第四章　曲线运动 第23课时　圆周运动的临界极值问题　重难突破课

第23课时圆周运动的临界极值问题[重难突破课]CONTENTS02着眼“四翼”·探考点题型规律方法聚焦“素养”·提能力巧学妙解应用0102着眼“四翼”·探考点题型规律方法

题型一

水平面内圆周运动的临界极值问题

常

见情

境（1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件：物体

与转盘之间的摩擦力恰好达到最大静摩擦力。（2）绳的拉力出现临界条件：绳恰好拉直（此时绳上无弹力）

或绳上拉力恰好为最大承受力等。（3）物体间恰好分离的临界条件：物体间的弹力恰好为零解

题思

路（1）若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等关键词，表明题

述的过程存在临界状态。（2）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等关键

词，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状

态。（3）当确定了物体运动的临界状态或极值条件后，要分别针对

不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程

求解【典例1】

如图甲所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着

用轻质细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与

圆心距离分别为2r和3r，两物体与盘间的动摩擦因数相同，最大静摩

擦力等于滑动摩擦力。若初始时绳子恰好拉直但没有拉力，现增大转

盘角速度让转盘做匀速圆周运动，但两物体还未发生相对滑动，这一

过程A与B所受摩擦力f的大小与ω2的大小关系图像如图乙所示，下列

关系式正确的是（

）

1.【发生相对滑动时的临界问题】（多选）2022年2月7日，在首都体育馆举行的北京2022年冬奥会短

道速滑项目男子1000米决赛中，我国选手任子威夺得冠军。如图1

所示为短道速滑比赛场地的示意图（由直道和半圆形轨道构成），

比赛场地周长约为111.12m，其中直道长度为28.85m，弯道内径为

8m。如图2所示为运动员转弯瞬间的一幕。假设该比赛场地的冰面

水平，运动员在弯道紧邻黑色标志块做匀速圆周运动，转弯时冰刀

与冰面间的动摩擦因数为0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，运动

员的质量为50kg，运动员可看作质点，重力加速度g取10m/s2。下

列说法正确的是（

）A.运动员由直道进入弯道前要减速B.图2中的运动员在转弯时，冰面的支持力和重力的合力提供其做圆

周运动所需的向心力D.运动员紧邻黑色标志块转弯时的最大速度为2m/s

2.【物体间恰好分离的临界问题】（多选）如图所示，三角形为一光滑圆锥体的正视图，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°。一根长为l＝1m的细线一端系在圆锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕圆锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，不计空气阻力，则（

）A.小球受重力、支持力、拉力和向心力B.小球可能只受拉力和重力

3.【绳的弹力恰好有无的临界问题】如图所示，AC、BC两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，AC绳长L＝2m，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，两绳拉直时与竖直轴的夹角分别为30°和45°。小球在水平面内做匀速圆周运动时，若两绳中始终有张力，小球的角速度可能是（g＝10m/s2）（

）A.2rad/sB.2.5rad/sC.3.5rad/sD.4rad/s

题型二

竖直面内圆周运动的临界极值问题1. 两类模型轻“绳”模型轻“杆”模型情境图示

轻“绳”模型轻“杆”模型弹力特征弹力只能向下或为0

弹力可能向下，可能向

上，也可能为0

轻“绳”模型轻“杆”模型力学方程临界特征v＝0，即FN＝0，此时FN＝mg2.解题思路考向1

轻“绳”模型问题【典例2】

如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（

）A.过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险

带，人就会掉下来B.人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力C.人在最低点时对座位的压力等于mgD.人在最低点时对座位的压力大于mg

考向2

轻“杆”模型【典例3】

如图所示，质量为1.6kg、半径为0.5m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B（均可视为质点）的直径略小于细圆管的内径（内径远小于细圆管半径）。它们的质量分别为mA＝1kg、mB＝2kg。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小为vA＝3m/s，此时杆对圆管的弹力为零。则B球的速度大小vB为（取g＝10m/s2）（

）A.2m/sB.4m/sC.6m/sD.8m/s

题型三

斜面上圆周运动的临界极值问题1.题型简述：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，

如静摩擦力控制、绳控制、杆控制等，物体的受力情况和所遵循的

规律也不相同。2.解题关键——重力的分解和视图物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的

分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操

作，把问题简化。

C.1.0rad/sD.0.5rad/s解析：由题意知临界条件为物体在圆盘最低点受到的摩擦力为最大

静摩擦力，根据牛顿第二定律有，μmgcos30°－mgsin30°＝mrω2，

解得ω＝1.0rad/s，C正确，A、B、D错误。

如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8m的轻

杆，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2kg的小球，沿斜面做

圆周运动。g取10m/s2。若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B

的最小速度是（

）A.4m/s

02聚焦“素养”·提能力巧学妙解应用

A.汽车过该弯道时受到重力、支持力、摩擦力和向心力B.汽车过该弯道时所受径向静摩擦力大小为4000NC.汽车过该弯道时的向心加速度大小为3m/s2D.汽车能安全通过该弯道的最大速度为40m/s12345678910

123456789102.有一竖直转轴以角速度ω匀速旋转，转轴上的A点有

一长为l的细绳系有质量为m的小球。要使小球在随

转轴匀速转动的同时又不离开光滑的水平面，重力加

速度为g，则A点到水平面的高度h最大为（

）B.

ω2g12345678910

12345678910题型二

竖直平面内圆周运动的临界极值问题3.（多选）滚筒洗衣机静止于水平地面上，衣物随着滚筒一起在竖直

平面内做高速匀速圆周运动，以达到脱水的效果，滚筒截面如图所

示，A点为最高点，B点为最低点，CD为水平方向的直径，下列说

法正确的有（

）A.衣物运动到A点时处于超重状态B.衣物运动到B点时脱水效果最好C.衣物运动到C点或D点时，洗衣机对地面的摩擦力不

为零D.衣物在B点时，洗衣机对地面的压力等于洗衣机的重力12345678910

12345678910在衣物运动中，衣物运动到C点或D点时，洗衣机对衣物的水平作用

力提供衣物做圆周运动需要的向心力，可知此时衣物对洗衣机在水平

方向作用力最大，而洗衣机是静止的，可知地面对其的摩擦力最大，

根据牛顿第三定律可知，衣物运动到C点或D点时洗衣机对地面的摩

擦力最大，故C正确。123456789104.如图所示，一质量为m＝0.5kg的小球（可视为质点），用长为0.4m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，g＝10m/s2，下列说法不正确的是（

）A.小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少

为2m/sB.当小球在最高点的速度为4m/s时，轻绳拉力为15ND.若轻绳能承受的最大张力为45N，小球的最大速度不能超过4m/s12345678910

123456789105.（多选）如图甲所示，某体操运动员用一只手抓住单杠，伸展身

体，以单杠为轴做圆周运动。该运动员运动到最高点时，用力传感

器测得他与单杠间弹力大小为F，用速度传感器记录他在最高点的

速度大小为v，得到F-v2图像如图乙所示。g取10m/s2，则下列说法

中正确的是（

）12345678910A.该运动员的质量为65kgB.该运动员的重心到单杠的距离为0.9mC.当该运动员在最高点的速度为4m/s时，单杠对他的弹力方向向上D.当该运动员在最高点的速度为4m/s时，单杠对他的弹力方向向下12345678910

12345678910题型三

斜面上圆周运动的临界极值问题6.如图，有一倾斜的匀质圆盘（半径足够大），盘面与水平面的夹角

为θ，绕过圆心并垂直于盘面的转轴以角速度ω匀速转动，有一物体

（可视为质点）与盘面间的动摩擦因数为μ（设最大静摩擦力等于

滑动摩擦力），重力加速度为g。要使物体能与圆盘始终保持相对

静止，则物体与转轴间最大距离为（

）12345678910

123456789107.如图所示，长为l的轻杆两端各固定一个质量均为m的小球a、b，系

统置于倾角为θ的光滑斜面上，且杆可绕位于中点O的转轴平行于斜

面转动，当小球a位于最低点时给系统一初始角速度ω0，不计一切

阻力，则（

）A.在轻杆转过180°的过程中，角速度逐渐减小B.只有ω0大于某临界值，系统才能做完整的圆周运

动C.轻杆受到转轴的力的大小始终为2mgsinθD.轻杆受到转轴的力的方向始终在变化12345678910解析：

由题意可知，在转动过程中，系统的重力势能不变，那

么当系统有初始角速度时，系统的动能也不变，因此系统始终匀速

转动，故A、B错误；选两球及杆作为系统，根据牛顿第二定律有F

－2mgsinθ＝man＋m（－an），解得F＝2mgsinθ，而轻杆受到转轴

的力的方向始终沿着斜面向上，故C正确，D错误。12345678910

8.如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B及物体C能随转台一起以

角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B

和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B、C离转台中心的距离分别

为r和1.5r。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物体A、B、C均可视为

质点，重力加速度为g，下列说法正确的是（

）A.B对A的摩擦力一定为3μmgB.B对A的摩擦力一定为3mω2rD.若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是A物体12345678910

12345678910

123456789109.如图所示，餐桌中心是一个半径为r＝1.5m的圆盘，

圆盘可绕中心轴转动，餐桌其余部分不转动，近似

认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙

可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘

的动摩擦因数为μ1＝0.6，与餐桌的动摩擦因数为μ2＝0.225，餐

桌离地高度为h＝0.8m。设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩

擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。12345678