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文档简介
8.2.2函数的实际应用
课程।.收集、阅读一些现实上活、牛.产实际或昔经济领域的数学模型.体会人行是如何借助函数刻画实际问题
标准2.感悟数学模型中参数的现实意义
伪学情诊断•课时测评《
基础全面练
一、选择题
1•埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓,世界七大奇迹之一,其
中较为著名的是胡夫金字塔.令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄
壮身姿,还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底
部周长如果除以其高度的两倍,得到的商为3.14159,这就是圆周率
较为精确的近似值.金字塔底部形为正方形,整个塔形为正四棱锥,
经古代能工巧匠建设完成后,底座边长大约230米.因年久风化,顶
端剥落10米,则胡夫金字塔现高大约为()
【解析】选C.胡夫金字塔原高为h,
230x4
则2h=3.14159,
即h=2X":59=146.4米,
则胡夫金字塔现高大约为136.4米.
2.某网站开展了以核心价值观为主题的系列宣传活动,并将“社会主
义核心价值观”作为关键词便于网民搜索.此后,该网站的点击量每
月都比上月增长50%,那么4个月后,该网站的点击量和原来相比,
增长为原来的()
A.2倍以上,但不超过3倍
B.3倍以上,但不超过4倍
C.4倍以上,但不超过5倍
D.5倍以上,但不超过6倍
【解析】选D.4个月后网站点击量变为原来的11+34=果,所以是
5倍以上,但不超过6倍.
3.据报道,全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少
了5%,如果按此速度,设2018年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m,则
从2018年起,x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式
是()
5O
A.y=0-95.m
B.y=1-0.05而-m
k7
50-x.m
50-x>m
【解析】选A.设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%.由题意
可知(q%>°=0.95,所以q%=。-95济,所以从2018年起,x年后北冰
洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式为y=0.95^.m.
4.某特种冰箱的食物保鲜时间y(单位:小时)与设置储存温度x(单
位:℃)近似满足函数关系y=3收+口,b为常数)若设置储存温度0℃
的保鲜时间是288小时,设置储存温度5℃的保鲜时间是144小时,
则设置储存温度15℃的保鲜时间近似是()
A.36小时B.48小时
C.60小时D.72小时
3b=288
一’
{35k+b=144,
所以35k+b=35kx3b=144,所以35卜=14募4=yI,
ZooZ
所以当x=15时,y=315k+b=315kx3b
=(35k)3x3b=(I]3x288=|x288=36,故设置储存温度15℃的保鲜
时间近似是36小时.
5.世界人口在过去40年内翻了一番,则每年人口平均增长率是(参
考数据lg2M).3Ol0,IO00075-1.017)()
A.1.5%B.1.6%C.1.7%D.1.8%
【解析】选c设每年世界人口平均增长率为X,则(1+x)4。=2,两边
取以10为底的对数则401g(1+x)=lg2所以lg(1+X)=嚅-0.007
5,所以10。。。75=1+*,
得1+x=1.017,所以x=1.7%.
6.已知样本中碳14的质量N随时间t(年)的衰变规律满足:N=
No-2^(No表示碳14原来的质量),经过测定,良渚古城某文物样本
中碳14的质量是原来的0.6倍,据此推测良渚古城遗址存在的时期
距今大约是()
(参考数据:log23-1.6,log25-2.3)
A.3440年B.4010年
C.4580年D.5160年
【解析】选B.o=No-2W,
即2^;=0.6=1,两边取以2为底数的又擞,
_t
可得?7^5=10§23Tog25H.6-2.3=-0.7,
所以供0.7x5730=4011年.
7.已知火箭的最大速度v(单位:km/s)和燃料质量M(单位:kg),火
M
箭质量m(单位:kg)的函数关系是:v=2OOOln(1+—),若已知火箭
的质量为3100公斤,燃料质量为310吨,则此时v的值为多少(参考
数值为In2-0.69;In101-4.62)()
A.13.8B.9240C.9.24D.1380
【解析】选B.由题意火箭的最大速度v(单位:km/s)和燃料质量M(单
位:kg),火箭质量m(单位:kg)的函数关系是:v=2OOOln(1+黑,
火箭的质量为3100公斤,燃料质量为310吨,
-rmr310000、
可得()
v=2OOOxln[1+-3j00I=2000xln101=2000x4.62=9240
km/s.
8.(多选)某食品的保鲜时间t(单位:小时)与存储温度x(单位:℃)满
[64,x<0
足函数关系t=<且该食品在4℃的保鲜时间是16小时.
I2kx+6,x>0
O89101112131415时间
已知甲在某日上午10时购买了该食品,并将其遗放在室外,且此日
的室外温度随时间变化如图所示,则以下四个结论正确的是()
A.该食品在6℃的保鲜时间是8小时
B.当x$[-6,6]时,该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减
少
C.到了此日13时,甲所购买的食品还在保鲜时间内
D.到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间
【解析】选AD.因为食品的保鲜时间t与储藏温度x满足函数关系式
[64,x<0
t=i,且该食品在4℃时保鲜时间是16小时.
[2kx+6,X>0
所以24k+6=16,即4k+6=4,解得k=-;.
[64,x<0
所以t।
2-1+6,x>o
A.当x=6时,t=8,所以该食品在6℃的保鲜时间是8小时,故A
正确;
B.当-6,0)时,时间t不变,故B错误;
C.由图象可知,当到此日12小时,温度超过12度,此时的保鲜时
间不超过1小时,所以到了此日13时,甲所购买的食品不在保鲜时
间内,故C错误;D由C知,D正确.
二、填空题
9.乔经理到老陈的果园里一次性采购一种水果,他俩商定:乔经理
的采购价y(元/吨)与采购量x(吨)之间函数关系的图象如图中的折线
段ABC所示(不包含端点A,但包含端点C.已知老陈种植水果的成本
是2800元/吨,那么乔经理的采购量为吨时,老陈在这次买
卖中所获的利润W最大.
【解析】由题意,可得y与x函数解析式为
[8000,0<x<20
y=i;
[12000-200x,20<x<40
又由W=x(y-2800),
[5200x,0<x<20
知:w";
[9200x-200x2,20<x<40
所以在0<x<20时,x=20有Wmax=104000元;
在20<x<40时,x=23有Wmax=105800元;
所以采购量为23吨时,所获的利润W最大
答案:23
10.2020年春季蝗灾波及印度和巴基斯坦,假设蝗虫的日增长率为
5%,最初有No只.则经过_______天能达到最初的16000倍(参考
数据:ln1.05-0.0488,ln1.5-0.4055,ln1600-7.3778,ln16000~9.680
3).
【解析】设过x天能达到最初的16000倍,
x
由已知N0(l+0.05)=16OOONo,
x=16000,所以x=黑;罂-198.4,
又x£N,所以过199天能达到最初的16000倍.
答案:199
三、解答题
11.李庄村某社区电费收取有以下两种方案供农户选择:
方案一:每户每月收管理费2元,月用电不超过30度,每度0.4元,
超过30度时,超过部分按每度0.5元.
方案二:不收管理费,每度0.48元.
⑴求方案一收费L(x)元与用电量x(度)间的函数关系;
⑵小李家九月份按方案一交费34元,问小李家该月用电多少度?
(3)小李家月用电量在什么范围时,选择方案一比选择方案二更好?
【解析】⑴当0<x<30时,L(x)=2+0.4x;
=0.5x-1,
f2+0.4x,0<x<30,
所以L(x)=
[0.5x-1,x>30.
(2)当0<x<30时,由L(x)=2+0.4x=34,解得x=80,舍去;
当x>30时,由L(x)=0.5x-1=34,解得x=70,所以小李家该月用
电70度.
(3)设按第二方案收费为F(x)元,则F(x)=0.48x,当0<x<30时,由
L(x)<F(x),
解得2+0.4x<0.48x,解得x>25,
所以25<x<30;
当x>30时,由L(x)<F(x),
得0.5x-l<0,48x,解得x<50,
所以30<x<50,综上25Vx<50.
故小李家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时,选
择方案一比方案二更好.
12.因新冠肺炎疫情影响,呼吸机成为紧缺商品,某呼吸机生产企业
为了提产品的产量,投入90万兀安装了一台新设备,并立即进行
生产,预计使用该设备前n(n£N+)年的材料费、维修费、人工工资
等共为+5nl万元,每年的销售收入55万元.设使用该设备前n
年的总盈利额为f(n)万元.
⑴写出f(n)关于n的函数关系式,并估计该设备从第几年开始盈利;
(2)使用若干年后,对该设备处理的方案有两种:
方案一:当总盈利额达到最大值时,该设备以10万元的价格处理;
方案二:当年平均盈利额达到最大值时,该设备以50万元的价格处
理;
问哪种方案处理较为合理?并说明理由.
【解析】(1)由题意得:f(n)=55n-90-1|n2+5n)=-|n2+50n-90.
由f(n)>0,得-|1?+5011-90>0,即n2-20n+36<0,解得2<n
<18.
由于n£N+,故该企业从第3年开始盈利;
2
⑵方案一:总盈利额f(n)=-|(n-10)+160,当n=10时,f(n)max
=160.
故方案一总利润160+10=170,此时n=10;
f(n)5(36、5।—
方案二:每年平均利润丁一二50-5n+:<50-5X2V36=
20,当且仅当n=6时等号成立.
故方案二总利润6x20+50=170,此时n=6.比较两种方案,获利都
是170万元,但由于第一种方案需要10年,而第二种方案需要6年,
故选择第二种方案更合适.
综合突破练
一、选择题
1,2020年8月到11月这四个月的某产品价格的市场平均价f(x)(单
位:元/千克)与时间x(单位:月份)的数据如表
X891011
f(x)
现有三种函数模型:①f(x)=bx+a;②f(x)=ax?+bx+c;③f(x)=⑸
X-
+a,找出你认为最适合的函数模型,并估计2020年12月份的该
产品市场平均价()
A.②,28元/千克B.①,25元/千克
C.②,23元/千克D.③,21元/千克
【解析】选A.因为f(x)的值随x的值先增后减,
所以选f(x)=ax2+bx+c最合适.
第二组数据近似为(9,34),第四组近似为(11,34),
得f(x)图象的对称轴为x=10,
故f(12)=f⑻=28.
2.某企业今年3月份产值为a万元,4月份比3月份减少了10%,5
月份比4月份增加了15%,则5月份的产值是()
A.(a-10%)(a+15%)万元
B.a(l-10%)(1+15%)万元
C.(a-10%+15%)万元
D.2(1-10%+15%)万元
【解析】选B.由题意,5月份的产值为a(l-10%)(1+15%)万元.
3.某种热饮需用开水冲泡,其基本操作流程如下:①先将水加热到
100℃,水温y(℃)与时间t(min)近似满足一次函数关系;②用开水将
热饮冲泡后在室温下放置,温度y(℃)与时间t(min)近似满足函数的
关系式为y=80()?+b(a,b为常数),通常这种热饮在40c时,口
感最佳,某天室温为20C时,冲泡热饮的部分数据如图所示,那么
按上述流程冲泡一杯热饮,并在口感最佳时饮用,最少需要的时间为
)
A.35minB.30min
C.25minD.20min
【解析】选C.由题意,当0<t<5时,函数图象是一个线段,
当t>5时,函数的解析式为y=
80冏京+b,将点(5,100)和点(15,60)
"5-a
100=80-+b
代入解析式,有
<1W
60=80—+b
解得a=5,b=20,
故函数的解析式为y=80&~+20,t>5.
令y=40,解得t=25,
所以最少需要的时间为25min.
二、填空题
4.一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元,卖出的价格
是每份3元,卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社.在一个
月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能
卖出250份,且每天从报社买进报纸的份数都相同,要使推销员每月
所获得的利润最大,则应该每天从报社买进报纸份
【解析】设每天从报社买进x(250<x<400,x£N)份报纸时,每月所
获利润为y元,具体情况如下表.
数量/份单价/元金额/元
买进30x260x
20x+60x+7
卖出3
10x250500
退回10(x-250)8x-2000
则推销员每月所获得的利润y=[(60x+7500)+(8x-2000)J-60x=
8x+5500(250<x<400,x£N)
又由y=8x+5500在[250,400]上单调递增,
所以当x=400时,y取得最大值8700.
答案:400
5.要制作一个容积为4n?,高为1m的无盖长方体容器,已知该容
器的底面造价为20元/n?,侧面造价为10元/n?,则该容器的最低造
价是______元.
【解析】设容器底的长和宽分别为am,bm,成本为y元,
所以S底=ab=4,y=20S底+10[2(a+b)J
=20(a+b)+80>20x2A/ab+80=160,
当且仅当a=b=2时,y取最小值160,则该容器的最低造价为160
元.
答案:160
6.某制造商制造并出售圆柱形瓶装的某种饮料,瓶子的底面半径是
4
r,高h=Q2分,已知每出售1mL(注:1mL=1cn?)的饮料,制造商
可获利02分,目制造商能制造的瓶子底面的最大半径为6cm.记每
瓶饮料的利润为f(r),则f(3)=其实际意义是________.
4
【解析】f(r)=0.2-7tr2-22
故f(3)=7.2K-7.2JT=0.
表示当瓶子底面半径为3cm时,利润为0.
答案:0当瓶子底面半径为3cm时,利润为0
7.碳14的衰变极有规律,其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.碳
14的残余量占原始含量的比值P与生物体死亡年数t满足P=al(a为
正数).已知碳14的“半衰期”是5730年,即碳14大约每经过5730年
就衰变为原来的一半.则a=;2020年1月10日,中国社
会科学院考古研究所发布了“2019年中国考古新发现”六大考古项目,
位于滕州市官桥镇大韩村东的“大韩墓地”成功入选.考古人员发现墓
地中某一尸体内碳14的残余量占原始含量的73%,则“大韩墓地”距
测算之时约年.(参考数据:1g73句.86,1g2=0.3)
【解析】根据题意令P=1,t=5730,
则有:=a573。,解得a=(j六;
令P=73%,将a=(旷"代入P=小得
(O5730MD京
-=73%,即目=0.73,
t1g0.73坨73-27
nil=
则向一1限0-73=-lg2=-下,
7
解得t下x5730=2674.
答案:停尸2674
三、解答题
8.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成
x2
本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y=y
-48x+8000,已知此生产线年产量最大为230吨.
⑴求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本P(年总成本除以
年产量)最低,并求最低成本;
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,且生产的产品全部售完,那么
当年产量为多少吨时,年总利润可以获得最大?最大利润是多少?
X2
【解析】(l)y=y-48x+8000,0<x<230.
uuzcYx8000-48平/华-48=32,当且仅当x=
所以P=1=-+—
200时取等号.
所以年产量为200吨时,生产每吨产品的平均成本P最低,最低成本
为32万兀.
⑵设^1」润为z万元,
则z=40x-y
X2
二40x-y+48x-8000
=-1x2+88x-8000
-1(x-220>+i680,
即年产量为220吨时,利润最大为1680万元.
9.销售甲、乙两种商品所得利润分别是y-丫2万元,它们与投入资
金x万元的关系分别为yi=m\jx+1+a,y2=bx(其中m,a,b都
为常数),函数y-y2对应的曲线C-C2如图所示.
⑴求函数yi与y2的解析式;
⑵若该商场一共投资10万元经销甲、乙两种商品,求该商场所获利
润的最大值.
m+a=0
【解析】(1)由题意《,解得m=2,a=-2,故yi=2^x+1
I3m+a=4
-2(x>0).
又由题意8b=4得b=g,故y2=;x(x>0).
(2)设销售甲商品投入资金x万兀,利润为y万兀,则乙投入(10-x)
万兀.
由(1)得y=2巾+1-2+1(10-x)=
2\Jx+1-g[x+1=t,
贝!Jx=t2-1,
171n
故
心-2-
+3=-++--+
2.2t22ft2)2
、
i<t<vn,
当t=2即x=3时,y取最大值苗.
答:该商场所获利润的最大值为3万元.
》素养培优练《
(60分钟100分)
一、选择题(每小题5分,共45分,多选题全部选对得5分,选对但
不全的得3分,有选错的得0分)
1•在固定电压差(电压为常数)的前提下,当电流通过圆柱形的电线
时,其电流强度1(单位:安)与电线半径r(单位:毫米)的三次方成正
比,若已知电流通过半径为4毫米的电线时,电流强度为320安,则
电流通过半径为3毫米的电线时,电流强度为()
A.60安B.240安C.75安D.135安
【解析】选D.由已知,设比例常数为k,则I=k/.
由题意,当r=4时,1=320,故有320=kx43,
解得k=*320=5,所以1=5”
故当r=3时,1=5x33=135(安).
2.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小,刚放进的新丸的体积
为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a-e-9已知新丸经过
50天后,体积变为48a,则需经过的天数为()
A.125B.100C.75D.50
50k
【解析】选C由已知得'a=a.e-50k,gpe-=1=修「•所以捺a
=停1•a=(e-so*a=e-75k.a,所以t=75,
3.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/
次,一年的总存储费用为4x万元,则一年的总运费与总存储费用和
最小为()
A.60万元B.160万元C.200万元D.240万元
【解析】选D.由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和为呼x6
.^l1o^
+4x2x=240(万元).当且仅当x=30时取等号.
4.某工厂产生的废气经过过滤后排放,在过滤过程中,污染物的数
量p(单位:毫克/升)不断减少,已知p与时间t(单位:小时)满足p(t)
=p°2%,其中po为t=0时的污染物数量.又测得当t=30时,污染
物数量的平均变化率是-101n2,则p(60)=()
A.150毫克/升B.300毫克/升
C.1501n2毫克/升D.3001n2毫克/升
【解析】选C.因为当t=30时,污染物数量的平均变化率是-101n2,
1
2?o-po
所以-101n2=,所以p()=6001n2.
30-0
2
因为p(t)=p02-^,所以p(60)=6001n2x2-
=1501n2(毫克/升).
5.《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动,刻画的是
一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼
者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”,掷铁饼者的手臂长约为全
米,肩宽约为1米「弓”所在圆的半径约为L25米,你估测一下掷铁
饼者双手之间的距离约为(参考数据:也力.414,小力.732)()
A.1.012米
C.2.043米
【解析】选B.由题得:弓所在的弧长为+1+1=Y;
44oo
5兀
所以其所对的圆心角a*所以两手之间的距离d=2Rs峙=
2x1.25-1.768.
6.果农采摘水果,采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水
果失去新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数关系式为h(t)=mR.
若采摘后10天,这种水果失去的新鲜度为10%,采摘后20天,这种
水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果在多长时间后失
去50%新鲜度(已知1g2=0.3,结果取整数)()
A.23天B.33天C.43天D.50天
10
[ma=0.1,1a」轲
【解析】选B.由题意可知所以,,所以h(t)=
lma=。2,[m=0.05
005x(1/匕当h(t)=0.5时,0.05x(l细),=0.5,解得t=哉R3.
7.(多选)据美国学者詹姆斯・马丁的测算,近十年,人类知识总量已
达到每三年翻一番,到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速
度.因此,基础教育的任务已不是教会一切人一切知识,而是让一切
人学会学习.已知2000年底,人类知识总量为a,假如从2000年底
到2009年底是每三年翻一番,从2009年底到2019年底是每一年翻
一番,2020年(按365天计算)是每73天翻一番,则下列说法正确的
是()
A.2006年底人类知识总量是2a
B.2009年底人类知识总量是8a
c.2019年底人类知识总量是213a
D.2020年底人类知识总量是218a
【解析】选BCD.选项A:2006年底人类知识总量为ax2x2=4a,故
A错误,选项B:2009年底人类知识总量为ax2x2x2=8a,故B正确,
选项C:2019年底人类知识总量为8ax21。=2,,故C正确,选项D:
2020年底人类知识总量为213ax25=218a,故D正确.
8.(多选)“双11”购物节中,某电商对顾客实行购物优惠活动,规定
一次购物付款总额满一定额度,可以给予优惠:
(1)如果购物总额不超过50元,则不给予优惠;
(2)如果购物总额超过50元但不超过100元,可以使用一张5元优惠
券;
⑶如果购物总额超过100元但不超过300元,则按标价给予9折优
惠;
(4)如果购物总额超过300元,其中300元内的按第(3)条给予优惠,
超过300元的部分给予8折优惠.
某人购买了部分商品,则下列说法正确的是()
A.如果购物总额为78元,则应付款为73元
D.如果购物时一次性全部付款442.8元,则购物总额为516元
【解析】选ABD.如果购物总额为78元,满足超过50元但不超过100
元,可以使用一张5元优惠券,则应付款为73元,故A正确;如果
购物总额为228元,超过100元但不超过300元,则应付款为228x0.9
=205.2元,故B正确;如果购物总额为368元,购物总额超过300
元,则应付款为300x0.9+68x0.8=324.4元,故C错误;如果购物时
一次性全部付款442.8元,说明购物总额超过300元,设购物总额为
x元,则300x0.9+(x-300)x0.8=442.8,解得x=516元,故D正确.
9.(多选)某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲
厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷
数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费,甲厂的总费用
yi(千元),乙厂的总费用
yM千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所
示,则下列说法正确的是()
B.甲厂的总费用y.与证书数量x之间的函数关系式为Y1=0.5x+1
C.若该单位需印制证书数量为8千个,则该单位选择甲厂更节省费
用
D.当印制证书数量超过2千个时,乙厂的总费用y2与证书数量x之
15
-X+-
42
间的函数关系式为y2
【解析】选ABD.对于选项A:由图可知甲厂制版费为1千元,印刷
2-1
费平均每个为亍=0.5(元),所以选项A正确,
对于选项B:设甲厂的总费用yi与证书数量x之间的函数关系式为
yi=kx+b(kr0),
fb=1,[k=1,
则<解得2
[2k+b=2,[b=1,
所以yi=0.5x+1,所以选项B正确,
对于选项C:由图象可知,当印制证书数量超过6千个时,乙厂费用
少于甲厂费用,
所以若该单位需印制证书数量为8千个,则该单位选择乙厂更节省费
用,所以选项C错误,
对于选项D:当印制证书数量超过2千个时,
设乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2=ax+
c(aWO),
代入点(2,3)和点(6,4)得
2a+c=3,a=4,
解得j5
6a+c=4,
c=2,
15
-X+-
所以y242,所以选项D正确.
二、填空题(每小题5分,共15分)
10.2020年是全国决胜脱贫攻坚之年「一帮一扶”工作组进驻某山区
帮助农民脱贫,发现该山区盛产苹果、梨子、曲猴桃,工作人员艾明
在线上进行直播带货活动,促销方案如下:若一次购买水果总价不低
于200元,则顾客少付款m元,每次订单付款成功后,农民会收到
支付款的80%在促销活动中,为了使得农民收入不低于总价的70%,
则m的最大值为.
【解析】设每笔订单促销前的总价为x元,根据题意有(x-
m)x80%>xx70%,即m<|恒成立,由题意得x>200,所以标=
25,所以m<25,所以m的最大值为25.
答案:25
11某公司建造一间背面靠墙的房屋地面是一个矩形,面积为60n?,
房屋正面每平方米的造价为1500元,房屋侧面每平方米的造价为1
000元,屋顶的造价为6000元.如果墙高为3m,且不计房屋背面
和地面的费用,那么把地面矩形较长的一边设计为m时,能
使房屋的总造价最低(结果用根式表示).
【解析】设底面的长为Xm,宽为ym,则xy=60,
设房屋总造价为f(x),则f(x)=3x-l500+2-3-v-1000+6000
=4500X+3+6000>
X-
2y4500X・36°X0°°+6000=36000\/5+6000(元).当且仅当4500x
3600
=°x°,即x=4小时,上式等号成立,此时y==3于.
故把地面矩形较长的一边设计为4小m时,能使房屋的总造价最
低.
答案:4小
12.设矩形ABCD(AB>AD)的周长为8cm才巴△ADC沿AC向^ABC
折叠,CD折过去后交AB于点M.设AB=xcm,则^ADM面积的最
大值为cm2.
【解析】如图,易证△ADM^ACBM,
则DM=BM,
因为矩形ABCD(AB>AD)的周长为8cm,
设AB=xcm(2<x<4),
所以AD=(4-x)cm.
设DM=ycm,则AM=(x-y)cm,
Q
222
则有(4-x)+y=(x-y),解得y=4--A.
SAADM=IADDM=1(4-X)(4-'||
=12-(^+2x)<12-8^2(cm2),
当且仅当x=2啦时,等号成立.
所以△ADM面积的最大值为(12-8媳)cm2.
答案:12-8^2
三、解答题(每小题10分,共40分)
13.某工厂生产一新款智能迷你音箱,每日的成本C(单位:万元)与
日产量x(x£N*,单位:千只)的关系满足C=x+2.每日的销售额S(单
16x
位:万元)与日产量X的关系满足:当1<X<7时,S=+X;当7
x4-1
<x<16时,S=3x+—--+2;当xN16时,S=28.已知每日的利润
x-16
L=S-C(单位:万元).
⑴求k的值,并将该产品每日的利润L(万元)表示为日产量x(千只)
的函数;
⑵当日产量为多少千只时,每日的利润可以达到最大,并求出最大
值.
【解析】⑴当x=7时,S=3+7=3x7+」一+2,解得k=18,
7+17-16
所以L
-^-2,l<x<7,x£N*,
x+1
=I2x+-,7<x<16,xeN*,
x-16
、26-x,x>16,x《N".
(2)当13x07,x£N*时,L='^^-2=14-*-,在口,7]上单调
x+1x+1
递增,所以当X=7时,Lmax=12,
1Q1O
当7<x<16,x£N*时,L=2x+-------=32-[2(16-x)+-------]<
x-1616-x
32-2A/2(16-X)x—=20,
V16-x
1Q
当且仅当2(16-x)=,即X=13时,Lmax=20,
16-x
当x>16,X0N时,L=26-x在[16,+8)上单调递减,所以当x=
16时,Lmax=26-16=10,综上,
当X=13时,L取得最大值为20,所以日产量为13千只时,每日的
利润可以达到最大,且最大值为20万元.
14.经调查,某产品在过去两周内的日销售量(单位:千克)与日销售
单价(单位:元)均为时间t(天)的函数.其中日销售量为时间t的一次
函数,且t=l时,日销售量为34千克,t=10时,日销售量为25千
f250
25-------,l<t<8gteN
克.日销售单价满足函数f(t)=t+1
14+t,8<t<14SteN
⑴写出该商品日销售额y关于时间t的函数(日销售额=日销售量x销
售单价);
⑵求过去两周内该商品日销售额的最大值.
【解析】⑴设日销售量g(t)(千克)关于时间t(天)的函数为g(t)=kt+b,
[k+b=34,[k=-1,
则解得
[10k+b=25,[b=35,
所以g(t)=35-t,
f25
(25-——)(35-t),l<t<8,teN,
所以y=jt+1
(14+t)(35-t),8<t<14,teN.
or
⑵①当10<8时,y=25[37-(t+1)-——]<(37-2^36)x25=625,
t+1
当且仅当(t+=36,即t=5时,等号成立,
②当此区14时,y
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