人教A版（2019）高中数学必修第一册4 .3 .2 对数的运算

4.3.2对数的运算

教材分析：

数及其运算是推动数学发展的重要源泉和动力之一，是数学的基石.在对数的概念中，

我们了解到：指数与对数存在着不可分割的关系，因此对数运算与指数基运算也是紧密相连

的.

对数的运算性质是进行对数计算的重要依据.指数基运算和对数运算是两类重要的运

算，指数幕运算源于数的自乘，对数则是指数基中指数的等价表示形式，因此，利用指数运

算性质可以得出相应的对数运算性质：

编号指数运算性质对数运算性质

1

①/./=丘loga(MV)=logflAf+logJV

M

②--=叱logo—=logoAf-logJV

cf

③(cf)n=amn10gaAf，=fllogaM

•，vww\WW^AZWWWWWW*^ZWWW

上述对应关系可从下面的推导过程中实现:

性质①的推导如卜：设九,N=m,因为所以根据对数

与指数间的关系可得10goM■=>»,10goy=",log（，GWV）=log,>Af+logoiV.

性质②的推导如卜：设"=。刑，N=m,因为红~=0^”，所以¥=〃*”・根据对■数与指

n"N

数间的关系可得logoAf=m,logaN=n,logag=logflAf-logJV.

性质③的推导如下：设因为佃刖尸=亡，所以•=《：.根据对数与指数间的关

系可得1OgaM=T〃，logaAf=Wlog«M.

对数概念的提出，进一步的完善了数学运算体系.在算术运算中，运算有等级之分，加

法、减法为一级运算，乘法、除法为二级运算，乘方、开方、对数为三级运算.从上述对数

运算性质中，我们可以清晰地认识到对数在处理运算中的降级特征：对数中真数的乘、除、

乘方运算，可以转化为对数的加、减、乘法运算.当然，对于这一特征的理解，还是要结合

指、对数的关系进行：在指数式中，真数即为幕，对数即为指数，指数基运算中的“同底数

基相乘”即为“真数相乘”，“指数相加”即为“对数相加”.

数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能

求出任意正数的常用对数和自然对数.现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常

用对数和自然对数.对数的换底公式是进行对数运算的重要基础，利用此公式可将其他底的

对数转化为以10或e为底的对数，从而方便地求出这些对数.

因此，本节课的教学重点是：以“指数与对数的关系”为指引，学习和应用对数的运算

性质以及换底公式.

学情分析：

本节课第一个学习难点是对数的运算性质的推导，学生对于对数的运算性质的困惑主要

在于对于对数概念的不熟悉，为了解决此问题，还是要紧扣指、对数之间的关系，结合指数

事的运算性质进行学习.在三个运算性质中，教师可以引导第一个性质的推导，其余的性质

由学生仿照得出，在推导的过程中，可以将指数幕和对数的运算性质对照列出，以便学生理

解.

第二个学习难点是对数的换底公式的推导，教科书为此设计了一组探究活动.教学时，

可以充分利用这组探究活动，使得学生逐步感受提出换底公式的必要性，经历由特殊到一般

的过程推导得出换底公式.

教学目标：

1.经历对数运算性质的形成过程，理解对数的运算性质，体会对数运算的降级特征；

2.经历换底公式的形成过程，理解换底公式，体会换底公式在对数求值中的作用；

3.可以利用对数的运算性质、换底公式解决问题，发展数学运算核心素养.

教学重点：对数运算性质及其推导过程；换底公式及其应用.

教学难点：换底公式的灵活运用.

教学过程：

(-)探索对数的运算性质

引导语：研究数的基本套路应该是，先认识数，规定运算，然后研究性质以简化运算.

问题1：在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质，我们己经知道了对数与指数间

的关系，能否利用指数运算性质得出相应的对数运算性质呢？

师生活动：教师引导学生回忆指数运算性质以及指、对数的关系，学生初步感受对数运

算与指数运算的联系.

追问1:利用对数与指数的关系，你能将指数幕的运算性质"中所有

指数式转化为对数式吗？看一看它们之间有什么关系，由此可得关于对数的什么关系？

师生活动：先由学生尝试解决，然后进行展示，教师帮助或者由教师进行推导.

设,N=(f,

因为。=am~n,

所以MN=6TF.

根据对数与指数间的关系14得logoM=rw,logoV=n,

WVWXAAAZW

1ogfl(A£V)=1ogaCf'^=ni+??=lo&A/+iogaN.

于是得到对数运算性质：如果。>0,且dWl,M>0,N>0,那么

(1)loga(MN)=logaM+logaN.

，VWVWWWv^WSA/WSA.VW

追问2：仿照上面的推导过程，对照指数暴另外两个运算性质，你能得出对数运算的其

他性质吗？请加以证明.

师生活动：学生独立完成，集中进行展示、修改.

指数累的运算性质有：—现将各式化为对

数形式可得：

指数弃的运算性质有：(1)Cf'+"=«1"""；(2)("9"=武，现将各式化为对数形式可

得：

(1)设小^",N=cf,

因为中-=TCf=Cf'n,

所以M=产”.

N

根据对数与指数间的关系可得logaM=m,logJV=n,

\A

loga—=logaamn=ni-n=lo&jAf-logaV.

(2)设"="*,

因为(才)”=公，

所以二.

根据对数与指数间的关系可得logoW=WI,

10gaAf,=10gaCftn=l)ltl=lllogaM.

^vw^^wwwvww\wwvx^/vw^^vvww

于是得到对数运算性质：如果a>0,且a#l,M>0,N>0,那么

(2)loga-=logqMTogW，

（3）logA/I=nlogaM.

WVSAAAA0A/WSA/\AAAAAAA/\AZvlSAA/

设计意图：类比指数基的运算性质得出对数的运算性质，培养学生从已有知识获得研究

新知识的思路与方法的能力.

（-）性质的初步应用

例1求下列各式的值：

(1)Ig^JlOO；(2)log：(4TX25).

追问：根据题目中运算对象的特点，应该选择哪条运算性质作为依据？

师生活动：观察题目中运算对象的特点，（1）题应该选择第3条性质，（2）题应选择

第（1）个性质，之后根据化简的情况再进行选择.

解：(1)lgA5/100=lgl005,1=^

757s2

(2)log2(4X2)=log24+log22=71og22+5lo©2=7X2+5X1=19.

JI]lnx,InvsInsIn*•

例2也

追问：类比例1,本题可以依据对数运算的哪些性质？

师生活动：观察目标式，应该先选用对数运算的第2条性质，之后再选择第1条，最后

选择第3条进行化简.

解：ln-^~L=ln（F痴）Tn耻=liir+ln\^'Tn'=21nx+—lny—Inz.

（三）探索对数换底公式

问题2：根据对数的定义，你能用，j\（a>0,且aWl；b>0：

c>0,且c#l）吗?

师生活动：学生独立思考，存在困难.

追问1：根据对数的定义，你能利用ln2,ln3表示lo^3吗？首先应该对哪个数进行

变形？变形的方向是什么？

师生活动：学生尝试先对10声3进行转换，教师加以指导.

设log23f,则2》=3,T■是1他=103,即xln2=ln3,则.

1112

追问2：如果我们通过查表或者利用计算工具得知ln2,ln3的值，能否求得lo^3的

近似值呢？

师生活动：学生借助以上关系进行求解.

log^3=-弋1.585.

1112

追问3：现在，你能类比上述过程完成问题2了吗？请你试一试.

师生活动：学生仿照追问1中的变换过程由特殊到一般进行推导.

设logab=X,则炉=6,于是1。&炉=logct,EPxlogrfl=lo&b,则

WWSAzWSA/VS/VWSAAzWVS

1。&6=1°&”（a>0,且aWl；&>0；c>0,且cWl）

logca

我们把上式叫做对数换底公式.

教师讲解：数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通

过查表就能求出任意正数的常用对数和自然对数.这样，如果能将其他底的对数转化为以

10或e为底的对数，就能方便地求出这些对数.现在，利用计算工具，也可以直接求出任

意底的对数.

追问4：在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍,

就是计算乂=logl.H2的值，现在你可以通过哪些方式求得最后的结果？

师生活动：学生独立思考得出解决办法，集中展示.教师提示学生设法利用刚获得的公

式.

可以借助计算器求解；也可以借助对数换底公式将原对数换为常用对数或者自然对数，

,1g?_

x=login2=------七6.64七7

通过查表求解.例如IgLll,由此可得，大约经过7年，B地

景区的游客人次就达到2001年的2倍.

设计意图：借助对数的定义，在指、对数式互化的过程中由特殊到一般推导对数换底公

式，同时使学生感受换底公式在对数求值中的作用.

例3尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，

例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为

lgE=4.8+L5M.2011年3月110,日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的

能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)?

追问：本题的求解对象是什么？如何将此对象与已知条件建立关系？

师生活动：本题的求解对象是地震释放能量的倍数，即E的比值，条件中的E存在于常

用对数的真数位置，若对此比值取常用对数，可借助对数运算性质转化为各自对数之差的形

式.

解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2.

解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为Ei和E2.

由1§5=4・8+1.5M,可得

lgEi=4.8+1.5X9.0,

lg£?2=4.8+1.5X8.0.

于是，lg^-=lgEi-lgEi=(4.8+1.5X9.0)-(4.8+1.5X8.0)=1.5.

利用计算工具可得，包=1015^32.