都大于且

不等于0；信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件3、罗斯-霍维茨判据根据根与特征方程的关系，可得出以下结论：1、如果所有的根在左半平面，即所有根的实部小于0，则特征多项式的系数都大于且

不等于0；2、如果

，其他系数不等于0，则必有一个根等于0；信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件3、罗斯-霍维茨判据根据根与特征方程的关系，可得出以下结论：3、如果特征多项式所有奇次项的系数或所有偶次项的系数等于0，并且没有右半平面的根，则所有根的实部都等于0。说明所有的根都在虚轴上，如果这些根都是单根，则系统临界稳定；否则，系统不稳定。信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件3、罗斯-霍维茨判据用罗斯-霍维茨判据判别系统的稳定性，分为两个步骤：信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件3、罗斯-霍维茨判据用罗斯-霍维茨判据判别系统的稳定性，分为两个步骤：第一步：考察特征多项式的系数，如果存在小于或等于0的系数，则系统不稳定。另外，在写系统函数时，通常将分母多项式最高次的系数归一化为1，且将方程的系数尽可能地化为整数。信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件3、罗斯-霍维茨判据第二步：如果特征多项式的系数都大于且不等于0，就不能立即做出判断，需要计算罗斯-霍维茨阵列，具体过程可分为三步。（1）将特征多项式的系数如下排列：信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件3、罗斯-霍维茨判据（2）根据系数计算出如下的阵列，其中的前两行就是多项式的系数：信心·恒心·责任心信心·恒心·责4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件3、罗斯-霍维茨判据（3）最后得到的最左边的一列数，称为罗斯-霍维茨数列，数列中符号变化的次数就

是实部为正的根的个数；若罗斯-霍维茨数列中的数有符号变化，就可判定系统不稳定。任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件3、罗斯-霍维茨判据例4.20：已知系统的特征方程如下，试判断系统的稳定性：信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件3、罗斯-霍维茨判据解：（1）信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件3、罗斯-霍维茨判据解：（1）信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件3、罗斯-霍维茨判据解：（1）不稳定信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件3、罗斯-霍维茨判据解：（2）信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件3、罗斯-霍维茨判据解：（2）信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件3、罗斯-霍维茨判据解：（2）不稳定信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件3、罗斯-霍维茨判据解：（3）信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件3、罗斯-霍维茨判据解：（3）信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件3、罗斯-霍维茨判据解：（3）稳定信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件3、罗斯-霍维茨判据课堂练习：信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件3、罗斯-霍维茨判据课堂练习：信心·恒心·责任心4.4

系统与系统函数一、系统稳定的充要条件3、罗