第五章　万有引力与宇宙航行 第28课时　卫星变轨问题　双星模型　重难突破课

第28课时卫星变轨问题双星模型[重难突破课]题型一卫星的变轨和对接问题1.两类变轨情况的分析两类变轨离心运动近心运动变轨起因飞行器加速飞行器减速受力特点GMmr2＜GMmr2＞两类变轨离心运动近心运动变轨结果变为椭圆轨道或在更高圆轨道上运动变为椭圆轨道运动或在更低圆轨道上运动能量变化机械能增加（高轨动能减小，势能增加）机械能减小（低轨动能增加，势能减小）2.宇宙飞船与空间站的对接问题宇宙飞船与空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体的追赶问题，本质仍然是卫星的变轨问题，要使宇宙飞船与空间站成功“对接”，必须让宇宙飞船在较低轨道上逐渐加速，通过做离心运动升高轨道，从而完成宇宙飞船与空间站的成功对接。【典例1】2023年1月21日，神舟十五号3名航天员在400km高的空间站向祖国人民送上新春祝福。空间站的运行轨道可近似看作圆形轨道Ⅰ，椭圆轨道Ⅱ为神州十五号载人飞船与空间站对接前的运行轨道，已知地球半径为R，两轨道相切于P点，地球表面重力加速度大小为g，下列说法正确的是（）A.空间站在轨道Ⅰ上的运行速度小于gRB.神州十五号载人飞船在P点的加速度小于空间站在P点的加速度C.神州十五号载人飞船在P点经点火减速才能从轨道Ⅱ进入轨道ⅠD.轨道Ⅰ上的神州十五号载人飞船想与前方的空间站对接，只需要沿运动方向加速即可答案：A解析：根据万有引力提供向心力有GMmr2＝mv2r，根据地球表面万有引力等于重力有GMmR2＝mg，联立解得v＝gR2r，由于轨道Ⅰ的半径r＞R，则可知空间站在轨道Ⅰ上的速度小于gR，故A正确；由牛顿第二定律GMmr2＝ma，可知飞船和空间站在P点的加速度相等，故B错误；神州十五号载人飞船若要从轨道Ⅱ进入轨道Ⅰ，做离心运动，需要在P点点火加速，故C1.【变轨问题】（多选）“嫦娥五号”取月壤返回地球，完成了中国航天史上的一次壮举。如图所示为“嫦娥五号”着陆地球前部分轨道的简化示意图，其中轨道Ⅰ是月地转移轨道，在P点由轨道Ⅰ变为绕地椭圆轨道Ⅱ，在近地点Q再变为绕地椭圆轨道Ⅲ。下列说法不正确的是（）A.在轨道Ⅱ运行时，“嫦娥五号”在Q点的机械能比在P点的机械能大B.“嫦娥五号”在轨道Ⅱ上运行的周期比在轨道Ⅲ上运行的周期长C.“嫦娥五号”分别沿轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运行时，经过Q点的向心加速度大小相等D.“嫦娥五号”分别沿轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运行时，经过Q点的速度大小相等解析：AD在轨道Ⅱ运行时，只有引力做功，则系统的机械能守恒，所以“嫦娥五号”在Q点的机械能等于在P点的机械能，所以A错误；根据开普勒第三定律R3T2＝k可知，轨道半径越大，周期越大，则嫦娥五号在轨道Ⅱ上运行的周期比在轨道Ⅲ上运行的周期长，所以B正确；根据GMmr2＝ma可知，当嫦娥五号分别沿轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运行时，经过Q点的向心加速度大小相等，所以C正确；根据卫星变轨原理可知，由高轨道进入低轨道需要点火减速，所以“嫦娥五号”由轨道Ⅱ到轨道Ⅲ运行时，经过Q2.【对接问题】2021年6月17日，“神舟十二号”飞船与“天和核心舱”在太空中自动交会对接成功，航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波先后进入“天和核心舱”，是我国航天史上的一个重要里程碑。假设“天和核心舱”与“神舟十二号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现“神舟十二号”飞船与“天和核心舱”的对接，下列措施可行的是（）A.使飞船与“天和核心舱”在同一轨道上运行，然后飞船加速追上“天和核心舱”实现对接B.使飞船与“天和核心舱”在同一轨道上运行，然后“天和核心舱”减速等待飞船实现对接C.飞船先在比“天和核心舱”半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近“天和核心舱”，两者速度接近时实现对接D.飞船先在比“天和核心舱”半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近“天和核心舱”，两者速度接近时实现对接解析：C若使飞船与“天和核心舱”在同一轨道上运行，然后飞船加速，所需向心力变大，则飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，选项A错误；若使飞船与“天和核心舱”在同一轨道上运行，然后“天和核心舱”减速，所需向心力变小，则“天和核心舱”将脱离原轨道而进入更低的轨道，不能实现对接，选项B错误；要想实现对接，可使飞船在比“天和核心舱”半径较小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的“天和核心舱”轨道，逐渐靠近“天和核心舱”后，两者速度接近时实现对接，选项C正确；若飞船在比“天和核心舱”半径较小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，不能实现对接，选项D错误。题型二双星及多星模型模型一双星模型模型图例受力特点两星间的万有引力提供两星做圆周运动所需的向心力运动特点转动方向、周期、角速度相同，运动半径一般不等解题规律Gm1m2L2＝m1ω2r1，Gm解题关键r1＋r2＝L【典例2】天文学家发现了一对被称为“灾难变星”的罕见双星系统，约每51分钟彼此绕行一圈，通过天文观测的数据，模拟该双星系统的运动，推测在接下来的7000万年里，这对双星彼此绕行的周期逐渐减小至18分钟。如果将该双星系统简化为理想的圆周运动模型，如图所示，两星球在万有引力作用下，绕O点做匀速圆周运动。不考虑其他天体的影响，两颗星球的质量不变，在彼此绕行的周期逐渐减小的过程中，下列说法中正确的是（）A.每颗星球的角速度都在逐渐变小B.两颗星球的距离在逐渐地变大C.两颗星球的轨道半径之比保持不变D.每颗星球的加速度都在变小答案：C解析：由于在彼此绕行的周期逐渐减小，根据公式ω＝2πT可知，每颗星球的角速度都在逐渐变大，设双星转动的角速度为ω，双星间距离为L，星球的质量分别为m1、m2，由万有引力提供向心力有Gm1m2L2＝m1ω2r1＝m2ω2r2，解得ω＝G（m1＋m2）L3，可知距离L逐渐的变小，故A、B错误；由万有引力提供向心力有Gm1m2L2＝m1ω2r1＝m2ω2r2，解得r1r2＝m2m1，由于星球质量不变模型二三星模型模型图例受力特点各星所受万有引力的合力提供其做圆周运动所需的向心力运动特点转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等解题规律图甲中Gm2r2＋G图乙中Gm2L2×cos30°×解题关键图甲中r＝L2，图乙中r＝【典例3】宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的轨道上运行，如图甲所示，周期为T1；另一种是三颗星位于边长为R的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为T2。则T1∶T2为（）A.35 B.235C.335答案：B解析：第一种形式下，左边星体受到中间星体和右边星体两个万有引力作用，它们的合力充当向心力，则GmmR2＋Gmm（2R）2＝m4π2T12R，解得T1＝4πRR5Gm，第二种形式下，三颗星体之间的距离均为R，由几何关系知，三颗星体做圆周运动的半径为R'＝33R，任一星体所受的合力充当向心力，即有F合＝2GmmR2cos30°＝m4π2T2题型一卫星的变轨和对接问题1.2022年7月14日下午，长征五号B火箭成功将我国空间站的首个实验舱“问天”实验舱送入太空与天和核心舱进行对接，随后神舟十四号乘组顺利进入问天实验舱，开启了太空实验的新阶段。如图所示，已知空间站在距地球表面高约400km的近地轨道上做匀速圆周运动，地球半径约为6400km，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（）A.空间站绕地球运行的速度大于第一宇宙速度B.若已知空间站的运行周期则可以计算出地球的质量C.“问天”实验舱需先进入核心舱所在的轨道，再加速追上核心舱完成对接D.核心舱在轨运行时，舱内宇航员的加速度为0解析：B第一宇宙速度是最大的环绕速度，空间站绕地球运行的速度小于第一宇宙速度，选项A错误；空间站的轨道半径已知，若再已知空间站的运行周期，则可以根据GMmr2＝m4π2T2r计算出地球的质量，选项B正确；“问天”实验舱需先进入低于核心舱所在的轨道，再加速做离心运动追上核心舱完成对接，选项C错误；核心舱在轨运行时，舱内宇航员做匀速圆周运动，2.北京时间2023年4月15日，神舟十五号航天员乘组进行了第四次出舱活动，安全返回问天实验舱，于2023年5月返回东风着陆场。神舟十五号飞船采用“快速返回技术”，在近地轨道上，返回舱脱离问天实验舱，在圆轨道环绕并择机返回地面。则（）A.问天实验舱所处的圆轨道距地面高度越高，环绕速度越大B.质量不同的返回舱与问天实验舱可以在同一轨道运行C.返回舱中的宇航员处于失重状态，不受地球的引力D.返回舱穿越大气层返回地面过程中，机械能守恒解析：B根据万有引力提供向心力有GMmR2＝mv2R，解得v＝GMR，则问天实验舱所处的圆轨道距地面高度越高，轨迹半径越大，则环绕速度越小，只要环绕速度相同，返回舱和问天实验舱可以在同一轨道运行，与返回舱和问天实验舱的质量无关，故A错误，B正确；返回舱中的宇航员处于失重状态，地球的引力恰好提供向心力，故C错误；返回舱穿越大气层返回地面过程中，有摩擦力做功3.（2024·九省联考贵州）天宫空间站运行过程中因稀薄气体阻力的影响，每经过一段时间要进行轨道修正，使其回到原轨道。修正前、后天宫空间站的运动均可视为匀速圆周运动，则与修正前相比，修正后天宫空间站运行的（）A.轨道半径减小 B.速率减小C.向心加速度增大 D.周期减小解析：B天宫空间站运行过程中因稀薄气体阻力的影响，天宫空间站的机械能减小，天宫空间站轨道高度降低，则与修正前相比，修正后天宫空间站运行的轨道半径增大，故A错误；根据万有引力提供向心力GMmr2＝mv2r，可得v＝GMr，修正后天宫空间站运行的轨道半径增大，则速率减小，故B正确；根据牛顿第二定律GMmr2＝ma，可得a＝GMr2，修正后天宫空间站运行的轨道半径增大，则向心加速度减小，故C错误；根据万有引力提供向心力GMmr2＝m4π2T24.《天问》是中国战国时期诗人屈原创作的一首长诗，全诗问天问地问自然，表现了作者对传统的质疑和对真理的探索精神，我国探测飞船天问一号发射成功飞向火星，屈原的“天问”梦想成为现实，也标志着我国深空探测迈向一个新台阶，如图所示，轨道1是圆轨道，轨道2是椭圆轨道，轨道3是近火圆轨道，天问一号经过变轨成功进入近火圆轨道3，已知引力常量G，以下选项中正确的是（）A.天问一号在B点需要点火加速才能从轨道2进入轨道3B.天问一号在轨道2上经过B点时的加速度大于在轨道3上经过B点时的加速度C.天问一号进入近火轨道3后，测出其近火环绕周期T，可计算出火星的平均密度D.天问一号进入近火轨道3后，测出其近火环绕周期T，可计算出火星的质量解析：C天问一号在B点需要点火减速才能从轨道2进入轨道3，故A错误；在轨道2和轨道3经过B点时，加速度相同，故B错误；假设火星的半径为R，轨道3轨道半径为r，因轨道3是近火轨道，所以r≈R，假设火星质量为M，天问一号质量为m，由万有引力提供向心力有GmMR2＝mR4π2T2，解得M＝4π2R3GT2，火星的密度ρ＝M题型二双星及多星模型5.（多选）如图所示，“食双星”是两颗相距为d的恒星，设为A、B，只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食（像月亮挡住太阳）而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星。观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面。观测发现每隔时间T，两颗恒星与望远镜共线一次，已知引力常量为G，则（）A.恒星A、B运动的周期为2TB.恒星A质量小于B的质量C.恒星A、B的总质量为πD.恒星A线速度大于B的线速度解析：AC每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，则两颗恒星的运动周期为T'＝2T，故A正确；根据万有引力提供向心力得GmAmBd2＝mA4π2（2T）2rA＝mB4π2（2T）2rB，因为rA＜rB，所以mA＞mB，故B错误；由B选项得，两颗恒星总质量为M＝mA＋mB＝π2d36.双星的运动是引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a、b两颗星体组成，这两颗星体绕它们连线中的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a星的周期为T，a、b两颗星体的距离为l，a、b两颗星体的轨道半径之差为Δr（a星的轨道半径大于b星的），则（）A.b星的周期为l－B.a星的线速度大小为πC.a、b两颗星体的轨道半径之比为lD.a、b两颗星体的质量之比为l解析：Ba、b两颗星体是围绕同一点运动的，故周期相同，选项A错误；由ra－rb＝Δr，ra＋rb＝l得ra＝l＋Δr2，rb＝l－Δr2，所以rarb＝l＋Δrl－Δr，选项C错误；a星的线速度v＝2πraT＝π（l＋Δr）T，7.（多选）宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图所示。三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，则（）A.每颗星做圆周运动的线速度大小为GmB.每颗星做圆周运动的角速度为3C.每颗星做圆周运动的周期为2πRD.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关解析：ABC每颗星受到的合力为F＝2Gm2R2cos30°＝3Gm2R2，轨道半径为r＝33R，由向心力公式得F＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r，结合牛顿第二定律F＝ma，解得a＝3GmR2，v＝GmR，ω＝3GmR3，T8.如图，某探索飞船先沿椭圆轨道1飞行，后在高度为343千米的远地点P处点火加速，由椭圆轨道进入高度为343千米的圆轨道2，在此圆轨道上飞船的运行周期约为90分钟。下列判断正确的是（）A.飞船变轨前、后的机械能相等B.飞船在圆轨道上运行时，航天员出舱前、后都处于超重状态C.飞船在此圆轨道上运行的角速度大于同步卫星运行的角速度D.飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运行的加速度解析：C飞船由椭圆轨道变到圆轨道，需要在轨道1的远地点P点火加速，此过程有外力对飞船做功，则飞船变轨前、后的机械能不相等，故A错误；当飞船在圆轨道上运行时，航天员出舱前、后其所受到的万有引力均完全用来提供向心力，故航天员均处于完全失重状态，故B错误；由于飞船在圆轨道上的运行周期约为90分钟，小于同步卫星的运行周期24小时，根据ω＝2πT可判断出飞船运行的角速度大于同步卫星运行的角速度，故C正确；根据牛顿第二定律可得飞船的加速度为a＝GMr2，由于椭圆轨道的远地点P到地心的距离与变轨后的圆轨道的半径相等，则其加速度大小相等9.（多选）如图为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动周期为T，则（）A.A的质量一定大于B的质量B.A的加速度一定大于B的加速度C.L一定时，M越小，T越大D.L一定时，A的质量减小Δm而B的质量增加Δm，它们的向心力减小解析：BCD双星做圆周运动时，相互间的万有引力充当向心力，且角速度相等，则有mAω2rA＝mBω2rB，而rA＞rB，所以mA＜mB，A错误；由a＝ω2r可知，A的加速度一定大于B的加速度，B正确；对两星分别有GmAmBL2＝mBω2rB，GmAmBL2＝mAω2rA，解得M＝ω2L3G，又ω＝2πT，所以L一定时，M越小，T越大，C正确；由于mA＜mB，10.（多选）2021年2月，天问一号火星探测器被火星捕获，经过系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备。如图所示，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星的连线每秒扫过的面积，下列说法正确的是（）A.图中两阴影部分的面积不相等B.从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器周期变大C.从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器机械能变大D.探测器在P点的加速度大于在N点的加速度解析：AD根据开普勒第二定律可知，探测器在同一轨道上相等时间内与火星的连线扫过的面积相等，但是图中两阴影部分不在同一轨道，所以图中两阴影部分的面积不相等，故A正确；根据开普勒第三定律可知，从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器的轨道半长轴变小，周期变小，故B错误；从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器做向心运动，需要减速，探测器机械能变小，故C错误；根据公式GMmr2＝ma，可得探测器在P点的加速度大于在N点的加速度