浙江省宁波市余姚市实验学校2022-2023学年九上期末数学试题（解析版）

2022学年第一学期余姚市实验学校九年级期末数学试卷一、选择题（每题4分，共48分）1.若，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据比例式，设a=5k，b=8k，代入分式，即可求解．【详解】解：∵，∴设a=5k，b=8k，（k≠0），∴=，故选A．【点睛】本题主要考查比例式的性质，掌握设k值法是解题的关键．2.下列说法正确的是（）A.“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是不可能事件B.“两直线被第三条直线所截，同位角相等”是必然事件C.天气预报说“明天降水概率为”，表示明天有的时间都在降雨D.“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件【答案】D【解析】【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及概率定义分别进行分析，即可得出答案．【详解】A、打开电视机，正在播放《新闻联播》，这个事件可能发生，也可能不发生，是不确定事件，故本选项错误；

B、两直线被第三条直线所截，同位角相等是不确定事件，故本选项错误；

C、天气预报说“明天的降水概率为只是反映了事件发生的机会的大小，不是发生的时长，故本项错误；

D、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，故本选项正确．

故选D．【点睛】本题考查了随机事件、全面调查与抽样调查、概率定义，解题关键是根据事件包括必然事件和不可能事件以及概率定义进行分析．3.对于二次函数y=（x-1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A.开口向下 B.当x=-1,时，y有最大值是2 C.对称轴是x=-1 D.顶点坐标是（1,2）【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的性质对各选项进行判断.【详解】A、由二次函数的解析式y＝（x＋1）2＋2，可知系数＞1，故函数图像开口向上.故A项错误；B、将x＝﹣1代入解析式，得到y＝6，故B项错误；C、由二次函数的顶点式y＝（x＋1）2＋2可知对称轴为x＝1，故C项错误；D、函数的顶点式y＝（x＋1）2＋2可知该函数的顶点坐标是（1,2），故D项正确.故选D.【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，理解二次函数的顶点式是解答此题的关键.4.如图，已知，，那么下列结论中，正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理求解．【详解】解：∵，，∴，故A选项正确；，故B选项错误；的值无法确定，故C选项错误；的值无法确定，故D选项错误；故选A．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题关键是掌握：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．5.如图，点在上，是的直径，若，则的度数为（）A.25° B.50° C.65° D.75°【答案】C【解析】【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得，利用直角三角形两锐角互余得到，根据同弧所对的圆周角相等即可求解．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，根据直径所对的圆周角是直角得到是解题的关键．6.点是的重心，过点画分别交于点，则与的面积之比是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】延长AG交BC于由G是的重心，推出AG：：1，推出AG：：3，由，推出∽，，可得，即可解决问题．【详解】解：延长AG交BC于H．

是的重心，

：：1，

：：3，

，

∽，，

，

故选C．【点睛】本题考查三角形的重心，平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.下列命题：①三点确定一个圆；②三角形的外心到三边的距离相等；③相等的圆周角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦.其中假命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根据确定圆的条件、三角形的外心的性质、圆周角定理、垂径定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①不在同一直线的三点确定一个圆，故①错误；

②三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故②错误；

③在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，故③错误；

④平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故④错误.

故选D．【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是了解确定圆的条件、三角形的外心的性质、圆周角定理、垂径定理等知识．8.如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A.608 B.608 C.64 D.68【答案】D【解析】【分析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，在Rt△AEC中，AC＝60cm，∠PCA＝30°，可求AE，由对称性可知：BF＝AE，通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB即可．【详解】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，∵AC＝60cm，∠PCA＝30°，∴AEAC＝30（cm），由对称性可知：BF＝AE，∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB＝60+8＝68（cm）．故选择：D．【点睛】本题考查闸机的最大宽度，关键抓住两翼可以三角形处理，利用30°三角形解决问题．9.如图，抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】先求出点A（-3，0），点B（1，0），由点B为中心对称，求出点C（5，0），把抛物线配方为顶点式可得D（－1，－4a），点D与点D′关于点B对称，D′（3，4a），DD′，CD=，CD′=，由△CDD′是直角三角形，分两种情况，当∠CD′D=90°，∠DCD′=90°时利用勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：∵抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，∴∵a＞0解得∴点A（-3，0），点B（1，0），∵点B为中心对称，∴点C的横坐标为：1+（1+3）=5，∴点C（5，0），∴抛物线，∴D（－1，－4a），点D与点D′关于点B对称，点D′的横坐标为1+（1+1）=3，纵坐标为4a，∴D′（3，4a），DD′=，CD=，CD′=，∵△CDD′是直角三角形，当∠CD′D=90°，根据勾股定理，CD′2＋DD′2＝CD2，即，解得，∵a＞0，∴；当∠DCD′=90°，根据勾股定理，CD′2＋CD2＝DD′2，即，解得，∴，∴综合得a的值为或．故答案选：A．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质，掌握待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质是解题关键．10.如图，是锐角的外接圆，直径平分交于E,EF⊥AB于，于，连结，要求四边形面积，只需知道下列选项中某个三角形的面积，则这个三角形是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】连接CD，根据圆周角定理得∠ACD=90°，推出，根据同底等高的三角形的性质得到，从而得到，由轴对称的性质得到四边形AFDG的面积=．【详解】解：已知的面积．连接CD，∵AD是的直径，∴∠ACD=90°，∵EG⊥AC，∴∠AGE=∠ACD=90°，∴，∴△DEG与△CEG是同底等高的三角形，∴，∴，∴，∵直径平分，∴四边形AFDG关于AD对称，△ABC关于AD对称，∴四边形AFDG的面积=，，∴四边形AFDG的面积=，故选：C．

【点睛】此题考查了圆周角定理，轴对称的性质，同底等高三角形的性质，平行线的判定及性质，熟记同底等高三角形的性质得出是解题的关键．二、填空题（每题5分，共30分）11.正六边形的每个内角等于______________°．【答案】120【解析】【详解】解：六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°，∴正六边形的每个内角为：，故答案为：12012.创“平安余姚”是我们每个余姚人的愿望，某小区在摸彩球活动中，将质地大小完全相同，上面标有“平”“安”“余”“姚”的四个彩球放入同一个袋子，某居民在袋子中随机摸出一个彩球后不放回，再摸出一个，摸出的两个彩球能拼成“平安”的概率是___________．【答案】【解析】【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．详解】解：列表如下：平安余姚平安平余平姚平安平安余安姚安余平余安余姚余姚平姚安姚余姚由表可知共有12种等可能结果，其中摸出的两个彩球能拼成“平安”的有2种结果，所以摸出的两个彩球能拼成“平安”的概率为：，故答案为：．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13.如图，矩形中，，剪去一个矩形后，余下的矩形矩形，则的长为___________．【答案】【解析】【分析】根据相似多边形的性质得，即，然后利用比例性质求出即可．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵四边形是矩形，∴，∵余下的矩形矩形，∴，即，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解决本题的关键是掌握如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．14.二次函数的图象如图所示，有以下结论:①；②；③；④若点和在该图象上，则，其中正确的结论是___________（填序号）．【答案】②③④【解析】【分析】抛物线经过原点推出，可得①错误，根据时，，可以判定②正确，根据对称轴公式，可得③正确，根据对称性，可知点和关于对称轴对称，推出，可得④正确．【详解】解：观察图象可知，,故①错误,时,,,故②正确,对称轴，故③正确点和关于对称轴对称,,故④正确，故答案为：②③④【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15.如图，点B、E、C在一直线上，在直线同侧，，，当时，外接圆的半径为___________．【答案】【解析】【分析】如图，过点B作于H，过点C作交的延长线于O，过点O作于T．证明点O是的外心，求出即可．【详解】解：如图，过点B作于H，过点C作交的延长线于O，过点O作于T．∵，∴垂直平分线段，∵，∴垂直平分线段，∴点O是的外心，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴的外接圆的半径为，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的外心、等腰三角形的性质和勾股定理的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．16.如图，点A在半径为2的内，，P为上一动点，当取最大值时，的度数为___________的长等于___________．【答案】①.##30度②.【解析】【分析】过作，由正弦的定义可得，因为是定值，当最大时，则最大，勾股定理求得此时的即可．【详解】解：过作，如图，，，是定值，当最大时候，取得最大值，即，∴，∴，此时，，由勾股定理可得．故答案为：，．【点睛】本题考查了正弦的定义，圆的基本性质，勾股定理，根据正弦求得最大值时候的长度是解题的关键．三、解答题（第17-19题每题8分，第20-22题每题各10分，第23题12分，第24题14分）17.（1）计算:．（2）解方程:．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解；（2）根据配方法解一元二次方程即可求解．【详解】解：（1）；（2），，，，解得：．【点睛】本题考查了求特殊角的三角函数值，解一元二次方程，熟知特殊角三角函数值以及配方法解方程是解题的关键．18.面对新冠疫情，衢州教育人同心战“疫”因有不少师生居家健康监测，无法到校工作、学习，各校师生通过“云端”相连，停课不停教，停课不停学．某校在疫情期间教学方式主要包括直播授课、录播投课、自主学习、在线答疑四种形式．为了了解学生的需求，该校随机对部分学生进行了“你对哪种教学方式最感兴趣”的调查（每人只选其中的一种），并根据调查结果绘制成如下图所示的统计图．（1）本次调查的人数是人；（2）请补全条形统计图；（3）明明和强强参加了此次调查，均选择了其中一种教学方式，求明明和强强选择同一种教学方式的概率．【答案】（1）80（2）图形见解析（3）【解析】【分析】（1）根据录播授课的人数和所占的百分比求出调查的总人数即可；（2）用总人数减去其它方式的人数求出自主学习的人数，补全条形统计图即可；（3）画树状图，共有16种等可能情况，其中明明和强强选择同一种教学方式的结果有4种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】解：本次调查的人数有（人），故答案为：80；【小问2详解】解：自主学习的人数有：（人），补全条形统计图如下：【小问3详解】解：把直播授课、录播授课、自主学习、在线答疑四种形式分别记为、、、，画树状图如下：共有16种等可能情况，其中明明和强强选择同一种教学方式的结果有4种，明明和强强选择同一种教学方式的概率为．【点睛】本题考查了树状图法以及条形统计图和扇形统计图，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题的关键是要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．19.我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，达到了发射技术新高度．如图，运载火箭海面发射站点M与岸边雷达站N处在同一水平高度．当火箭到达点A处时，测得点A距离发射站点M的垂直高度为9千米，雷达站N测得A处的仰角为，火箭继续垂直上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角为，根据下面提供的参考数据计算下列问题∶（1）求火箭海面发射站点M与岸边雷达站N的距离；（2）求火箭所在点B处距发射站点M处的高度．（参考数据∶，，，，，）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据，，即可解得．（2），，即可解得．【小问1详解】∵，，∴．【小问2详解】∵，，∴【点睛】此题考查了三角函数值，解题的关键是构造直角三角形，计算要准确．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x的图象与二次函数y=-x2+bx（b为常数）的图象相交于O，A两点，点A坐标为（3，m）．（1）求m的值以及二次函数的表达式；（2）若点P为抛物线的顶点，连结OP，AP，求△POA的面积．【答案】（1）m的值为3，二次函数的表达式为：y=-x2+4x；（2）△POA的面积为3．【解析】【分析】（1）把点A的坐标为（3，m）代入y=x可求出m的值，然后再把A点坐标代入二次函数表达式即可解答；（2）过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交OA于点D，然后把△OPD的面积与△APD的面积相加即可．【小问1详解】解：把点A坐标为（3，m）代入一次函数y=x中可得：m=3，∴A（3，3），把点A坐标为（3，3）代入二次函数y=-x2+bx中可得：3=-9+3b，解得：b=4，∴y=-x2+4x，答：m的值为3，二次函数的表达式为：y=-x2+4x；【小问2详解】解：过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交OA于点D，过点A作AE⊥PC，垂足为E，∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，∴顶点P（2，4），把x=2代入y=x中得：y=2，∴D（2，2），∴PD=4-2=2，∵△POA的面积=△OPD的面积+△APD的面积，∴△POA的面积=PD•OC+PD•AE=PD（OC+AE）=×2×3=3，答：△POA的面积为3．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，正比例函数的图象，把△POA的面积分成△OPD的面积与△APD的面积之和是解题的关键．21.已知，如图，直线交于A，B两点，是直径，平分交于D，过D作于E．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)连接，根据平行线的判定与性质可得，又点D在上，即可证得是的切线；(2)首先根据勾股定理可得的长，再由，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．【小问1详解】证明：如图：连接，，，平分，，，，，，即，又点D在上，为的半径，是的切线；【小问2详解】解：，，，，如图：连接，是直径，，，，得，解得，的半径为．【点睛】本题考查圆了切线的判定，等边对等角，平行线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，在圆中学会正确添加辅助线是解决问题的关键．22.自2020年3月开始，我国生猪、猪肉价格持续上涨，某大型菜场在销售过程中发现，从2020年10月1日起到11月9日的40天内，猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示：猪肉的进价与上市时间的关系用图2的一段抛物线表示．（1）________；（2）求图1表示的售价与时间的函数关系式；（3）问从10月1日起到11月9日的40天内第几天每千克猪肉利润最低，最低利润为多少？【答案】（1）；（2）；（3）当20天或40天，最小利润为10元千克【解析】【分析】（1）把代入可得结论；（2）当时，设，把，代入；当时，设，把，代入，分别求解即可；（3）设利润为，分两种情形：当时、当时，利用二次函数的性质分别求解即可．【详解】解：（1）把代入，得到，故答案为：．（2）当时，设，把，代入得到，解得，．当时，设，把，代入得到，解得，．综上所述，．（3）设利润为．当时，，当时，有最小值，最小值为10（元千克）．当时，，当时，最小利润（元千克），综上所述，当20天或40天，最小利润为10元千克．【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键从函数图象中获取信息，利用待定系数法求得解析式．23.如图1，已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点Q，点P为的中点，经过点A，P，B的圆的圆心为点M，点C为圆M优弧上的一个动点．（1）直接写出点P，A，B的坐标：P___________；A___________；B___________；（2）求的值；（3）将抛物线沿x轴翻折所得的抛物线交y轴与点D，若经过点D时，求线段的长；（4）若的中点为E，交翻折后的抛物线于点F，直接写出的最大值和此时点F的坐标．【答案】（1）；；（2）（3），（4），【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出A，B，Q的坐标即可解决问题．(2)如图1中，连接，设圆M的半径为r，利用勾股定理求出r，再证明即可解决问题(3)如图2中，连接，过点C作轴于H，证明，推出可得结论(4)