2024届河北省高三下学期考前提分演练（五）历史试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3湖北省新高考协作体2024届高三统一模拟考试数学试题(五)一、选择题1.数据20，24，6，7，13，14的第60百分位数是（）A.6 B.7 C.13 D.14〖答案〗D〖解析〗数据从小到大排序为6，7，13，14，20，24，又，所以第60百分位数应为第4个数14．故选：D．2.若集合．集合，则的真子集个数为（）A.3 B.4 C.31 D.32〖答案〗A〖解析〗由，即，解得，所以，由，即，解得，，所以，故的真子集个数为．故选：A．3.用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，其中是的中点，且轴，轴，，那么（）A B.2 C. D.4〖答案〗D〖解析〗根据题意，把直观图还原出原平面图形为等腰三角形，如图所示，其中，，，原平面图形的面积为.故选：D．4.已知函数则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，故选：5.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A.52 B.54 C.56 D.58〖答案〗C〖解析〗由等差数列的前项和为，可得也是等差数列，又，，所以的公差为1，所以，所以，所以.故选：C.6.椭圆的右顶点为，直线与椭圆交于A，B两点，直线PA，PB的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题可得，设，，则，又，则，，则，．故选：B.7.在平面直角坐标系中，已知圆，若正三角形一边为圆的一条弦，则的最大值为（）A.1 B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗如图，设，则，因为，所以，因为是正三角形，所以易知取最大值时，点与点在线段的异侧，此时，，在中，由余弦定理得，当且仅当，即时，等号成立，此时有最大值为2.故选：D．8.向量，满足，，且，不等式恒成立.函数的最小值为（）A. B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗作，，，因为不等式恒成立，则，即，从而有，故.设，，则.作点E关于直线OB的对称点F，，则，故选：C.二、选择题9.已知，则下列命题错误的是（）A.若，则 B.若，则C. D.若，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A．若复数，，满足，但这两个虚数不能比大小，选项错误；对于B．若，，则有，但，B选项错误；对于C．设，，则所以，C选项正确；对于D．令、，则，，所以，但是，D选项错误．故选：ABD．10.已知函数在上可导，且的导函数为．若，，为奇函数，则下列说法正确的有（）A.是奇函数 B.关于点对称C. D.〖答案〗AD〖解析〗对于A，由为奇函数，则，即，即得为常数，令，即得，则，故，即，则，结合，可得，故，故，即是奇函数，A正确；对于B：由为奇函数，则，则即的图象关于点对称，结合是R上的奇函数，故，如果关于点对称，则，而，矛盾，故B错误；对于C，由为奇函数，则，故为常数，令，则，则，C错误；对于D:由于，故，即，故4是的一个周期．是R上的奇函数，故，，结合得，，，故，故D正确．故选：AD．11.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点（点A在第一象限），与的等差中项为．抛物线在点A、B处的切线交于点M，过点M且垂直于y轴的直线与y轴交于点N，O为坐标原点，P为抛物线上一点，则下列说法正确的是（）A. B.的最大值为C.的最大值为 D.的最小值为16〖答案〗BCD〖解析〗显然当直线斜率不存在时不合题意，则设直线，与联立得．设，，则，，，．，因此，A选项错误．，B选项正确．,，切线，即，同理，联立解得，故．不妨设，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，则．当直线PN与抛物线相切时，最小．与联立，消去y得：，令，解得，则，故，C选项正确．，故，则，D选项正确．故选:BCD．三、填空题12.甲、乙两同学玩掷股子游戏，规则如下：（1）甲、乙各抛掷质地均匀的殿子一次，甲得到的点数为，乙得到的点数为；（2）若的值能使二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则甲胜，否则乙胜．那么甲胜的概率为______．〖答案〗〖解析〗由题意得，，记每个基本事件为，甲、乙各抛掷质地均匀的骰子一次，共有个基本事件，其中的展开式中只有第4项的二项式系数最大，当时，共有7项，其中只有第4项的二项式系数最大，当为其他值时，均不满足只有第4项的二项式系数最大，当时，共有，，，，5个基本事件满足要求，所以甲胜的概率为．故〖答案〗为：13.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______．〖答案〗〖解析〗由基本不等式，，则，又，故，即基本不等式必须取等，，，．故〖答案〗为：14.关于x的方程有实根，则的最小值为______．〖答案〗〖解析〗设方程的实根为，则，点是直线上任意一点，．设，，，在单调递减，在单调递增，从而，的最小值为．故〖答案〗为：四、解答题15.函数．（1）当时，证明：；（2）讨论函数的零点个数．（1）证明：当时，，所以，令得．当时，，单调递减；当时，，单调递增．从而，不等式得证．（2）解：令，则，．当时，，单调递增；当时，，单调递减．又，当时，；当时，．从而当时，无零点；当或时，有一个零点；当时，有两个零点．16.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，平面ABC，，，E，F分别为PA，PC的中点，平面BEF与平面ABC的交线为l．（1）证明：平面PBC；（2）直线l与圆O的交点为B，D，求三棱锥的体积；（3）点Q在直线l上，直线PQ与直线EF的夹角为，直线PQ与平面BEF的夹角为，是否存在点Q，使得？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．（1）证明：∵E，F分别为PA，PC的中点，∴．又平面，平面，∴平面ABC．又平面BEF，平面平面，∴．平面平面．又，，平面，∴平面，从而平面；（2）解：，由（1）得，从而，从而四边形ABCD为矩形．由于平面ABC，从而．（3）解：以为坐标原点，分别以，，的方向作为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，由于，设，则．，，设平面BEF的一个法向量，则，取由题意，，即，解得，从而符合题意的点存在，．17.若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，欧拉函数是指，对于一个正整数n，小于或等于n的正整数中与n互质的正整数（包括1）的个数，记作，例如，．（1）求，，；（2）设，，求数列的前项和；（3）设，，数列的前项和为，证明：，（1）解：1到6中与6互质的只有1和5，所以；1到中，被3整除余1和被3整除余2的数都与互质，所以；1到中，所有奇数都与互质，所以．（2）解：，从而．（3）证明：，从而，证毕．18.平面直角坐标系中，动点满足，点P的轨迹为C，过点作直线l，与轨迹C相交于A，B两点．（1）求轨迹C的方程；（2）求面积的取值范围；（3）若直线l与直线交于点M，过点M作y轴垂线，垂足为N，直线NA，NB分别与x轴交于点S，T，证明：为定值．（1）解：由题意可知：动点到定点的距离比到定点的距离大，且，从而点的轨迹为双曲线的右支．设双曲线方程为，则，，，轨迹C的方程为：．（2）解：直线l不与y轴垂直，设其方程为，与联立得：，，设，，则，，解得．设，则．由于在单调递减，则，故．（3）证明：与联立，得，．设，，由A，S，N三点共线，得，解得，同理有．，即ST的中点为，故为定值1．19.某农户购入一批种子，已知每粒种子发芽的概率均为0.9，总共种下n粒种子，其中发芽种子的数量为X．（1）要使的值最大，求n的值；（2）已知切比雪夫不等式：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意均有，切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布末知的情况下，对事件的概率作出估计．①当随机变量X为离散型随机变量，证明切比雪夫不等式（可以直接证明，也可以用下面的马尔科夫不等式来证明切比雪夫不等式）；②为了至少有的把握使种子的发芽率落在区间，请利用切比雪夫不等式估计农户种下种子数的最小值．注：马尔科夫不等式为：设X为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有．解：（1），由题意有，解得，由于为整数，故．（2）①证法1：设的分布列为，其中，，记，则对任意，．证法2：由马尔科夫不等式，得．②，则，．由题意，，即，，也即．由切比雪夫不等式，有，从而，，估计的最小值为45．湖北省新高考协作体2024届高三统一模拟考试数学试题(五)一、选择题1.数据20，24，6，7，13，14的第60百分位数是（）A.6 B.7 C.13 D.14〖答案〗D〖解析〗数据从小到大排序为6，7，13，14，20，24，又，所以第60百分位数应为第4个数14．故选：D．2.若集合．集合，则的真子集个数为（）A.3 B.4 C.31 D.32〖答案〗A〖解析〗由，即，解得，所以，由，即，解得，，所以，故的真子集个数为．故选：A．3.用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，其中是的中点，且轴，轴，，那么（）A B.2 C. D.4〖答案〗D〖解析〗根据题意，把直观图还原出原平面图形为等腰三角形，如图所示，其中，，，原平面图形的面积为.故选：D．4.已知函数则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，故选：5.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A.52 B.54 C.56 D.58〖答案〗C〖解析〗由等差数列的前项和为，可得也是等差数列，又，，所以的公差为1，所以，所以，所以.故选：C.6.椭圆的右顶点为，直线与椭圆交于A，B两点，直线PA，PB的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题可得，设，，则，又，则，，则，．故选：B.7.在平面直角坐标系中，已知圆，若正三角形一边为圆的一条弦，则的最大值为（）A.1 B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗如图，设，则，因为，所以，因为是正三角形，所以易知取最大值时，点与点在线段的异侧，此时，，在中，由余弦定理得，当且仅当，即时，等号成立，此时有最大值为2.故选：D．8.向量，满足，，且，不等式恒成立.函数的最小值为（）A. B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗作，，，因为不等式恒成立，则，即，从而有，故.设，，则.作点E关于直线OB的对称点F，，则，故选：C.二、选择题9.已知，则下列命题错误的是（）A.若，则 B.若，则C. D.若，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A．若复数，，满足，但这两个虚数不能比大小，选项错误；对于B．若，，则有，但，B选项错误；对于C．设，，则所以，C选项正确；对于D．令、，则，，所以，但是，D选项错误．故选：ABD．10.已知函数在上可导，且的导函数为．若，，为奇函数，则下列说法正确的有（）A.是奇函数 B.关于点对称C. D.〖答案〗AD〖解析〗对于A，由为奇函数，则，即，即得为常数，令，即得，则，故，即，则，结合，可得，故，故，即是奇函数，A正确；对于B：由为奇函数，则，则即的图象关于点对称，结合是R上的奇函数，故，如果关于点对称，则，而，矛盾，故B错误；对于C，由为奇函数，则，故为常数，令，则，则，C错误；对于D:由于，故，即，故4是的一个周期．是R上的奇函数，故，，结合得，，，故，故D正确．故选：AD．11.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点（点A在第一象限），与的等差中项为．抛物线在点A、B处的切线交于点M，过点M且垂直于y轴的直线与y轴交于点N，O为坐标原点，P为抛物线上一点，则下列说法正确的是（）A. B.的最大值为C.的最大值为 D.的最小值为16〖答案〗BCD〖解析〗显然当直线斜率不存在时不合题意，则设直线，与联立得．设，，则，，，．，因此，A选项错误．，B选项正确．,，切线，即，同理，联立解得，故．不妨设，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，则．当直线PN与抛物线相切时，最小．与联立，消去y得：，令，解得，则，故，C选项正确．，故，则，D选项正确．故选:BCD．三、填空题12.甲、乙两同学玩掷股子游戏，规则如下：（1）甲、乙各抛掷质地均匀的殿子一次，甲得到的点数为，乙得到的点数为；（2）若的值能使二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则甲胜，否则乙胜．那么甲胜的概率为______．〖答案〗〖解析〗由题意得，，记每个基本事件为，甲、乙各抛掷质地均匀的骰子一次，共有个基本事件，其中的展开式中只有第4项的二项式系数最大，当时，共有7项，其中只有第4项的二项式系数最大，当为其他值时，均不满足只有第4项的二项式系数最大，当时，共有，，，，5个基本事件满足要求，所以甲胜的概率为．故〖答案〗为：13.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______．〖答案〗〖解析〗由基本不等式，，则，又，故，即基本不等式必须取等，，，．故〖答案〗为：14.关于x的方程有实根，则的最小值为______．〖答案〗〖解析〗设方程的实根为，则，点是直线上任意一点，．设，，，在单调递减，在单调递增，从而，的最小值为．故〖答案〗为：四、解答题15.函数．（1）当时，证明：；（2）讨论函数的零点个数．（1）证明：当时，，所以，令得．当时，，单调递减；当时，，单调递增．从而，不等式得证．（2）解：令，则，．当时，，单调递增；当时，，单调递减．又，当时，；当时，．从而当时，无零点；当或时，有一个零点；当时，有两个零点．16.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，平面ABC，，，E，F分别为PA，PC的中点，平面BEF与平面ABC的交线为l．（1）证明：平面PBC；（2）直线l与圆O的交点为B，D，求三棱锥的体积；（3）点Q在直线l上，直线PQ与直线EF的夹角为，直线PQ与平面BEF的夹角为，是否存在点Q，使得？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．（1）证明：∵E，F分别为PA，PC的中点，∴．又平面，平面，∴平面ABC．又平面BEF，平面平面，∴．平面平面．又，，平面，∴平面，从而平面；（2）解：，由（1）得，从而，从而四边形ABCD为矩形．由于平面ABC，从而．（3）解：以为坐标原点，分别以，，的方向作为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，由于，设，则．，，设平面BEF的一个法向量，则，取由题意，，即，解得，从而符合题意的点存在，．17.若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，欧拉函数是指，对于一个正整数n，小于或等于n的正整数中与n互质的正整数（包括1）的个数，记作，例如，．（1）求，，；（2）设，，求数列的前项和；（3）设，，数列的前项和为，证明：，（1）解：1到6中与6互质的只有1和5，所以；1到中，被3整除余1和被3整除余2的数都与互质，所以；1到中，所有奇数都与互质，所以．（2）解：，从