常州市2017-2018年高二年级下册期末调研数学试题含解析

常州市重点名校2017-2018学年高二下学期期末调研数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.用数学归纳法证明不等式“1+^+工1n+2,一

H---->------(n>2N*）”的过程中，由〃=左推导〃=左+1

232"2

时，不等式的左边增加的式子是（)

11

B.

西2^+1

111111

C.-------1-----1-H—：-----D.~7----11++西

2^+124+22k+k2k+l2k+2

【答案】D

【解析】

【分析】

把“用〃+1替换后两者比较可知增加的式子.

【详解】

当〃二七时，左边=1H—।—+

23

1111

当〃二左+1时，左边=1H—।—H--TH--7----1--7-----F+而，

232k2k+l2k+2

111

所以由〃=左推导〃=左+1时，不等式的左边增加的式子是~7-----1;------++而，

2k+l2k+2

故选：D.

【点睛】

本题考查数学归纳法，掌握数学归纳法的概念是解题基础.从〃=上到"=左+1时，式子的变化是数学归

纳法的关键.

2.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）

.3,

侧视图

A.108cm3B.100cm3C.92cm3D.84cm3

【答案】B

【解析】

试题分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6,6,3,砍去一个三条侧棱长分别为4,4,3的

一个三棱锥（长方体的一个角）.据此即可得出体积.

解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6,6,3,砍去一个三条侧棱长分别为4,4,3的一个三

棱锥（长方体的一个角）.

11

.该几何体的体积V=6x6x3-^X^X49X3=1.

3.定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列

做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列｛4｝是以4=。,3）为首项，公差d=（l,O）

的等差向量列.若向量4与非零向量4=（乙,乙+1）（〃eN*））垂直，则配=（）

448004480448004480

A.----------B.--------C.-------------D.---------------------------

729243729243

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据等差数列通项公式得向量a“，再根据向量垂直得递推关系，最后根据累乘法求结果.

【详解】

由题意得4=q+（“一l）d=（1,3）+（〃-1）（1,0）=（n,3）,

因为向量与非零向量5“（〃eN*））垂直，

%Tl

所以nXn+3X,+1=0=--

Xn3

闵叶迎—9.％..垣=（_?）（_»）..（」）=_4480

因此「罚x8玉（3）（3）（3）243

故选：D

【点睛】

本题考查等差数列通项公式、向量垂直坐标表示以及累乘法，考查综合分析求解能力，属中档题.

4.设随机变量X的分布列为P(X=i)=a(gy,i=l,2,3,则a的值为()

91127

A.1B.—C.—D.——

131313

【答案】D

【解析】

【分析】

根据分布列中所有概率和为1求a的值.

【详解】

111127

因为P(X=i)=a(—)[,i=l,2,3,所以a(—I---1---)=1；.“=—,选D.

3392713

【点睛】

本题考查分布列的性质，考查基本求解能力.

5.若复数(加2_加)+7位为纯虚数，则实数，〃的值为()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】

//Z2——Q

试题分析：若复数(〃/-〃2)+"”为纯虚数，则必有｛解得：m=1,所以答案为C.

"2/0

考点：1.纯虚数的定义；2.解方程.

6.已知定义在尺上的奇函数/(九)满足/(x+2)=/(—x),当OVxVl时,f(x)=x2,则

/(1)+/(2)+/(3)+-+/(2019)=()

A.2019B.1C.0D.-1

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意推导出函数y=/(x)的对称性和周期性，可得出该函数的周期为4,于是得出

〃1)+〃2)+〃3)+…+〃2019)=504x"⑴+〃2)+〃3)+/(4)]+〃1)+八2)+/(3)可得

出答案.

【详解】

函数y=/(尤)是我上的奇函数，则/(X+2)=/(-X)=—/(力,

/(x+4)=-/(^+2)=-[-/W]=/W-所以，函数y=/(x)的周期为4,

且/⑴=「=1,/(2)=-/(0)=0,/(3)=/(3-4)=/(-1)=-/(1)=-1,

/(4)=/(0)=0,.•./(1)+/(2)+/(3)+/(4)=1+0-1+0=0,

Q2019=504x4+3,/（1）+/（2）+/（3）+---+/（2019）

=504x[/（l）+/（2）+/（3）+/（4）]+/（l）+/（2）+/（3）

=504x0+1+0-1=0,故选C.

【点睛】

本题考查抽象函数求值问题，求值要结合题中的基本性质和相应的等式进行推导出

其他性质，对于自变量较大的函数值的求解，需要利用函数的周期性进行求解，考查逻辑推理能力与计算

能力，属于中等题.

7.已知函数/（x）满足对任意实数机,〃，都有/（m+”）=/（m）+/（"）—1,设

g(x)=f(x)+-^—(a>0,a^l),g(ln2019)=2018,In—|=()

a+1I2019；

A.2018B.2017C.-2016D.-2015

【答案】D

【解析】

【分析】

x-x

通过取特殊值，可得/(0)=1,进一步可得/(x)+/(-x)=2,然后经过计算可得，nn一=1,

a"+1tzA+1

最后代值计算，可得结果.

【详解】

由题可知：/(m+n)=/(m)+/(n)-1

令m=〃=0,可得/(。)=1

^m=x,n=-x,则/(%_%)=/(%)+/(_%)_1

所以/(X)+/(T)=2

屋61X

又T7-----+------

优+1a-x+l

由g(x)=/(x)+E

所以g(_x)+g(x)=/(-X)+Wr~T+/(x)+-^=3

a+1a+1

又Mn短(8(-足2019)

所以g)n+g(ln2019)=3,由g(ln2019)=2018

所以&卜彘］=一2。15

故选：D

【点睛】

上二+，^=1,考验观察能力以及分

本题考查抽象函数的应用，难点在于发现了（%）+/（-尤）=2,

c（x+1tz+1

析问题的能力，属中档题.

8.《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，

并重十一斤（176两），问玉、石重各几何？”其意思：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现

有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（176两），问这个正方体中的宝玉和

石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的工,丁分

别为（）

（开始）

A.96,80B.100,76C,98,78D.94,82

【答案】C

【解析】

【分析】

流程图的作用是求出!x+,y=27的一个解，其中xN9O,y<86且x为偶数，逐个计算可得输出值.

76

【详解】

执行程序：x=90,y=86,s工27;%=92,y=84,s工27;x=94,y=82,s227;x=96,

y=80,s#27;x=98,y=78,s=27,故输出的苍2分别为98,78.故选C.

【点睛】

本题考查算法中的循环结构、选择结构，读懂流程图的作用是关键，此类题是基础题.

9.曲线y=cosx在x=§处的切线斜率是()

“11A/3

A.——BD.—C.--DN.—

2222

【答案】C

【解析】

【分析】

jr

根据已知对y=cosx求导，将^=一代入导函数即可.

3

【详解】

,.•y'=(cosx)'=-sinx,

.,.当》=工时，y'=-sin—=-.

332

故选C.

【点睛】

本题考查利用导数求切线斜率问题，已知切点求切线斜率问题，先求导再代入切点横坐标即可，属于基础

题.

10.已知A,3为抛物线C：y2=4x上的不同两点，R为抛物线。的焦点，若AB=5用，贝！IIAB|=()

2525

A.——B.10C.——D.6

24

【答案】C

【解析】

【分析】

设4(土,%),3(%,%)，根据AB=5EB，可求得这些坐标间的关系，再结合A8两点在抛物线上，可求

得X1,无2，而=石+/+2,由此可得结论.

【详解】

设4(%,%),3(%,y2)，贝!JAB=(%2-%,为一乂)，

又尸(1,0),二FB=(X2—Ly2)，•••々一石=5々一5,%一%=5%，

,r24

%=5—4X%=4x,125

2由(4%)2=4(5—4切’得”了…，.•.1明=%+%+2=『

故选C.

【点睛】

本题考查向量的数乘的意义，考查抛物线的焦点弦问题.掌握焦点弦长公式是解题基础：即对抛物线

V=2px(p>0)而言，AB是抛物线的过焦点的弦，贝!||/叫=%+%+p.

11.函数y=§/一4x+l的图象是()

【答案】A

【解析】

【分析】

根据已知中函数的解析式,利用导数法分析出函数的单调性及极值，比照四个答案函数的图象,可得答案.

【详解】

r2

；y=g%3-4%+1,/.y=x-4,

令y'=0得x=±2；当％式—2,2)时，y'<Q,即函数在(—2,2)内单调递减,

可排除B,D；又x=2时，丁<0,排除C,故选A.

【点睛】

本题考查的知识点是函数的图象，分析出函数的单调性是解答的关键，属于中档题.

12.复数z=l-i(i为虚数单位)的虚部为()

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】B

【解析】

【分析】

由虚数的定义求解.

【详解】

复数Z=1-，的虚部是一1.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的概念，掌握复数的概念是解题基础.

二、填空题：本题共4小题

13.函数/(%)=%—2sinx,对任意国,％2兀I，恒有|/(%)-/(%2)|<“，则M的最小值为

［答案］---FJJ.

3

【解析】

,:/(%)=x-2sinx,

:.f\x)=1-2cosx,

jrjr

.•.当0<x<§时，f(x)<O,/(x)单调递减；当§<x<"时，/'(x)〉O,/(x)单调递增。

.,.当x=§时,f(x)有最大值,且/(4瞰=/(§)=g—2sing=§—逐。

又/(0)=0,/(1)=乃，

：,/(X)max="。

由题意得I"%)—“尤2)|</等价于—(5―6)=g+6。

的最小值为弓+6。

答案：+出

14.在圆中：半径为r的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为2r.类比到球中：半径为我的

球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为.

【答案】双IR3

9

【解析】

分析：圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，当边长等于0r时，类比球中内接长方体中，以正方体

2

的体积最大，棱长为不人

详解：圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，当边长a2+a2=(2「r时，解得a=0厂时,

V2

类比球中内接长方体中，以正方体的体积最大，当棱长a2+a2+a2=(2R)2,解得a=R时，正方体

的体积为殳叵收

9

点睛：类比推理，理会题意抓住题目内在结构相似的推导过程，不要仅模仿形式上的推导过程。

15.如图，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB.是底面圆。的两条互相垂直的直径，E是母线PB

的中点，已知过与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点

到其准线的距离为.

【解析】

【分析】

结合抛物线的解析式分析可知，若要求解解析式，则至少需要求出一个抛物线上的点，因抛物线所在平面

为平面，故可考虑先求出0E长度，作先求出0E,再以CED平面建立直角坐标系，

求出点C,代入抛物线解析式即可求解

【详解】

如图'作EFLOB交0B于点F,由E是M母线的中点'底面半径和高均为1可得。-所J,则

OE=显,以CEO平面建立直角坐标系，以E为原点，如图:

2

则C曰』，设抛物线方程为y2=20x,将C代入可得夕=4,则抛物线的焦点到其准线的距离为

P-

故答案为也

2

【点睛】

本题考查圆锥中具体线段的求解，抛物线解析式的求法，数形结合的思想，属于中档题

点小是抛物线C上的一点满足|尸同=］则抛物线C的方

16.抛物线。：公=2py的焦点为F,

8

程为.

【答案】必=±2'

【解析】

【分析】

由尸|九0在抛物线C上，结合抛物线的定义，即可求抛物线C的方程.

【详解】

当?>0时，尸|=9+£=未解得，=1,则抛物线C的方程为：x2=2>；

828

当?<0时，冲|=—£—解得〃=一1,则抛物线C的方程为：%2=-2y;

288

故答案为：x2=±2y.

【点睛】

本题考查利用抛物线的定义求抛物线的标准方程，难度较易.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知函数y（x）=k>ga（4-以），（a>0且。H1）.

(I)若gO)是偶函数，当％>0时，g(x)=/(x),求％<0时，gO)的表达式；

(H)若函数/(尤)在02］上是减函数，求实数。的取值范围.

【答案】⑴见解析；⑵(1,2).

【解析】

分析：⑴根据偶函数性质，当％<0时，—x>0,求出表达式

⑵复合函数同增异减，并且满足定义域

详解：(I)是偶函数，所以g(—x)=g(x),又当x>0时，g(x)=/(x)=logfl(4-ax)

.,.当x<0时，—x〉0,二g(x)=g(-x)=/(_x)=log〃(4+依)，

所以当x<0时，g(x)=loga(4+tzx).

(II)因为“(％)=4—依在［0,2］上是减函数，

要使〃x)=loga(4-时在［0,2］有意义，且为减函数，贝懦满足

解得1<a<2,.•.所求实数«的取值范围为(1,2).

点睛：本题主要考查了复合函数，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求

参数范围。

18.过点P(乎,0)作倾斜角为a的直线与曲线.r+2『=1交于点M，N,

求|9|・归时的最小值及相应的a值.

3TT

【答案】最小值为士，此时a=%.

42

【解析】

_回

设直线为｛X=w+'C°S"«为参数)，代入曲线并整理得

y=tsina

33

2

(1+sin«)?+(V10cosa)t+-=0则|pM|.|p7V|=*=_2__

且A20,解得sin?a«।,所以当sin2a=।时，即。="或、二时，

4466

忙叫的最小值为6,此时a="或—.

566

19.如图，四边形A3CD为菱形，ZDAB=60°,即，平面ABC。，EF//AB,ED=AD=2EF=2,

〃为的中点.

(I)求证：FM平面

(H)求证：AC±B,

(IH)若G为线段跳上的点，当三棱锥G-8。的体积为2时，求袈的值.

9BE

【答案】(1)证明见解析.

(2)证明见解析.

(3)-=-.

BE3

【解析】

分析：(1)设ACnBD=O,连结EO,M0,推导出四边形EOMF为平行四边形，从而FMIIEO.由此能证明

FMII平面BDE；(2)推导出AC_LBD,ED±AC,从而AC_L平面BDE,由此能证明AC_LBE；(III)过G作

ED的平行线交BD于H,贝！JGHL平面ABCD,GH为三棱锥G-BCD的高，三棱锥G-BCD的体积

V^-x-BDBCsmeQ^GH^空，由此能求出些的值.

329BE

详解：

(I)设ACc8D=O,连结

由已知加。分别是3C,的中点，

因为EFA3,且匹=

2

所以A3,且所以所OM,且EF=OM.

2

所以平行四边形EOMF为平行四边形

所以MWEO

又因为EOu平面3£)石，府二平面应出，

所以尸M平面BDE

(II)因为A3CD为菱形，所以AC，

因为ED，平面ABC。,所以ED，AC

因为5£>c包>=。,所以AC，平面困史

又因为BEu平面BDE,所以AC

(IE)过G作E。的平行线交30于”.

由已知石。，平面A3CD,所以GH，平面A3CD.

所以G”为三棱锥G-BCD的高.

因为三棱锥G-3CD的体积为空，所以三棱锥G-3CD的体积

9

V=-x-BDBCsm6Q°GH=宜I

329

所以G〃=：

2R,[

所以G"BGJ1.所以U=

--=--=-=—BF3

EDBE23

点睛：本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识，异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面

角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.

20.已知中心在原点。，焦点在工轴上的椭圆£过点离心率为

(1)求椭圆£的方程；

(2)设过定点T(0,2)的直线/与椭圆£交于不同的两点A3,且Q4.05>0,求直线/的斜率左的取

值范围；

r生安,it»x~y1i2-\/31_1x1,2-\/3

【答案】(1)一+—=1(2)———<^<一一或一〈左<^—

433223

【解析】

分析：(1)利用离心率，点。(0,6)在曲线上，列出a,b的方程.

(2)联立直线与椭圆方程根据韦达定理列出%+%，x/2的关系式，利用向量关系式Q4.a>0,列

出关于斜率左的不等式，解出取值范围.

详解：(1)设椭圆£的方程为:江+亡=1(a>b>0,

a2b2

'b=^3

c1

由已知：\—=—得：a2=49b2=39

a2

/=Z72+C2

22

所以，椭圆E的方程为：L+2L=I.

43

(2)由题意，直线斜率存在，故设直线/的方程为丁=丘+2,点

y=kx+2

由1炉V2得(442+3)f+16&+4=0

—+—=1

I43

16k4

"+々一记己「=病有

由△>()即有g或左);

04.05>0即％9+X%>°=%W+(@+2)(辰2+2)>0

2

二(1+左)%/+2k[xl+X2)+4>0

<(1+Z:2)^—+2k~i6k+4>0

\,4左2+34Z:2+3

解得《:

43

综上：实数人的取值范围为一冬8(左<一工或工(左<冬8

3223

点睛：求参数攵的取值范围，最终落脚点在于计算直线与曲线的交点坐标的关系式.根据题目的条件，转

化为％+工2,%彳2关系的式子是解题的关键.

21.已知函数/(%)=Asin(ox+“A〉0,。〉0,|。|<g在一个周期内的图像经过点后，4)和点

71

且f(x)的图像有一条对称轴为X-一

12

(1)求/(%)的解析式及最小正周期;

(2)求/(%)的单调递增区间.

、〃/、一以万)2%、「"2k兀7i2kn-|z7小

【答案】⑴/⑴=45《3'+力y；⑵卜丁亍，历+亍卜eZ).

【解析】

【分析】

(1)由函数的图象经过点二,4且f(x)的图象有一条对称轴为直线x=2,

(12)12

可得最大值A,且能得周期并求得3,由五点法作图求出。的值，可得函数的解析式.

(2)利用正弦函数的单调性求得f(x)的单调递增区间.

【详解】

(1)函数f(x)=Asin(sx+夕)(A>0,w>0,)在一个周期内的图象经过点*4

7T

且f(X)的图象有一条对称轴为直线x=一

12

.>Q।»...,ftT5TLTCTC

故最大值A=4,且一=-------,

212123

..・TI---9

3

..・3=_2---兀--1

T

所以/(X)=4sin(3x+。).

因为/'(尤)的图象经过点后4),所以4=4sin13x卷+可，

所以夕=^^+2左兀，kuZ.

TTTT

因为l°l<5，所以0=1，

所以/(x)=4sin〔3x+?].

IT]JTJTTT

3XH—,所以----\-2k7v<3x-\——<——\-2k7v,k^Z,

[4J242

n2k兀/,n2k兀,“

所以----1---<x<--1---,kGZ,

43123

即7'(x)的单调递增区间为一——H—7(左eZ).

【点睛】

本题主要考查由函数y=Asin(3x+。)的性质求解析式，通常由函数的最大值求出A,由周期求出

由五点法作图求出。的值，考查了正弦型函数的单调性问题，属于基础题.

22.已知函数f(x)=(x+l)lnx-x+l.

(I)若W'(X)<X?+奴+1,求。的取值范围；

(口)证明：(x—l)/(x)NO.

【答案】(I)[-1,+OO).(II)见解析

【解析】

本试题主要考查了导数在研究函数中的运用，以及利用导数求解不等式，或者参数范围的运用.

X+]1

解：(I)/'(%)=——+lnx-l=lnx+-,

x2

=xln%+l,

题设疗'(x)<x2+办+1等价于Inx-xWa.

令g(x)=lnx-x,贝！|g，(x)=L—l

X

当0<x<l,g'(x)>0；当尤之1时，g'(x)<o,x=l是g(x)的最大值点，

gO)<g⑴=-1

综上，。的取值范围是[-1,”).

(H)由(I)知，g(x)<g6=-H|Hnx—x+lW0.

当0Vx<l时，/(%)=(x+l)lnx-x+l=xlnx+(lnx-x+l)<0；

当时，

/(x)=lnx+(xlnx-x+l)

=In%+%(Inx+--1)

x

=lnx-%(In---+1)

xx

>0

所以(x-l)f(x)>0

常州市重点名校2018-2019学年高二下学期期末调研数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1-2/

1.复数z二二一的实部为

1+z

1133

A.--B.-C.-D.---

2222

【答案】A

【解析】

分析:先化简复数z,再求复数z的实部.

(l-2z)(l-z)-l-3z13.1

详解：原式=”.、：,、=—所以复数的实部为-一.

(1+2)(1—D2222

故答案为A.

点睛：(1)本题主要考查复数的除法运算和实部虚部概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复数

2=。+初(。力£尺)的实部是%虚部为1>,不是bi.

2.已知集合A=x|log[X>—4,B={—1,0,1,2,3}则AB=()

、2,

A.{-1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{1}D.{0,1}

【答案】C

【解析】

【分析】

利用对数函数的单调性对集合A化简得x|0<xVl},然后求出AAB即可.

【详解】

A={x|logix>—l}={x|k)gix>log12>{X|0<X<2},

、2JI25一

/.AnB={i},

故选：c

【点睛】

考查对数不等式的解法，以及集合的交集及其运算.

3.已知离散型随机变量X的分布列为表格所示，则随机变量X的均值为()

X0123

11£

PP、

636

【答案】C

【解析】

分析：利用离散型随机变量分布列的性质求得到6,进而得到随机变量x的均值

详解：由已知得，+:+3+《=1,解得：

6363

/、1c111c1。5

••E(X)——x0H—x1H—x2H—义3=一

63633

故选：C

点睛：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的基本性质，是基础题.

4.已知定义在R上的函数f(x-1)的图象关于x=1对称，且当x>0时，f(x)单调递减，若a=f(log053),

6

b=f(0.5-3),c=f(0.7),则a,b,c的大小关系是()

A.c>a>bB.b>a>cc.a>c>bD.c>b>a

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据对称性将自变量转化到%>0上，再根据x>0时/(X)单调递减，判断大小.

【详解】

•.•定义在尺上的函数/(%—1)的图像关于％=1对称，.•.函数/(X)为偶函数，

13

,.•log053<log05l=0,/(log053)=/(log23),1=log22<log23<log24=2,0.5*=2>2,

0<0.76<l....当x>0时，/(x)单调递减，二c>a>b,故选A.

【点睛】

比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，

然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小

5."m>272"是"函数y=2/—如+1在(-00,+co)内存在零点”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

分析：先求函数y=2f一如+1在(v,+<6)内存在零点加的解集，>0,再用集合的关系判断充分条

件、还是必要条件。

详解：函数y=2f—nu+1在(YO,"O)内存在零点，贝！j>0,所以加220,m<—2直的解集那么

根22a是"22"m<-20的子集，故充分非必要条件，选A

点睛：在判断命题的关系中，转化为判断集合的关系是容易理解的一种方法。

6.已知函数/(x)=sin(x—5)(xeR),下面结论错误的是()

7T

A.函数“X)的最小正周期为2〃B.函数“X)在区间0,-上是增函数

C.函数/(©的图像关于直线X=0对称D.函数/(无)是奇函数

【答案】D

【解析】

TTTT

试题分析：/(x)=sin(x-f)=-cosx,所以函数/(无)的最小正周期为2万,函数/⑺在区间0,-上是增

函数，函数/⑺的图像关于直线％=0对称，函数/⑺是偶函数.

考点：1.三角函数的周期性；2.三角函数的奇偶性；3.图像得对称轴；4.函数的单调性.

7.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为。，得2分的概率为〃，得。分的概率为0.5(投篮一次得分

只能3分、2分、1分或0分)，其中。、be(0,l),已知他投篮一次得分的数学期望为1,则出?的最大

值为

1111

A.-B.—C.—D.—

6122432

【答案】D

【解析】

【分析】

a+b+c+0.5=1

,，解得2a+b=0.5,再由均值定

{3a+2b+c=1

理能求出ab的最大值.

【详解】

设这个篮球运动员得1分的概率为c,

•.•这个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,得0分的概率为0.5,

投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分，他投篮一次得分的数学期望为L

a4-6+c4-0.5=1

{3a+2b4-c=1

解得2a+b=0.5,

■、be(0,1),

...2而《(学产=(竽产=上，

•'ab(七,

当且仅当2a=b=，时，ab取最大值击■.

故选D.

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期的应用，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注

意均值定理的灵活运用.

2

8.如图，向量0Z对应的复数为Z,则复数二的共轨复数是()

【答案】B

【解析】

【分析】

2

由已知求得Z,代入二，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.

Z

【详解】

解：由图可知，z=l-i,

.2.2.2(1+1一”

"z1-z(1-z)(l+z)'

2

•••复数二的共轨复数是1-7.

z

故选：B.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.

9.曲线y=e、在A处的切线与直线x-y+l=0平行，则点A的坐标为()

A.(-1,e1)B.(0,1)C.(1,e)D.(0,2)

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意结合导函数研究函数的性质即可确定点A的坐标.

【详解】

设点A的坐标为4(无。,/。)，y,=ex,

x

则函数在x=x0处切线的斜率为：k=y'\x=xo=e0,

切线与直线x-y+l=0平行，则e%=1,解得：%=0，

切点坐标为A(O,e~),即4(0,1).

本题选择B选项.

【点睛】

本题主要考查导函数研究函数的切线，直线平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算

求解能力.

10.已知集合河={0,1,2},N={x|0K无<2},那么集合McN=

A.{0}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,2}

【答案】B

【解析】

【分析】

直接进行交集的运算即可.

【详解】

VM={0,1,2},N={x|0<x<2}；

/.MnN={0,1}.

故选：B.

【点睛】

本题考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，属于基础题.

11.已知函数f(x)与g(x)=。，(a>0且awl)的图象关于直线丁=%对称，则是增函数”的

一个充分不必要条件是()

A.0<«<-B.0<a<lC.2<a<3D.a>1

2

【答案】C

【解析】

分析：先求出/(x)=log“x,再利用充分不必要条件的定义得到充分不必要条件.

详解：因为函数/(九)与g(x)="(a>0且awl)的图象关于直线y=x对称，

所以/(x)=logaX.

选项A,0<a<g是"/(%)是增函数”的非充分非必要条件，所以是错误的.

选项B,是"/(力是增函数”的非充分非必要条件，所以是错误的.

选项C,2<a<3是"/(力是增函数”的充分非必要条件，所以是正确的.

选项D,a>1是“/(%)是增函数”的充分必要条件，所以是错误的.

故答案为C.

点睛：(1)本题主要考查充分条件必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)已知命题，

是条件，命题q是结论，充分条件：若PF,则。是《充分条件.必要条件：若q=p,则0是q必要

条件.

12.是"”的()

logi(x+2)<0

A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.