人教版九年级数学上册《正多边形和圆》教学案

正多边形和圆（一）

素质教育目标

1.使学生理解正多边形概念：使学生了解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正多

边形；过圆的n等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是正多边形.

2,通过正多边形定义教学培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养

学生观察、猜想、推理、迁移能力.

3,向学生渗透“特殊------般”再“一般一一特殊”的唯物辩证法思想.

教学重点、难点、疑点及解决方法

1.重点：正多边形的定义；n等分圆周（n23）可得圆的内接正n边形和圆的外切正n

边形.

2.难点：对正n边形中泛指“n”的理解.

3.疑点及解决方法：揭示定理证明的思路和步骤，说明取n=5的特殊情况证明定理具

有代表性.

教法学法和教具

1.教法：引导学生探索研究发现法。

2.学法：学生主动探索研究发现法。

3.教具：三角尺、圆规、投影仪（或小黑板）。

教学步骤

复习准备部分

同学们思考以下问题：

1.等边三角形的边、角各有什么性质？

2.正方形的边、角各有什么性质？［安排中下生回答］

3.等边三角形与正方形的边、角性质有什么共同点？［中上生回答：各边相等、各角相

等］.

教师：我们今天学习的内容”7.15正多边形和圆

课堂讲练部分

一，正多边形的概念

教师提问：

1,什么是正多边形？［安排中下生回答:各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.］

师强调：如果一个正多边形有n(n23)条边，就叫正n边形.等边三角形有三条边叫正三角

形，正方形有四条边叫正四边形.

［教师展示图形］图7-124

2,上面这些图形都是正几边形？［安排中下生回答：正三角形，正四边形，正五边形,

正六边形.］

3,矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？［安排中下生回答：矩形

不是正多边形，因为边不一定相等.菱形不是正多边形，因为角不一定相等.］

4,哪位同学记得在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距关系定理？［安排记起来的学生回

答：在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距有一组量相等，那么其余量都相等.］

5,要将圆三等分，那么其中一等份的弧所对圆心角度数是多少？要将圆四等分、五等

分、六等分呢？［安排中下生回答：将圆三等分，其中每等份弧所对圆心角120。、将圆四

等分，每等份弧所对圆心角90°、五等分，圆心角72°、六等分，圆心角60°］

6,哪位同学能用量角器将黑板上的圆三等分、四等分、五等分、六等分？［接排四名上

等生上黑板完成，其余学生在下面练习本上用量角器等分圆周.］

7,大家依次连结各分点看所得的圆内接多边形是什么样的多边形？［学生答:正多边形.

二，等分圆周法定理

幻灯展示题目：已知：OO中AB=BC=CD=DE=EA.

求证：五边形ABCDE是。0的内接正五边形.

教师引导学生分析:

1,以五边形为例，哪位同学能证明这五边形的五条边相等？［安排中等生回答：］

2,哪位同学能证明这五边形的五个角相等？［安排中等生回答：］

3,前面的证明说明“依次连结圆的五等分点所得的圆内接五边形是正五边形”的观察

后的猜想是正确的.如果n等分圆周，(n》3)、n=6,n=8……是否也正确呢？［安排学生们

充分讨论］.

教师总结：因为在同圆中，弧等弦等，n等分圆就得到n条弦等，也就是n边形的各边都相

等.又n边形的每个内角对圆的(n-2)条弧，而每一内角所对的弧都相等，根据弧等、圆周

角相等，证明了n边形的各角都相等，因此圆内接正五边形的证明具有代表性.

定理：把圆分成n(n23)等份：

(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；

教师强调：

1,为何要“依次”连结各分点呢？缺少“依次”二字会出现什么现象？大家讨论

讨论看看.

2,经过圆的五等分点作圆的切线，大家观察以相邻切线的交点为顶点的五边形是不是

正五边形？

八八八八ZX

幻灯展示题目：已知：中，AB=BC=CD=DE=EA,TP、

图7-126

PQ、QR、RS、ST分别是经过分点A、B、C、D、E的。。的切线.

求证：五边形PQRST是。0的外切正五边形

教师引导学生分析：

1,由弧等推得弦等、弦切角等，哪位同学能说明五边形PQRST的各角都相等？［安排中

上生回答］

2,哪位同学能证明五边形PQRST的各边都相等？［安排中等生回答.］

教师总结：前面同学的证明，说明''经过圆的五等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶

点的多边形是这个圆的外切正五边形同样根据弧等弦等、弦切角等就可证明经过圆的n

等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的n个等腰三角形全等，从而证明了这个圆的

以它n等分点为切点的外切n边形是正n边形.

(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外

切正n边形.

教师强调：定理(2)中少“相邻”两字行不行？少“相邻”两字会出现什么现象？同学们相

互间讨论研究看看.

总结、扩展、反思

本堂课我们学习的知识：

1.学习了正多边形的定义.

2.n等分圆周(n23)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形.

课堂作业：教材P.143.练习2、3

布置作业：P.157中2、3.

板书设计

教后札记：学生对正多边形的概念能够理解，会用等分圆周法作图，但是，由于对多边形

接触较少，应用有难度，解题不周密，要指导学生对正多边形的概念作图和定理的反思学习。

正多边形和圆（二）

素质教育目标

1.使学生了解在任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆；正

多边形都是轴对称图形，有偶数条边的正多边形又是中心对称图形；边数相同的正多边形都

相似；使学生理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.

2.通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；通过正多边

形有关概念的教学，培养学生的阅读理解能力.

3：向学生渗透特殊到一般再由一般到特殊的唯物辩证法思想.

教学重点、难点、疑点及解决方法

1.重点：正多边形的性质；正多边形的有关概念.

2.难点：对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且这两个圆是同心圆”的理解.

3.疑点及解决方法：正n边形n个顶点共圆的证明.解决此疑点的方法是复习点与圆

的位置关系，即到圆心距离等于半径的点在圆上.

教法学法和教具

1.教法：引导学生探索研究发现法。

2.学法：学生主动探索研究发现法。

3.教具：三角尺、圆规、投影仪（或小黑板）。

教学过程

复灯引入梆合

上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分（n23）圆周就可以得到的圆的内接

正n边形和圆的外切正n边形.那么给定正多边形能否得到圆呢？为解决此问题本堂课继续

研究正多边形和圆.

复习提问：1.作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？［安

排记起来的学生回答］.2.作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半

径是什么？［请回忆起来的学生回答］.

请两名中上学生到黑板前一人画不等边三角形的外接圆与内切圆，另一人画正三角形的外接

圆与内切圆，其余学生在练习本上画上述两种三角形的外接圆与内切圆.

据堂耕搭梆今

教师引导：通过作图不难发现，不等边三角形都既有一个外接圆，又都有一个内切圆.大家

观察黑板上两种三角形的外接圆与内切圆，结合你画的图，你发现正三角形的外接圆与内切

有什么特殊之处？（学生思考、回答：正三角形的外接圆与内切圆是同心圆.）

教师引导：正方形是不是既有一个外接圆又有一个内切圆，并且两圆同心呢？［学生讨论］

在学生讨论的基础上，教师依次提问如下问题：

1.正方形外接圆的圆心在哪？（安排中上生回答：正方形对角线的交点.）

2.根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？（安排中上生回答）

3.正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？（安排中上生回答）.

教师引导：通过大家画图实践与理论探讨发现正方形既有一个外接圆又有一个内切圆并且两

圆同心.大家再看看矩形、菱形是否具有这条性质？（学生在练习本上画、前后左右讨论得

出矩形只有外接圆，菱形只有内切圆结论）

教师引导：我们发现正三角形既有外接圆又有内切圆且两圆同心，发现正方形也是如此，我

们猜想正多形是否都具备这个性质呢？

挂出预先画好一个正五边形ABCDE的小黑板.

教师讲解：如果正五边形ABCDE有外接圆，则A、B、C、D、E五点应都在同一个圆上，且它

们到圆心的距离相等.大家知道不在同一直线上的三点确定一个圆，不妨过正五边形ABCDE

的顶点A、B、C作。0,连结0A、OB、0C、0D、0E.0A=0B=0C；证0D=0A、0E=0A即可.

板书：过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作。0连结0A、OB、0C、0D.

教师分析、启发、提问：L证点D在。0上就是证0D=0A,你打算证哪两个三角形全等？（安

排中下生回答）.2.要证AAOB丝△C0D已具备了哪些全等条件？（安排中下生回答）.3.要

证△AOBgCOD还缺少什么条件？（安排中下生回答）.4.谁能证N3=N4?（安排中上生完成）

图7-127

板书:

Z3=Z4)

OB=OC=>Z1=Z2

OB=OC

ZABC=ZBCD

BA=CD

△OAB^AODC

=OA=OD=点D在OO上'

=正五边形

同理点E在00上

ABCDE有一个外接圆。0.

讲授：照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形不都应当有一个外接吗？

分析、启发、提问：既然正五边形有一个外接。0,那么正五边形的五条边也就应是。0的

五条等弦.根据弦等、弦心距相等，可知点0到五边的距离相等.那么正五边形有无内切圆

呢？圆心是谁？半径是谁？（按中等生回答）.同样，正n边形也应有一个内切。0,且两圆

同心.哪位同学能叙述一下正多边形的这个性质定理？（安排中上生回答）

板书：定理：任何正多边形都有一个外接圆和---1*内切圆，这两个圆是同心圆.

教师引导，正n边形既有一个外接圆又有一个内切圆，而且两圆同心就给正多边形带来了一

系列的有关概念，请阅读教材P.158下数第2自然段.学生看书，教师板书：1.正多边

形中心；2.正多边形半径；3.正多边形的边心距；4.正多边形的中心角.

锦堂优司,教师提问：

1.0是正aABC的中心，它是正aABC的圆与圆的圆心:

2.0B叫正aABC的它是正AABC的圆的半径；

图7-128

3.0D叫作正AABC的,它是正AABC的圆的半径.

4.正方形ABCD的外接圆圆心0叫做正方形ABCD的..

5.正方形ABCD的内切圆。0的半径0E叫做正方形ABCD的.

6.00是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的弦心距OF叫正五边形ABCDE的,它是

正五边形ABCDE的圆的半径.

7.NAOB叫做正五边形ABCDE的角，它的度数是.

8.图中正六边形ABCDEF的中心角是,它的度数是.

图7-129

9.你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有什么数量关系？为什么？

10.正三角形的一个外角度数是：正方形的一个外角度数是；正五边形的一个

外角度数是;正六边形的一个外角度数是;正n边形的一个外角度数是.

11.正n边形的一个外角度数与它的____角的度数相等.

教师引导：下面我们研究正多边形都具有哪些性质？

教师提问：根据正多边形的定义，你想到它应具有什么性质？（安排中下生回答）

板书：正多边形性质：1.各边都相等；2.各角都相等.

教师提问：1.什么叫轴对称图形？（安排记起来的学生回答）.2.正三角形是不是轴对称图

形？（让中下生答）.3.它有几条对称轴？（中等生回答）.4.正方形是不是轴对称图形？（中

下生回答）.5.它有凡条对称轴？（中等生回答）

演示:观察图中正五边形、正六边形是不是轴对称图形？如果是，它们又各应有几条对称轴？

（学生思考、讨论）

教师引导：以此类推，对正n边形又该有什么结论？（让中下生回答）

板书：性质3.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条

对称轴都通过正n边形的中心.

教师提问：1.什么叫中心对称图形？（让记起来的学生回答）.2.正三角形是不是中心对称

图形？正方形呢？正五边形呢？正六边形呢？3.什么样的正多边形是中心对称图形？（安排

中等学生回答）.

板书：续性质3边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称

中心.

教师提问：1.所有的等边三角形都相似吗？为什么？（安排中上生回答）.2.所有的正方形

都相似吗？为什么？（安排中等生回答）.3.所有的边数相同的正多边形都相似吗？为什么？

（由中下生回答）.

板书：性质4.边数相同的正多边形相似.

（教师讲解）：大家都记得相似多边形的周长比等于相似比.面积的比等于相似比平方，不难

证明，相似正多边形的边心距、半径的比都等于相似比.

板书：续性质4,它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比

等于相似比的平方.

性质5：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

总精制新展（教师引导学生反思）

本堂课主要学习了正多边形的两部分有关内容：1.概念;2.性质.

锦膏炼灯：P.145页练习1、2、3

中黄作业教材：P.157中4；

板书设计

正多边形和圆（二）

一，定理二，练习三，小结

DA

管/

图7-127图7-128图7-129

教后札记：学生对正多边形的有关概念能够理解，但是,应用较生，对定理能够理解，但

是，由于解题的综合性较强，对多边形接触较少，应用有难度，解题不周密，要指导学生对

正多边形的概念、作图和定理的反思学习。

正多边形和圆（三）

素质教育目标

1.复习巩固正多边形的定义及其有关概念；复习巩固正多边形的性质和判定.

2,通过复习使学生提高归纳、系统知识的能力；通过证明和画图提高学生综合运用分析问题

和解决问题的能力；通过一题多解的训练培养学生的发散思维能力.

3,通过系统归纳知识渗透系统、全面、联系客观看问题的唯物辩证认识观.

通过一题多解的发散思维训练和逆向思维训练，培养学生对科学孜孜不倦的探索精神和不断

更新的创新意识及选优意识.

教学重点、难点及解决方法

1.重点：系统本单元的知识，复习正多边形的定义、概念、性质和判定；在理解正多边形

的判定方法的基础上一题多解，对学生进行发散思维训练；通过正多边形与圆关系的第二定

理的逆定理的证明，对学生进行求异思维的训练.

2.难点：综合运用知识证题.

教法学法和教具

1.教法：引导学生探索研究发现法.

2.学法：学生主动探索研究发现法。

3.教具：三角尺、圆规、投影仪（或小黑板）。

教学过程

教师谈话引入：前两节我们学习了正多边形的定义、概念、正多边形的性质和判定.本堂课

我们对这一单元进行复习.

（教师提问，学生回答）

1.什么叫做正多边形？

2.什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？

3.正多边形有哪些性质？（边、角、对称性、相似性、有两圆且同心）

4.正多边形的半径实质是它的什么圆的半径：它的边心距又是什么圆的半径？

5.正多边形的中心角实质是在它的外接圆中每边所对的什么角？如何求它的值？它的度数

与正多边形的一个什么角度数相等？

6.正n边形有几条对称轴？当边数是什么数时，正n边形又是中心对称图形？

7.所有的正多边形都相似吗？

8.正多边形外接圆的圆心一定还是它的____圆的圆心.

9.已知：如图7-132,正六边形ABCDEF

求：正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆.

当展示第9题时，要求学生讨论如何完成，并且要说出作图的依据.

在学生分组充分讨论之后，教师组织全班交流，并安排学生按要求画出正六边形ABCDEF的

外接圆和内切圆.

（复习提问）：判断一个多边形是正多边形的方法有哪些？（安排中上学生回答：1.定义法;

2.等分圆周法.）

展示练习题）：

图7-133

已知：如图7-133,F、C、II、M、N分别为正五边形ABCDE各边中点.

求证：五边形FGHMN是正五边形.

题目展示后安排学生讨论、研究.在学生充分讨论后教师提出如下问题，带领全班学生证明

这道题.

1.要证五边形FGHMN是正五边形，必须证其五边相等.五角相等.要证五边相等，你想到

证哪些三角形全等？（安排中下生回答）.

2.要证这些三角形全等，正五边形ABCDE提供了哪些全等条件？（安排中下生回答）.

3.哪位同学能证五边形FGHMN的五个角相等？（安排中等生回答）.

展示练习题2：如图7T34,求证：各角相等的圆外切五边形是正五边形.

图7-134

己知：（安排学生填写）

求证：（安排学生填写）

分析：要证五边形ABCDE是正五边形，己知己具备了五个角相等，显然证五条边相等即可.

提出问题：大家讨论研究如何证五边形的五条边相等呢？

师生共同分析：证五边相等，先证其二边相等，其余同理可证.要证：线段相等，习惯证三

角形全等.例如证AB=BC可证aAOB会/XBOC,要证这两个三角形全等需三个条件，大家找找

看.当学生每找出一个条件，教师都要追问一下“为什么？”

这是大家熟悉的利用正多边形定义证明了这道题.大家再想一想，能不能用等分圆周的方法

证明这道题呢：讨论讨论、研究研究、试试看.

图7-135

如图7T35,师生共同分析：已知五边形与相切，要证其为正五边形只要证五个切点是

©0圆周的五等分点即可.即，证明/A'OB'=NB'OC'=NC'OD'=ND'OE'=NE'

OA'.要证五个角等，可先证其两个角等，然后同理可证.

（提问）哪位同学能证/A'OB'=NB'OC'?（安排中等生证明）.

展示练习题3：

求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形.

教师引导：此题的多边形的边数不具体，你打算如何处理？（安排中上生回答：以五边形为

例.）

教师用幻灯给出这道题的图形，然后安排学生写出这题的已知、求证.再要求学生讨论研究

分别用定义和等分圆周法证明.（可安排两名中上学生到黑板证明）

己知：如图7-136,五边形ABCDE内接于。0,且AB=BC=CD=DE=EA.

求证：五边形ABCDE是正五边形.

A

图7-136

教师引导：这道题的两种证法，哪一种简单？（安排中下生回答：方法2简单）

教师或请优等生归纳：证圆的内接多边形或圆的外切多边形是正多边形时.只要证圆周被n

等分即可.这种方法要优于用正多边形定义证明的方法.

教师引导：大家知道，正多边形既有一个外接圆又有一个内切圆，并且两圆同心.反之，如

果已知一个多边形既有一个外接圆又有一个内切圆，并且这两个圆是同心圆，那么这个多边

形是不是正多边形呢？

幻灯给出以五边形为例的图形.安排学生讨论研究.

图7-137

已知:如图7-137,同心00分别为五边形ABCDE的内切圆和外接圆,切点分别为F、G