初中几何证明题库：矩形

初中几何证明题库：矩形

例&如图，已知矩形纸片ABCD,AD=2,AB=4.将

纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折

痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于

点0.

(1)如图L求证：A,G,E,F四点围成的四

边形是菱形；

(2)如图2,当4AED的外接圆与BC相切于点

N时，求证：点N是线段BC的中点；

(3)如图2,在(2)的条件下，求折痕FG的

长.

【答案】解：(1)由折叠的性质可得，GA=GE,

ZAGF=ZEGF,

VDC//AB,AZEFG=ZAGFo

・•・ZEFG=ZEGFoEF=EG=AG。

.工四边形AGEF是平行四边形

(EF/7AG,EF=AG)O

XVAG=GE,工四边形AGEF

是菱形。

(2)连接ON,

•••△AED是直角三角形，AE是

斜边，点。是AE的中点，

△AED的外接圆与BC相切于点N,

A0N±BCo

・・•点0是AE的中点，JON是

梯形ABCE的中位线。

・••点N是线段BC的中点。

(3)VOE.ON均是4AED的外接圆的

半径,A0E=0A=0N=2o.*.AE=AB=4o

在Rtz!\ADE中，AD=2,AE=4,

/.ZAED=30°o

在RtAOEF中，0E=2,

ZAED=30°,：・OF=空。；・FG=2OF=迪。

33

【考点】翻折变换(折叠问题)，折叠对称的性

质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函

数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】（1）根据折叠的性质判断出AG=GE,

ZAGF=ZEGF,再由CD〃AB得出

ZEFG=ZAGF,从而

判断出EF=AG,得出四边形AGEF是平行四边形,

从而结合AG=GE,可得出结论。

（2）连接ON,则ON±BC,从而判断出

ON是梯形ABCE的中位线，从而可得出结论。

（3）根据（1）可得出AE=AB,从而在

RtAADE中，可判断出NAED为30°,在

RtAEFO中求

出F0,从而可得出FG的长度。

8.依次连接一矩形场地ABCD的边AB、BC、CD、

DA的中点E、F、G、H,得到四边形EFGH,M为

边EH的中点，点P为小明在对角线EG上走动的

位置，若AB=10米，BC=io百米，当PM+PH的和为

最小值时，EP的长为▲。

10.如图,在矩形ABCD中,AD=4cm,AB=m(m>4),

点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合）,

连接PD,过点P作PQLPD,交直线BC于点Q.

(1)当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C

重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，

说明理由；

(2)连接AC,若PQ〃AC,求线段BQ的长(用

含m的代数式表示)；

(3)若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D

为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系

式，并写出m的取值范围.

1.已知长方形ABCD,AB=3cm,AD=4cm,过对角

线BD的中点。做BD的垂直平分线EF,分别交

AD、BC于点E、F,则AE的长为▲.

A-----4------------KD

B

FC

例2.如图,在矩形ABCD中,AD>AB,将矩形ABCD

折叠，使点C与点A重合，折痕为MN,连

结CN.若4CDN的面积与4CMN的面积比为

1：4,则黑的值为【

BM1

A.2B.4C.245D.2庭

【答案】Do

【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，

矩形、菱形的判定和性质，勾股定理。

【分析】过点N作NG±BC于G,由四边形ABCD

是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的

性质，可得四边形AMCN是菱形，由4CDN的面

积与4CMN的面积比为1：4,根据等高三角形的

面积比等于对应底的比，可得DN：CM=1：4,然

后设DN=x,由勾股定理可求得MN的长，从而求

得答案：

过点N作NG_LBC于G,

V四边形ABCD是矩形，・•・四边形CDNG

是矩形，ADZ/BCo

ACD=NG,CG=DN,ZANM=ZCMNO

由折叠的性质可得：AM=CM,

ZAMN=ZCMN,AZANM=ZAMNO

.\AM=ANor.AM=CM,工四边形AMCN是平

行四边形。

VAM=CM,J四边形AMCN是菱形。

VACDN的面积与aCMN的面积比为1：

4,Z.DN：CM=1：4o

设DN=x,则AN=AM=CM=CN=4x,AD=BC=5x,

CG=Xo.*.BM=x,GM=3xo

在RtZ\CGN中，NG=JCN2_CG2=/4x)2_x2=Ax,

在RtAMNG中,

MN=A/GM2+NG2=J(3x『+(/=2瓜，

・・・任=巫=2«。故选D。

BMx

例L如图,在矩形ABCD中，点E,F分别在BC,

CD上，将AABE沿AE折叠，使点B落在AC上的

点B，处，又将4CEF沿EF折叠，使点C落在

EB'与AD的交点C'处.则BC：AB的值为

【答案】瓜

【考点】翻折变换(折叠问题)，折叠的性质，矩形的性质，平行的性质，等腰三角形的性质，全等三角

形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值.

【分析联接CCS...将△ABE沿AE折裳，使点B落在AC上的点B处,

又将沿EF折叠，使点C落在EB与AD的交点C处，

.,.EC=EC,,.•.ZEC;C=ZECC,,

,/ZDC/C=ZECC,,.,.NEC'C=NDC'C.

，CC是NEC'D的平分线.

,/ZCB,C;=ZD=90%CC=C'C,/.ACB,C^ACDC/(AAS)./.CB'=CD.

又•.,AB，=AB,「.B是对角线AC中点，SPAC=2AB..,.ZACB=30°.

.,.tanZACB=tan300=—=4=./.BC：AB=/.

BCA

例3.如图所示，现有一张边长为4的正方形纸

片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点

A、点D重合)将正方形纸片折叠，使点B落在

P处，点C落在G处，PG交DC于H,折痕为EF,

连接BP、BH.

(1)求证：NAPB二NBPH；

(2)当点P在边AD上移动时，的周长是

否发生变化？并证明你的结论；

(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出

S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？

若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理

由.

【答案】解：（1）如图1,VPE=BE,AZEBP=ZEPB.

又「NEPH=NEBC=90°,

JZEPH-ZEPB=ZEBC-

ZEBP,即NPBONBPH。

又VAD〃BC,・・・ZAPB=ZPBC。

JZAPB=ZBPHo

(2)APHD的周长不变为定值8o

证明如下:

如图2,过B作BQ_LPH,垂足

为Q。

由(1)知NAPB=NBPH,

又YNA=NBQP=90°,BP=BP,

/.△ABP^AQBP(AAS)o

AAP=QP,AB=BQO

XVAB=BC,ABC=BQO

又VZC=ZBQH=90°,BH=BH,

/.△BCH^ABQH(HL)o.\CH=QHo

•••△PHD的周长为：

PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。

$图3C

(3)如图3,过F作FM_LAB,垂足

为M,贝!|FM=BC=AB。

又・・・EF为折痕，.\EF±BPO

:.NEFM+NMEF=NABP+NBEF二

90°oZEFM=ZABPO

XVZA=ZEMF=90°,AB=ME,

.,.△EFM^ABPA(ASA)o

.\EM=AP=x.

・••在RSAPE中，(4-BE)

222

+X=BE,即BE=2+-O

8

•x2

••CF=BE—EM=2+——xo

8

又•・•四边形PEFG与四边形

BEFC全等，

S=g.(BE+CF).BC=g14++x卜=#—2x+8=g(x—2)2+6。

,•*0<|<4f・••当x=2时，S有最

小值6。

【考点】翻折变换(折叠问题)，正方形的性质,

折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定

理，二次函数的最值。

【分析】(1)根据翻折变换的性质得出

ZPBC=ZBPH,进而利用平行线的性质得出

ZAPB=ZPBC即可得出答案。

(2)先由AAS证明△ABPg/kQBP,从而

由HL得出△BCHWABQH,即可得CH二QH。因此,

△PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8

为定值。

(3)利用已知得出△EFMgZ\BPA,从而

利用在RtAAPE中，(4-BE)2+x2=BE2,利用二

次函数的最值求出即可。

4.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠

放，重叠部分是一个四边形ABCD,若AD

=6cm,ZABC=60°,则四边形ABCD的面

积等于▲cm?.

例2.如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=4,AC的垂

直平分线EF交AD于点E、交BC于点F,贝！|EF=

【答案】有。

【考点】线段垂直平分线的性质，矩形的性质,

相似三角形的判定和性质，勾股定理;.

【分析】连接EC,AC、EF相交于点0。

VAC的垂直平分线EF,.\AE=ECo

•・•四边形ABCD是矩形，

AZD=ZB=90°,AB=CD=2,AD=BC=4,

AD〃BC。

.,.△AOE^ACOFo・,•丝=%。

OCOF

V0A=0C,.e.OE=OF,即EF=20E。

在RtACED中，由勾股定理得：

CE2=CD2+ED2,BPCE2=(4-CE)2+22,解

得：CE=>

•・•在RtAABC中，AB=2,BCM,由勾

股定理得：AC-褥，・・・co=逐。

•・♦在RtZkCEO中，C0=^5,CE=|,由勾

股定理得：EO=fo.\EF=2E0=^5O

例3.已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在

平面直角坐标系中，点A(11,0),点B(0,6),

点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合),

经过点0、P折叠该纸片，得点B，和折痕0P.设

BP=t.

(I)如图①，当NB0P=30°时，求点P的坐标;

(II)如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C

落在直线PB，上，得点O和折痕PQ,若AQ=m,

试用含有t的式子表示m；

(III)在(II)的条件下，当点C，恰好落在边

0A上时，求点P的坐标(直接写出结果即可).

【答案】解：（I）根据题意，Z0BP=90°,0B=6o

在RtAOBP中,由

ZB0P=30°,BP=t,得OP=2t。

V0P2=0B2+BP2,即（2t）

222

=6+t,解得：ti=2^,t2=—2^（舍去）.

・••点P的坐标为（26,6）o

（II）VA0B,P、△QC,P分别

是由△OBP、△QCP折叠得到的，

,△OB'P^AOBP,

△QC'Pg△QCP。

・・・N0PB,=Z0PB9

ZQPCZ=ZQPCo

VZOPB,+NOPB+NQPC，

+ZQPC=180°,AZ0PB+ZQPC=90°。

VZB0P+Z0PB=90°,

・•・ZB0P=ZCPQo

又VZ0BP=ZC=90°,

.,.△OBP^APCQo・•・%=空。

PCCQ

由题意设BP=t,AQ=in,

BC=11,AC=6,则PC=11—t,CQ=6-m.

・•・—。・—（0

11—t6-m66

<t<ll）o

（III）点P的坐标为（£姮，6）或

（三，6）

3o

【考点】翻折变换（折叠问题），坐标与图形性

质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似

三角形的判定和性质。

【分析】（I）根据题意得，Z0BP=90°,0B=6,

在RtZkOBP中,由NB0P=30。,BP=t,得OP=2t,

然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可

求得答案。

(II)由aOB'P、AQC7P分别是由

△OBP、Z\QCP折叠得到的，可知△OB，P^AOBP,

△QC，P^AQCP,易证得△OBPsapcQ,然后由

相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。

(III)首先过点P作PE±OA于E,易

证得△PC'E^AC7QA,由勾股定理可求得C，Q

的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与

m42.Ut+6,即可求得t的值:

66

过点P作PE±OA于E,

/.ZPEA=ZQAC,=90°。

・・・NPC'E+NEPC，=90°o

VZPCfE+NQC'A=90°,

AZEPC,=ZQCfAo

.'•△PC'E^ACfQAo・・・庄=叱。

ACCQ

':PC'=PC=ll-t,PE=0B=6,AQ=m,

C'Q=CQ=6-m,

•'AC="CQ2—AQ2=436-12mo

•611-t

••..==-------o

736-12m6-m

••6t曰口611-t966

•=9口尸-=9••.E-9

11-t6-mt6-m^36-12mt

即36-12m=t2o

将2呆一,+6代入，并化简，得

66

3t222t+36=0o解得：「空”咛。

・••点P的坐标为（生普，6）或

（二，6）

3o

5.有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的

2倍，如图。将这两张纸条交叉重叠地放在

一起，重合部分为四边形ABCD,则AB与BC

的数量关系为▲.

例1.如图，矩形ABCD中,E是AD的中点，将4ABE

沿BE折叠后得到AGBE,延长BG交CD于F点,

若CF=1,FD=2,则BC的长为【】

A.372B.2屈C.2y/5D.2世

【答案】Bo

【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质和

判定，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性

质，勾股定理。

AED

【分析】过点E作EM±BC于M,交BF于N。

・・•四边形ABCD是矩形，

AZA=ZABC=90°,AD=BC,

VZEMB=90°一••四边形ABME是矩形。

AAE=BM,

由折叠的性质得：AE=GE,

ZEGN=ZA=90°,.\EG=BMo

■:ZENG=ZBNM,AAENG^ABNM

(AAS)o.*.NG=NMo

・・・E是AD的中点，CM=DE,

/.AE=ED=BM=CMo

VEM/7CD,ABN：NF=BM：CMOABN=NFO

.\NM=lCF=lo/.NG=1

222O

,:BG=AB=CD=CF+DF=3,:.BN=BG-NG=3

-L".\BF=2BN=5

22

BC=A/BF2-CF2=A/52-12=2A/6O故选B。

例2.如图，点D是AABC的边AB的延长线上一

点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重

合）.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF,

又APBE（点P、E在直线AB的同侧），如果

BD」AB,那么aPBC的面积与aABC面积之比

4

为II

A.1B.3C.1

455

D.3

4

【答案】Do

【考点】平行四边形的判定和性质。

A

D

5C

DE

【分析】过点P作PH〃BC交AB于H,连接CH,

PF,PEo

VAP^BE,・・・四边形APEB是平行四边

形。APE^ABo,

・・•四边形BDEF是平行四边形，

AEF^BDo

・・・EF〃AB。AP,E,F共线。

设BD=a,

BD=-ABj.*.PE=AB=4a/.PF=PE-

4o

EF=3ao

PH//BC,•••SAHBC=SAPBCO

,:PF〃AB,・•・四边形BFPH是平行四边

形。.\BH=PF=3ao

SAHBCJSAABC=BH：AB—3a：4a—3：4,

SAPBC!SAABC=3：4O故选D。

例3.如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接

PA、PB、PC、PD,得到APAB、△PBC、APCD>

△PDA,设它们的面积分别是Si、S2>S3、S4,给

出如下结论：

①S1+S26+S4②S2+S4=S1+

S3

I

③若S3=2S,贝！1S4=2S2④右Si—S2,

则P点在矩形的对角线上

其中正确的结论的序号是▲（把所有正

确结论的序号都填在横线上）.

【答案】②④。

【分析】如图，过点P分别作四个三角形的高，

VAAPD以AD为底边，Z\PBC以BC为

底边,

・・・此时两三角形的高的和为AB,

.*.S1+S3=1S矩形ABCD；

同理可得出S2+S4和S矩形ABCD。

，②S2+S4=S1+S3正确,则①S1+S2=S3+S4

错误。

若S3=2S”只能得出4APD与APBC高

度之比,S,不一定等于2s2；故结论③错误。

如图，若Si=S2,则

1XPFXAD=1XPEXAB,

22

,△APD与4PBA高度之比为：PF：PE

=AB：ADo

VZDAE=ZPEA=ZPFA=90°，，四边形

AEPF是矩形，

・•・矩形AEPFs矩形ABCDO连接ACo

/.PF：CD=PE：BC=AP：AC,

即PF：CD=AF：AD=AP：AC。

AAAPF^AACDo/.ZPAF=ZCADO

点A、P、C共线。・・・P点在矩形的对角线上。

故结论④正确。

综上所述，结论②和④正确。

例6.如图(1),在矩形ABCD中，把NB、ND分

别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点

E、F处，折痕分别为CM、AN.

(1)求证：△ANDg^CBM.

(2)请连接MF、NE,证明四边形MFNE是平行四

边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？

(3)P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、

CQ、MN,如图(2)所示，若PQ=CQ,PQ〃MN。

且AB=4,BC=3,求PC的长度.

图(2)

【答案】(1)证明：•・,四边形ABCD是矩形，

AZD=ZB,AD=BC,AD〃BC。

・•・ZDAC=ZBCAo

又由翻折的性质，得NDAN=NNAF,

ZECM=ZBCM,ZDAN=ZBCMo

/.AAND^ACBM(ASA)O

(2)证明：VAAND^ACBM,.\DN=BMO

又由翻折的性质，得DN=FN,BM=EM,

/.FN=EMo

又ZNFA=ZACD+ZCNF=ZBAC+

ZEMA=ZMEC,

AFN/ZEMo/.四边形MFNE是平行四

边形。

四边形MFNE不是菱形，理由如下:

由翻折的性质，得NCEM=NB=90°,

・••在aEMF中，ZFEM>ZEFMo

/.FM>EMoJ四边形MFNE不是菱

形。

.\AC=5o

设DN二X,则由SaADC二S2XANc+SaNAC得

3x+5x=12,解得x=|,即DN=BM=|o

过点N作NH±AB于H,则HM=4-

3=1o

在△NHM中，NH=3,HM=1,

由勾股定理，得NM二师。

VPQ/7MN,DC/7AB,

・•・四边形NMQP是平行四边形。

**.NP=MQ,PQ=NM=9。

又■:PQ=CQf•CQ—\4oo

在△CBQ中，CQ=痴，CB=3,由勾股

定理,得BQ=1。

.\NP=MQ=lo.\PC=4-3-l=2o

222

【考点】翻折问题，翻折的性质，矩形的性质，

平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四

边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理。

【分析】(1)由矩形和翻折对称的性质，用ASA

即可得到△AND^ACBMo

(2)根据一组对边平行且相等的四边

形是平行四边形的判定即可证明。

(3)设DN=x,则由SAADC=SAAND+SANAC

可得DN=BM=|o过点N作NH±AB于H,则由勾股

定理可得NM二同，从而根据平行四边形的性质和

已知PQ=CQ,即可求得CQ二厢。因此，在△CBQ

中，应用勾股定理求得BQ=1。从而求解。

例2.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长

为18cm,在杯内离杯底4cm的点

C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，

离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁

到达蜂蜜的最

短距离为▲cm.

蚂蚁/

C逢蜜

【答案】15。

【考点】圆柱的展开，矩形的性质，轴对称的性

质，三角形三边关系，勾股定理。

4：\

【分析】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直

剖开）后侧面是一个长18宽12的矩形，作点A

关于杯上沿MN的对称点B,连接BC交MN于点P,

连接BM,过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。

由轴对称的性质和三角形三边关系知

AP+PC为蚂蚁到达蜂蜜

的最短距离，且AP=BP。

由已知和矩形的性质，得DC=9,