新教材苏教版必修第一册8 .2 .2函数的实际应用

8.2.2函数的实际应用

课程।.收集、阅读一些现实上活、牛.产实际或昔经济领域的数学模型.体会人行是如何借助函数刻画实际问题

标准2.感悟数学模型中参数的现实意义

伪学情诊断•课时测评《

基础全面练

一、选择题

1•埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其

中较为著名的是胡夫金字塔.令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄

壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底

部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159,这就是圆周率

较为精确的近似值.金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，

经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米.因年久风化，顶

端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（）

【解析】选C.胡夫金字塔原高为h,

230x4

则2h=3.14159,

即h=2X"：59=146.4米，

则胡夫金字塔现高大约为136.4米.

2.某网站开展了以核心价值观为主题的系列宣传活动，并将“社会主

义核心价值观”作为关键词便于网民搜索.此后，该网站的点击量每

月都比上月增长50%，那么4个月后，该网站的点击量和原来相比,

增长为原来的（）

A.2倍以上，但不超过3倍

B.3倍以上，但不超过4倍

C.4倍以上，但不超过5倍

D.5倍以上，但不超过6倍

【解析】选D.4个月后网站点击量变为原来的11+34=果，所以是

5倍以上，但不超过6倍.

3.据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少

了5%,如果按此速度，设2018年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m,则

从2018年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式

是（）

5O

A.y=0-95.m

B.y=1-0.05而-m

k7

50-x.m

50-x>m

【解析】选A.设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%.由题意

可知（q%>°=0.95,所以q%=。-95济，所以从2018年起，x年后北冰

洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式为y=0.95^.m.

4.某特种冰箱的食物保鲜时间y（单位：小时）与设置储存温度x（单

位:℃）近似满足函数关系y=3收+口,b为常数）若设置储存温度0℃

的保鲜时间是288小时，设置储存温度5℃的保鲜时间是144小时，

则设置储存温度15℃的保鲜时间近似是（）

A.36小时B.48小时

C.60小时D.72小时

3b=288

一’

{35k+b=144,

所以35k+b=35kx3b=144,所以35卜=14募4=yI,

ZooZ

所以当x=15时，y=315k+b=315kx3b

=（35k）3x3b=（I]3x288=|x288=36,故设置储存温度15℃的保鲜

时间近似是36小时.

5.世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是（参

考数据lg2M）.3Ol0,IO00075-1.017）（）

A.1.5%B.1.6%C.1.7%D.1.8%

【解析】选c设每年世界人口平均增长率为X,则（1+x）4。=2,两边

取以10为底的对数则401g（1+x）=lg2所以lg（1+X）=嚅-0.007

5,所以10。。。75=1+*,

得1+x=1.017,所以x=1.7%.

6.已知样本中碳14的质量N随时间t（年）的衰变规律满足：N=

No-2^（No表示碳14原来的质量），经过测定，良渚古城某文物样本

中碳14的质量是原来的0.6倍，据此推测良渚古城遗址存在的时期

距今大约是（）

（参考数据:log23-1.6,log25-2.3）

A.3440年B.4010年

C.4580年D.5160年

【解析】选B.o=No-2W,

即2^;=0.6=1,两边取以2为底数的又擞,

_t

可得?7^5=10§23Tog25H.6-2.3=-0.7,

所以供0.7x5730=4011年.

7.已知火箭的最大速度v（单位：km/s）和燃料质量M（单位：kg）,火

M

箭质量m（单位：kg）的函数关系是：v=2OOOln（1+—）,若已知火箭

的质量为3100公斤，燃料质量为310吨，则此时v的值为多少（参考

数值为In2-0.69；In101-4.62)()

A.13.8B.9240C.9.24D.1380

【解析】选B.由题意火箭的最大速度v（单位：km/s）和燃料质量M（单

位：kg）,火箭质量m（单位：kg）的函数关系是：v=2OOOln（1+黑，

火箭的质量为3100公斤，燃料质量为310吨，

-rmr310000、

可得（）

v=2OOOxln[1+-3j00I=2000xln101=2000x4.62=9240

km/s.

8.（多选）某食品的保鲜时间t（单位：小时）与存储温度x（单位：℃）满

[64,x<0

足函数关系t=<且该食品在4℃的保鲜时间是16小时.

I2kx+6,x>0

O89101112131415时间

已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日

的室外温度随时间变化如图所示，则以下四个结论正确的是（）

A.该食品在6℃的保鲜时间是8小时

B.当x$[-6,6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减

少

C.到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内

D.到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间

【解析】选AD.因为食品的保鲜时间t与储藏温度x满足函数关系式

[64,x<0

t=i,且该食品在4℃时保鲜时间是16小时.

[2kx+6,X>0

所以24k+6=16,即4k+6=4,解得k=-；.

[64,x<0

所以t।

2-1+6,x>o

A.当x=6时，t=8,所以该食品在6℃的保鲜时间是8小时，故A

正确；

B.当-6,0）时，时间t不变，故B错误；

C.由图象可知，当到此日12小时，温度超过12度，此时的保鲜时

间不超过1小时，所以到了此日13时，甲所购买的食品不在保鲜时

间内，故C错误；D由C知，D正确.

二、填空题

9.乔经理到老陈的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：乔经理

的采购价y（元/吨）与采购量x（吨）之间函数关系的图象如图中的折线

段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C.已知老陈种植水果的成本

是2800元/吨，那么乔经理的采购量为吨时，老陈在这次买

卖中所获的利润W最大.

【解析】由题意，可得y与x函数解析式为

[8000,0<x<20

y=i；

[12000-200x,20<x<40

又由W=x(y-2800),

[5200x,0<x<20

知：w"；

[9200x-200x2,20<x<40

所以在0<x<20时，x=20有Wmax=104000元;

在20<x<40时，x=23有Wmax=105800元；

所以采购量为23吨时，所获的利润W最大

答案：23

10.2020年春季蝗灾波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为

5%,最初有No只.则经过_______天能达到最初的16000倍(参考

数据：ln1.05-0.0488,ln1.5-0.4055,ln1600-7.3778,ln16000~9.680

3).

【解析】设过x天能达到最初的16000倍，

x

由已知N0(l+0.05)=16OOONo,

x=16000,所以x=黑；罂-198.4,

又x£N,所以过199天能达到最初的16000倍.

答案：199

三、解答题

11.李庄村某社区电费收取有以下两种方案供农户选择：

方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度，每度0.4元,

超过30度时，超过部分按每度0.5元.

方案二：不收管理费，每度0.48元.

⑴求方案一收费L(x)元与用电量x(度)间的函数关系；

⑵小李家九月份按方案一交费34元，问小李家该月用电多少度？

(3)小李家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？

【解析】⑴当0<x<30时,L(x)=2+0.4x；

=0.5x-1,

f2+0.4x,0<x<30,

所以L(x)=

[0.5x-1,x>30.

(2)当0<x<30时,由L(x)=2+0.4x=34,解得x=80,舍去；

当x>30时，由L(x)=0.5x-1=34,解得x=70,所以小李家该月用

电70度.

(3)设按第二方案收费为F(x)元,则F(x)=0.48x,当0<x<30时,由

L(x)<F(x),

解得2+0.4x<0.48x,解得x>25,

所以25<x<30；

当x>30时，由L(x)<F(x),

得0.5x-l<0,48x,解得x<50,

所以30<x<50,综上25Vx<50.

故小李家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时，选

择方案一比方案二更好.

12.因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业

为了提产品的产量，投入90万兀安装了一台新设备，并立即进行

生产，预计使用该设备前n(n£N+)年的材料费、维修费、人工工资

等共为+5nl万元,每年的销售收入55万元.设使用该设备前n

年的总盈利额为f(n)万元.

⑴写出f(n)关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；

(2)使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：

方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；

方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处

理；

问哪种方案处理较为合理？并说明理由.

【解析】(1)由题意得：f(n)=55n-90-1|n2+5n)=-|n2+50n-90.

由f(n)>0,得-|1?+5011-90>0,即n2-20n+36<0,解得2<n

<18.

由于n£N+,故该企业从第3年开始盈利；

2

⑵方案一：总盈利额f(n)=-|(n-10)+160,当n=10时，f(n)max

=160.

故方案一总利润160+10=170,此时n=10；

f(n)5(36、5।—

方案二：每年平均利润丁一二50-5n+:<50-5X2V36=

20,当且仅当n=6时等号成立.

故方案二总利润6x20+50=170,此时n=6.比较两种方案，获利都

是170万元，但由于第一种方案需要10年，而第二种方案需要6年,

故选择第二种方案更合适.

综合突破练

一、选择题

1,2020年8月到11月这四个月的某产品价格的市场平均价f(x)(单

位:元/千克)与时间x(单位：月份)的数据如表

X891011

f(x)

现有三种函数模型：①f(x)=bx+a；②f(x)=ax?+bx+c；③f(x)=⑸

X-

+a,找出你认为最适合的函数模型，并估计2020年12月份的该

产品市场平均价()

A.②，28元/千克B.①，25元/千克

C.②，23元/千克D.③，21元/千克

【解析】选A.因为f(x)的值随x的值先增后减，

所以选f(x)=ax2+bx+c最合适.

第二组数据近似为(9,34),第四组近似为(11,34),

得f(x)图象的对称轴为x=10,

故f(12)=f⑻=28.

2.某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%,5

月份比4月份增加了15%,则5月份的产值是()

A.(a-10%)(a+15%)万元

B.a(l-10%)(1+15%)万元

C.(a-10%+15%)万元

D.2(1-10%+15%)万元

【解析】选B.由题意,5月份的产值为a(l-10%)(1+15%)万元.

3.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到

100℃,水温y(℃)与时间t(min)近似满足一次函数关系；②用开水将

热饮冲泡后在室温下放置,温度y(℃)与时间t(min)近似满足函数的

关系式为y=80()？+b(a,b为常数)，通常这种热饮在40c时，口

感最佳，某天室温为20C时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么

按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为

)

A.35minB.30min

C.25minD.20min

【解析】选C.由题意，当0<t<5时，函数图象是一个线段,

当t>5时，函数的解析式为y=

80冏京+b,将点(5,100)和点(15,60)

"5-a

100=80-+b

代入解析式，有

<1W

60=80—+b

解得a=5,b=20,

故函数的解析式为y=80&~+20,t>5.

令y=40,解得t=25,

所以最少需要的时间为25min.

二、填空题

4.一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格

是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社.在一个

月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能

卖出250份,且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月

所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸份

【解析】设每天从报社买进x(250<x<400,x£N)份报纸时，每月所

获利润为y元，具体情况如下表.

数量/份单价/元金额/元

买进30x260x

20x+60x+7

卖出3

10x250500

退回10(x-250)8x-2000

则推销员每月所获得的利润y=［(60x+7500)+(8x-2000)J-60x=

8x+5500(250<x<400,x£N)

又由y=8x+5500在［250,400］上单调递增，

所以当x=400时，y取得最大值8700.

答案：400

5.要制作一个容积为4n?,高为1m的无盖长方体容器，已知该容

器的底面造价为20元/n?，侧面造价为10元/n?,则该容器的最低造

价是______元.

【解析】设容器底的长和宽分别为am,bm,成本为y元，

所以S底=ab=4,y=20S底+10[2(a+b)J

=20(a+b)+80>20x2A/ab+80=160,

当且仅当a=b=2时，y取最小值160,则该容器的最低造价为160

元.

答案：160

6.某制造商制造并出售圆柱形瓶装的某种饮料，瓶子的底面半径是

4

r,高h=Q2分，已知每出售1mL(注：1mL=1cn?)的饮料，制造商

可获利02分，目制造商能制造的瓶子底面的最大半径为6cm.记每

瓶饮料的利润为f(r),则f(3)=其实际意义是________.

4

【解析】f(r)=0.2-7tr2-22

故f(3)=7.2K-7.2JT=0.

表示当瓶子底面半径为3cm时，利润为0.

答案：0当瓶子底面半径为3cm时，利润为0

7.碳14的衰变极有规律,其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.碳

14的残余量占原始含量的比值P与生物体死亡年数t满足P=al（a为

正数）.已知碳14的“半衰期”是5730年，即碳14大约每经过5730年

就衰变为原来的一半.则a=；2020年1月10日，中国社

会科学院考古研究所发布了“2019年中国考古新发现”六大考古项目,

位于滕州市官桥镇大韩村东的“大韩墓地”成功入选.考古人员发现墓

地中某一尸体内碳14的残余量占原始含量的73%,则“大韩墓地”距

测算之时约年.（参考数据：1g73句.86,1g2=0.3）

【解析】根据题意令P=1,t=5730,

则有:=a573。，解得a=（j六；

令P=73%,将a=（旷"代入P=小得

（O5730MD京

-=73%,即目=0.73,

t1g0.73坨73-27

nil=

则向一1限0-73=-lg2=-下，

7

解得t下x5730=2674.

答案：停尸2674

三、解答题

8.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成

x2

本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=y

-48x+8000,已知此生产线年产量最大为230吨.

⑴求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本P（年总成本除以

年产量）最低，并求最低成本；

（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，且生产的产品全部售完，那么

当年产量为多少吨时，年总利润可以获得最大？最大利润是多少？

X2

【解析】(l)y=y-48x+8000,0<x<230.

uuzcYx8000-48平/华-48=32,当且仅当x=

所以P=1=-+—

200时取等号.

所以年产量为200吨时，生产每吨产品的平均成本P最低，最低成本

为32万兀.

⑵设^1」润为z万元，

则z=40x-y

X2

二40x-y+48x-8000

=-1x2+88x-8000

-1(x-220>+i680,

即年产量为220吨时，利润最大为1680万元.

9.销售甲、乙两种商品所得利润分别是y-丫2万元，它们与投入资

金x万元的关系分别为yi=m\jx+1+a,y2=bx(其中m,a,b都

为常数)，函数y-y2对应的曲线C-C2如图所示.

⑴求函数yi与y2的解析式;

⑵若该商场一共投资10万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利

润的最大值.

m+a=0

【解析】(1)由题意《，解得m=2,a=-2,故yi=2^x+1

I3m+a=4

-2(x>0).

又由题意8b=4得b=g，故y2=；x(x>0).

(2)设销售甲商品投入资金x万兀，利润为y万兀，则乙投入(10-x)

万兀.

由(1)得y=2巾+1-2+1(10-x)=

2\Jx+1-g[x+1=t,

贝!Jx=t2-1,

171n

故

心-2-

+3=-++--+

2.2t22ft2)2

、

i<t<vn,

当t=2即x=3时,y取最大值苗.

答：该商场所获利润的最大值为3万元.

》素养培优练《

（60分钟100分）

一、选择题（每小题5分，共45分，多选题全部选对得5分，选对但

不全的得3分，有选错的得0分）

1•在固定电压差（电压为常数）的前提下，当电流通过圆柱形的电线

时，其电流强度1（单位：安）与电线半径r（单位：毫米）的三次方成正

比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则

电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为（）

A.60安B.240安C.75安D.135安

【解析】选D.由已知，设比例常数为k,则I=k/.

由题意，当r=4时，1=320,故有320=kx43,

解得k=*320=5,所以1=5”

故当r=3时，1=5x33=135（安）.

2.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸的体积

为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a-e-9已知新丸经过

50天后，体积变为48a,则需经过的天数为（）

A.125B.100C.75D.50

50k

【解析】选C由已知得'a=a.e-50k,gpe-=1=修「•所以捺a

=停1•a=（e-so*a=e-75k.a，所以t=75，

3.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/

次，一年的总存储费用为4x万元，则一年的总运费与总存储费用和

最小为（）

A.60万元B.160万元C.200万元D.240万元

【解析】选D.由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和为呼x6

.^l1o^

+4x2x=240（万元）.当且仅当x=30时取等号.

4.某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数

量p（单位：毫克/升）不断减少，已知p与时间t（单位：小时）满足p（t）

=p°2%，其中po为t=0时的污染物数量.又测得当t=30时，污染

物数量的平均变化率是-101n2,则p（60）=（）

A.150毫克/升B.300毫克/升

C.1501n2毫克/升D.3001n2毫克/升

【解析】选C.因为当t=30时，污染物数量的平均变化率是-101n2,

1

2?o-po

所以-101n2=,所以p()=6001n2.

30-0

2

因为p(t)=p02-^,所以p(60)=6001n2x2-

=1501n2(毫克/升).

5.《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是

一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼

者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为全

米，肩宽约为1米「弓”所在圆的半径约为L25米，你估测一下掷铁

饼者双手之间的距离约为(参考数据：也力.414,小力.732)()

A.1.012米

C.2.043米

【解析】选B.由题得：弓所在的弧长为+1+1=Y;

44oo

5兀

所以其所对的圆心角a*所以两手之间的距离d=2Rs峙=

2x1.25-1.768.

6.果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水

果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为h（t）=mR.

若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%,采摘后20天，这种

水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果在多长时间后失

去50%新鲜度（已知1g2=0.3，结果取整数）（）

A.23天B.33天C.43天D.50天

10

[ma=0.1,1a」轲

【解析】选B.由题意可知所以，，所以h（t）=

lma=。2，[m=0.05

005x（1/匕当h（t）=0.5时，0.05x（l细），=0.5,解得t=哉R3.

7.（多选）据美国学者詹姆斯・马丁的测算，近十年，人类知识总量已

达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速

度.因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切

人学会学习.已知2000年底，人类知识总量为a，假如从2000年底

到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻

一番，2020年（按365天计算）是每73天翻一番，则下列说法正确的

是（）

A.2006年底人类知识总量是2a

B.2009年底人类知识总量是8a

c.2019年底人类知识总量是213a

D.2020年底人类知识总量是218a

【解析】选BCD.选项A：2006年底人类知识总量为ax2x2=4a,故

A错误，选项B：2009年底人类知识总量为ax2x2x2=8a，故B正确,

选项C：2019年底人类知识总量为8ax21。=2,，故C正确，选项D：

2020年底人类知识总量为213ax25=218a,故D正确.

8.(多选)“双11”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定

一次购物付款总额满一定额度，可以给予优惠：

(1)如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；

(2)如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠

券；

⑶如果购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予9折优

惠；

(4)如果购物总额超过300元,其中300元内的按第(3)条给予优惠，

超过300元的部分给予8折优惠.

某人购买了部分商品，则下列说法正确的是()

A.如果购物总额为78元，则应付款为73元

D.如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元

【解析】选ABD.如果购物总额为78元，满足超过50元但不超过100

元，可以使用一张5元优惠券，则应付款为73元，故A正确；如果

购物总额为228元，超过100元但不超过300元，则应付款为228x0.9

=205.2元，故B正确；如果购物总额为368元，购物总额超过300

元，则应付款为300x0.9+68x0.8=324.4元，故C错误；如果购物时

一次性全部付款442.8元，说明购物总额超过300元，设购物总额为

x元，则300x0.9+（x-300）x0.8=442.8,解得x=516元，故D正确.

9.（多选）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲

厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷

数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用

yi（千元）,乙厂的总费用

yM千元）与印制证书数量x（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所

示，则下列说法正确的是（）

B.甲厂的总费用y.与证书数量x之间的函数关系式为Y1=0.5x+1

C.若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费

用

D.当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量x之

15

-X+-

42

间的函数关系式为y2

【解析】选ABD.对于选项A：由图可知甲厂制版费为1千元，印刷

2-1

费平均每个为亍=0.5(元)，所以选项A正确，

对于选项B：设甲厂的总费用yi与证书数量x之间的函数关系式为

yi=kx+b(kr0),

fb=1,[k=1,

则<解得2

[2k+b=2,[b=1,

所以yi=0.5x+1,所以选项B正确，

对于选项C：由图象可知，当印制证书数量超过6千个时，乙厂费用

少于甲厂费用，

所以若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择乙厂更节省费

用,所以选项C错误，

对于选项D：当印制证书数量超过2千个时，

设乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2=ax+

c(aWO),

代入点(2,3)和点(6,4)得

2a+c=3,a=4，

解得j5

6a+c=4,

c=2,

15

-X+-

所以y242,所以选项D正确.

二、填空题(每小题5分，共15分)

10.2020年是全国决胜脱贫攻坚之年「一帮一扶”工作组进驻某山区

帮助农民脱贫，发现该山区盛产苹果、梨子、曲猴桃，工作人员艾明

在线上进行直播带货活动，促销方案如下：若一次购买水果总价不低

于200元，则顾客少付款m元，每次订单付款成功后，农民会收到

支付款的80%在促销活动中，为了使得农民收入不低于总价的70%,

则m的最大值为.

【解析】设每笔订单促销前的总价为x元，根据题意有(x-

m)x80%>xx70%,即m<|恒成立，由题意得x>200,所以标=

25,所以m<25,所以m的最大值为25.

答案：25

11某公司建造一间背面靠墙的房屋地面是一个矩形,面积为60n?,

房屋正面每平方米的造价为1500元，房屋侧面每平方米的造价为1

000元，屋顶的造价为6000元.如果墙高为3m,且不计房屋背面

和地面的费用，那么把地面矩形较长的一边设计为m时，能

使房屋的总造价最低(结果用根式表示).

【解析】设底面的长为Xm,宽为ym,则xy=60,

设房屋总造价为f(x),则f(x)=3x-l500+2-3-v-1000+6000

=4500X+3+6000>

X-

2y4500X・36°X0°°+6000=36000\/5+6000(元).当且仅当4500x

3600

=°x°，即x=4小时，上式等号成立，此时y==3于.

故把地面矩形较长的一边设计为4小m时，能使房屋的总造价最

低.

答案：4小

12.设矩形ABCD(AB>AD)的周长为8cm才巴△ADC沿AC向^ABC

折叠，CD折过去后交AB于点M.设AB=xcm,则^ADM面积的最

大值为cm2.

【解析】如图，易证△ADM^ACBM,

则DM=BM,

因为矩形ABCD(AB>AD)的周长为8cm,

设AB=xcm（2<x<4）,

所以AD=（4-x）cm.

设DM=ycm,则AM=（x-y）cm,

Q

222

则有（4-x）+y=（x-y）,解得y=4--A.

SAADM=IADDM=1（4-X）（4-'||

=12-（^+2x）<12-8^2（cm2）,

当且仅当x=2啦时，等号成立.

所以△ADM面积的最大值为（12-8媳）cm2.

答案：12-8^2

三、解答题（每小题10分，共40分）

13.某工厂生产一新款智能迷你音箱，每日的成本C（单位：万元）与

日产量x（x£N*,单位：千只）的关系满足C=x+2.每日的销售额S（单

16x

位:万元）与日产量X的关系满足：当1<X<7时，S=+X；当7

x4-1

<x<16时，S=3x+—--+2；当xN16时，S=28.已知每日的利润

x-16

L=S-C（单位：万元）.

⑴求k的值，并将该产品每日的利润L（万元）表示为日产量x（千只）

的函数;

⑵当日产量为多少千只时，每日的利润可以达到最大，并求出最大

值.

【解析】⑴当x=7时，S=3+7=3x7+」一+2,解得k=18,

7+17-16

所以L

-^-2,l<x<7,x£N*,

x+1

=I2x+-,7<x<16,xeN*,

x-16

、26-x,x>16,x《N".

(2)当13x07,x£N*时，L='^^-2=14-*-，在口，7]上单调

x+1x+1

递增，所以当X=7时，Lmax=12,

1Q1O

当7<x<16,x£N*时，L=2x+-------=32-[2(16-x)+-------]<

x-1616-x

32-2A/2(16-X)x—=20,

V16-x

1Q

当且仅当2(16-x)=，即X=13时，Lmax=20,

16-x

当x>16,X0N时，L=26-x在[16,+8)上单调递减，所以当x=

16时，Lmax=26-16=10,综上，

当X=13时，L取得最大值为20,所以日产量为13千只时，每日的

利润可以达到最大，且最大值为20万元.

14.经调查，某产品在过去两周内的日销售量(单位：千克)与日销售

单价(单位：元)均为时间t(天)的函数.其中日销售量为时间t的一次

函数，且t=l时，日销售量为34千克，t=10时，日销售量为25千

f250

25-------,l<t<8gteN

克.日销售单价满足函数f(t)=t+1

14+t,8<t<14SteN

⑴写出该商品日销售额y关于时间t的函数(日销售额=日销售量x销

售单价)；

⑵求过去两周内该商品日销售额的最大值.

【解析】⑴设日销售量g(t)(千克)关于时间t(天)的函数为g(t)=kt+b,

[k+b=34,[k=-1,

则解得

[10k+b=25,[b=35,

所以g(t)=35-t,

f25

(25-——)(35-t),l<t<8,teN,

所以y=jt+1

(14+t)(35-t),8<t<14,teN.

or

⑵①当10<8时，y=25[37-(t+1)-——]<(37-2^36)x25=625,

t+1

当且仅当(t+=36,即t=5时,等号成立,

②当此区14时,y