第四章　曲线运动第21课时　平抛运动的综合问题　重难突破课教师用

第21课时平抛运动的综合问题[重难突破课]题型一与斜面相关联的平抛运动模型方法分解速度，构建速度矢量三角形，找到斜面倾角θ与速度方向的关系分解速度，构建速度的矢量三角形分解位移，构建位移矢量三角形，隐含条件：斜面倾角θ等于位移与水平方向的夹角基本规律水平：vx＝v0竖直：vy＝gt合速度：v＝v方向：tanθ＝v水平：vx＝v0竖直：vy＝gt合速度：v＝v方向：tanθ＝v水平：x＝v0t竖直：y＝12gt合位移：s＝x方向：tanθ＝y【典例1】如图所示，倾角为θ的斜面体固定在水平面上，两个可视为质点的小球甲和乙分别沿水平方向抛出，两球的初速度大小相等，已知甲的抛出点为斜面体的顶点，经过一段时间两球分别落在斜面上的A、B点后不再反弹，落在斜面上的瞬间，小球乙的速度与斜面垂直。忽略空气阻力，重力加速度为g，则下列选项正确的是（）A.甲、乙两球在空中运动的时间之比为tan2θ∶1B.甲、乙两球下落的高度之比为2tan2θ∶1C.甲、乙两球的水平位移大小之比为tanθ∶1D.甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值之比为2tan2θ∶1答案：D解析：对于小球甲的运动有tanθ＝y甲x甲＝12gt2v0t＝gt2v0，解得t＝2v0tanθg，落到斜面上时速度方向与水平方向夹角的正切值为tanα甲＝vyv0＝gtv0，则tanα甲＝2tanθ，对于小球乙的运动有tanθ＝v0vy'＝v0gt'，解得t'＝v0gtanθ，落到斜面上时速度方向与水平方向夹角的正切值为tanα乙＝vy'v0＝1tanθ，甲、乙两球在空中运动的时间之比为t∶t'＝2tan2θ∶1，A错误；由h＝12gt2可知甲、乙两球下落的高度之比为h∶h'＝t2∶t'2＝4tan1.【顺着斜面的平抛运动】如图，在倾角为α的斜面顶端，将小球以v0的初速度水平向左抛出，经过一定时间小球发生第一次撞击。自小球抛出至第一次撞击过程中小球水平方向的位移为x，忽略空气阻力，则下列图像正确的是（）解析：D小球落在斜面上时，小球位移方向与水平方向夹角为α，则有tanα＝yx＝gt2v0，则水平位移x＝v0t＝2tanαgv02∝v02，小球落在水平面上时，小球飞行时间恒定，水平位移正比于v02.【对着斜面的平抛运动】如图所示，斜面倾角为θ＝30°，在斜面上方某点处，先让小球（可视为质点）自由下落，从释放到落到斜面上所用时间为t1，再让小球在该点水平抛出，小球刚好能垂直打在斜面上，运动的时间为t2，不计空气阻力，则t1t2为A.21 B.C.32 D.解析：D设小球水平抛出的初速度为v0，则打到斜面上时，沿竖直方向的分速度vy＝v0tanθ＝gt2，水平位移x＝v0t2，抛出点到斜面的竖直高度h＝vy22g＋xtanθ＝v022gtan2θ＋v02g＝5v022g，又h题型二与曲面相关联的平抛运动运动情景物理量分析tanθ＝vyvx＝gtv在半圆内的平抛运动，R＋R2－h2＝v0t小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等【典例2】（多选）如图所示为一半圆形的坑，其中坑边缘两点A、B与圆心O等高且在同一竖直平面内，在圆边缘A点将一小球以速度v1水平抛出，小球落到C点，运动时间为t1，第二次从A点以速度v2水平抛出，小球落到D点，运动时间为t2，不计空气阻力，则（）A.v1＜v2B.t1＜t2C.小球落到D点时，速度方向可能垂直于圆弧D.小球落到C点时，速度与水平方向的夹角一定大于45°答案：AD解析：连接AC和AD，如图甲所示，设AC和AD在竖直方向上的长度分别为hAC和hAD，根据图像可知hAC＞hAD且有hAC＝12gt12，hAD＝12gt22，可得t1＞t2，设AC和AD在水平方向上的长度分别为xAC和xAD，则有xAC＜xAD，xAC＝v1t1，xAD＝v2t2，可得v1＜v2，A正确，B错误设∠DOB＝θ，则有Rsinθ＝12gt22，R＋Rcosθ＝v2t2，可得sinθ1+cosθ＝gt22v2，若速度方向垂直于圆弧，则速度方向与水平方向的夹角也为θ，则有tanθ＝gt2v2，则有tanθ＝sinθcosθ＝2sinθ1+cosθ，整理得cosθ＝1，即θ＝0，这说明小球从A点抛出后速度方向不变，显然这是不可能的，所以小球落到D点时，速度方向不可能垂直于圆弧，C错误；小球落到C点时，设小球的位移偏转角为α，即AC与水平方向的夹角为α，则有tanα＝12gt12v1t1＝RR＝1，可得α＝如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为（）A.v02tanC.v02g解析：A由小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道可知，小球在B点时的速度方向与水平方向的夹角为α，由tanα＝gtv0，x＝v0t，联立解得A、B之间的水平距离为x＝v02题型三平抛运动中的临界极值问题1.常见的“临界术语”（1）题目中有“刚好”“恰好”“正好”“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在临界点。（2）题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值。2.平抛运动临界、极值问题的分析方法（1）确定研究对象的运动性质；（2）根据题意确定临界状态；（3）确定临界轨迹，画出轨迹示意图；（4）应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。【典例3】如图所示，在楼梯口，用弹射器向第一级台阶弹射小球。台阶高为H，宽为L，A为竖直踢脚板的最高点，B为水平踏脚板的最右侧点，C是水平踏脚板的中点。弹射器沿水平方向弹射小球，弹射器高度h和小球的初速度v0可调节，小球被弹出前与A的水平距离也为L。某次弹射时，小球恰好没有擦到A而击中B，为了能击中C点，需调整h为h'，调整v0为v0'，下列判断正确的是（）A.h'的最大值为2h B.h'的最小值为2hC.v0'的最大值为156v0 D.v0'的最小值为156答案：C解析：小球做平抛运动有y＝12gt2，x＝v0t，可得v0＝xg2y，y＝gx22v02∝x2，调整前hh＋H＝122，即h＝13H，调整后考虑临界情况，小球恰好没有擦到A而击中C，则h'h'＋H＝232，即h'＝45H，所以h'＝125h，从越高处抛出而击中C点，抛物线越陡，越不容易擦到A点，所以h'＝125h是满足条件的最小值，故A、B错误；由v0＝xg2y，且两次平抛从抛出到运动至A点过程，x都为L，所以v0'v0＝hh'＝151.【平抛运动的临界问题】如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6m，竖直墙的厚度d＝0.4m，某人在距离墙壁L＝1.4m、距窗子上沿h＝0.2m处的P点，将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v水平抛出，要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，g＝10m/s2。则可以实现上述要求的速度大小是（）A.2m/s B.4m/sC.8m/s D.10m/s解析：B小物件做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧墙边缘穿过时速度v最大。此时有L＝vmaxt1，h＝12gt12，代入数据解得vmax＝7m/s，小物件恰好擦着窗口下沿左侧墙边缘穿过时速度v最小，则有L＋d＝vmint2，H＋h＝12gt22，代入数据解得vmin＝3m/s，故v的取值范围是3m/s≤v≤7m/s，故B正确，2.【平抛运动的极值问题】某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示。模型放到0.8m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2m，右端出口水平。现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为（）A.0 B.0.1mC.0.2m D.0.3m解析：C设最高点距离水平地面的高度为H，右端出口距离地面距离为h，小球从最高点到右端出口，满足机械能守恒定律，有mg（H－h）＝12mv2，从右端出口飞出后小球做平抛运动，有x＝vt，h＝12gt2，联立解得x＝2（H－h）h，根据数学知识知，当H－h＝h时，x最大，即h＝1m时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh＝1m－题型一与斜面相关的平抛运动1.（2022·广东高考3题）如图是滑雪道的示意图。可视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑下，经过水平NP段后飞入空中，在Q点落地。不计运动员经过N点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力。下列能表示该过程运动员速度大小v或加速度大小a随时间t变化的图像是（）解析：C根据题述可知，运动员在斜坡上由静止滑下做加速度小于g的匀加速运动，在NP段做匀速直线运动，从P飞出后做平抛运动，加速度大小为g，速度方向时刻改变、大小不均匀增大，所以只有图像C正确。2.如图所示，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t为（重力加速度为g）（）A.t＝v0tanθ B.t＝2C.t＝v0gtanθ解析：D如图所示，要使小球到达斜面的位移最小，则要求落点与抛出点的连线与斜面垂直，所以有tanθ＝xy，而x＝v0t，y＝12gt2，联立解得t＝2v03.（多选）小兰和小亮周末去爬山，在一个倾角为α＝37°的山坡上玩抛石块。如图所示，小兰爬上紧挨山坡底端的一棵树，从树上Q点朝着山坡水平抛出一个石块甲，石块甲正好垂直打在山坡中点P；小亮在山坡顶端的A点水平抛出一个石块乙，石块乙也落在P点。已知山坡长度AC＝L，重力加速度为g，sin37°＝0.6，不计空气阻力，则下列说法正确的是（）A.石块甲的抛出点Q一定比A点高B.石块甲的初速度大小为3C.石块甲、乙的运动时间之比为22∶3D.若两石块同时抛出，则他们一定同时击中P点解析：BC设石块甲抛出的初速度为v0，Q点相对于P点的竖直高度为H，则H＝12gt2，石块甲落在P点时竖直速度vy＝2gH，石块甲的水平位移x＝L2cosα，v0＝xt，tan37°＝v0vy，联立各式可得H＝415L，v0＝3gL10，又A点高度为hA＝Lsinα＝35L，则Q点的高度为hQ＝H＋hA2＝1730L，则A点比Q点高，故A错误，B正确；对于石块乙，有hA2＝12gt'2，结合前面式子可得题型二与曲面相关联的平抛运动4.（多选）如图所示，竖直截面为半圆形的容器，O为圆心，AB为沿水平方向的直径。一物体在A点以向右的水平初速度vA抛出，与此同时另一物体在B点以向左的水平初速度vB抛出，两物体都落到容器的同一点P。已知∠BAP＝37°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力，下列说法正确的是（）A.B比A先到达P点B.两物体一定同时到达P点C.抛出时，两物体的速度大小之比为vA∶vB＝16∶9D.抛出时，两物体的速度大小之比为vA∶vB＝4∶1解析：BC两物体同时抛出，都落到P点，由平抛运动规律可知，两物体下落了相同的高度，由h＝gt22解得t＝2hg，可知两物体同时到达P点，A错误，B正确；在水平方向上，抛出的水平距离之比等于初速度之比，如图所示，设圆的半径为r，由几何关系得xAM＝2rcos237°，xBM＝2rsin237°，则xAM∶xBM＝16∶9，故vA∶vB＝16∶9，5.（多选）如图所示，在水平放置的半径为R的圆柱体的正上方P点，将一个小球以速度v0沿垂直于圆柱体轴线方向水平抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q点沿切线方向飞过，测得该截面的圆心O与Q点的连线与竖直方向的夹角为θ，那么小球从P运动到Q所用的时间是（）A.t＝Rsinθv0C.t＝2Rtanθsinθ解析：ABD如图所示，小球在水平方向上做匀速运动，水平位移x＝Rsinθ＝v0t，得t＝Rsinθv0，A正确；小球到达Q点时竖直分速度vy＝gt＝v0tanθ，得t＝v0tanθg，B正确；小球从圆柱体的Q点沿切线飞过，故小球在Q点的速度方向垂直于半径OQ，在Q点的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，设小球通过Q点时其竖直分位移为y，则y＝x2tanθ＝12Rsinθtanθ，又有y＝12gt2题型三平抛运动中的临界极值问题6.如图所示，排球比赛中，某队员在距网水平距离为4.8m、距地面3.2m高处将排球沿垂直网的方向以16m/s的速度水平击出。已知网高2.24m，排球场地长18m，重力加速度g取10m/s2，可将排球视为质点，下列判断正确的是（）A.球不能过网B.球落在对方场地内C.球落在对方场地底线上D.球落在对方场地底线之外解析：B由题意可得，排球恰好到达网正上方的时间为t＝xv＝0.3s，此时间内排球下降的高度为h＝12gt2＝0.45m，因为Δh＝3.2m－2.24m＝0.96m＞0.45m，所以球越过了网，且落地时间为t'＝2h'g＝0.8s，则落地的水平位移为x'＝vt'＝12.8m，因为击球点到对方底线间的距离为x″＝4.8m＋9m＝7.（多选）康杰中学举办的“学雷锋集爱心”义卖活动中，有班级设置了套圈游戏，如图所示。某同学从距水平地面高度1m处水平抛出一个半径为0.1m的圆环，套前方地面上的水杯，假设圆环运动过程始终保持水平，圆环中心到水杯的水平距离为3.0m，水杯高度为0.2m，水杯大小忽略不计。重力加速度g＝10m/s2（忽略空气阻力），要想套住水杯，圆环刚抛出时的速度可能是（）A.7.6m/s B.7.7m/sC.7.8m/s D.7.9m/s解析：AB已知圆环的高度h1＝1m，圆环的半径为r＝0.1m，水杯的高度为h2＝0.2m，圆环中心到水杯的水平距离为x＝3m，根据自由落体运动规律可知h1－h2＝12gt2，解得t＝0.4s，当圆环右侧贴着水杯落下时，圆环抛出时的初速度有最小值，即x－r＝v1t，解得v1＝7.25m/s，当圆环左侧贴着水杯落下时，圆环抛出时的初速度有最大值，即x＋r＝v2t，解得v2＝7.75m/s，要使圆环套住地面上的水杯，圆环刚抛出时的速度大小的范围为7.25m/s＜v＜7.75m/s，故选A、B8.如图，倾角θ＝30°的斜面体ABC固定在水平面上，斜面AC长为L，在斜面中点D处立有一根竖直的细杆，从斜面顶端A点水平抛出一个小球，小球刚好能越过竖直细杆并落在斜面的底端C。不计空气阻力，小球可视为质点，则细杆的长度为（）A.18L B.16LC.15L解析：A设小球的初速度为v0，从抛出到落在斜面的底端C的时间为t，则根据平抛运动规律有12gt2＝AB＝L2，v0t＝BC＝32L，设当小球运动到细杆上方时，运动时间为t'，下降高度为H，则有v0t'＝BC2＝34L，12gt'2＝H，联立得到H＝L8，D点到水平面的高度为H'＝12AB＝L4，所以细杆的长度H杆＝AB－9.如图所示，a、b两小球分别从半径大小为R的半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面斜边长是其竖直高度的2倍，a、b均可视为质点，结果a、b两球同时分别落在半圆轨道和斜面上，则小球的初速度大小为（重力加速度为g，不计空气阻力）（）A.2gR B.C.23gR解析：Ba、b两球以相同的初速度平抛，同时分别落在半圆轨道和斜面上，可知两小球在竖直方向和水平方向的位移大小相等，在左侧作一个对称的三角形，三角形斜边与圆弧有一交点，该交点与抛出点之间竖直方向的距离与水平方向的距离就是小球做平抛运动的竖直位移大小和水平位移大小，分别设为y和x，并设小球从抛出到落到斜面上所用时间为t，如图所示，根据题意可知θ＝30°，再由几何关系可得y＝Rsin2θ＝12gt2，x＝R＋Rcos2θ＝v0t，联立解得t＝3Rg，v0＝3310.（多选）主题口号为“一起向未来”的2022年北京冬奥会圆满落幕。跳台滑雪比赛在河北张家口举行，如图，跳台滑雪赛道由助滑道AB、着陆坡CD、停止区DE三部分组成。比赛中，甲、乙两运动员先后以速度v1、v2从C点正上方B处沿水平方向飞出，分别落在了着陆坡的中点P和末端D，运动员可看成质点，不计空气阻力，着陆坡的倾角为θ，重力加速度为g，则（）A.甲运动员从B点飞出到距离斜面最远所需要的时间t＝vB.v1、v2的大小关系为v2＝2v1C.甲、乙两运动员落到着陆坡前瞬间速度方向相同D.甲运动员落到着陆坡前瞬间速度方向与水平方向的夹角比乙