苏科版七年级数学暑假第04讲有理数乘法与除法练习(学生版+解析)

第04讲有理数乘法与除法【学习目标】1．理解有理数的乘法与除法法则；2．能利用有理数的乘法与除法法则进行简单的有理数乘法运算；(重点)3．会利用有理数的乘法与除法解决实际问题．(难点)【基础知识】一．倒数（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•1（a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．（2）方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置注意：0没有倒数．二．有理数的乘法（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（2）任何数同零相乘，都得0．（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．（4）方法指引：①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．三．有理数的除法（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a•（b≠0）（2）方法指引：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．【考点剖析】一．倒数（共2小题）1．（2021•阳新县校级模拟）﹣ǀ﹣5ǀ的倒数是（）A．5 B．﹣5 C． D．2．（2022•镇江模拟）的倒数等于．二．有理数的乘法（共7小题）3．（真题•佛山月考）计算：（﹣36）×（）．4．（真题•仪征市期中）规定：水位上升为正，水位下降为负：几天后为正，几天前为负．若水位每天下降3cm，今天的水位记为0cm，那么2天前的水位用算式表示正确的是（）A．（+3）×（+2） B．（+3）×（﹣2） C．（﹣3）×（+2） D．（﹣3）×（﹣2）5．（2017秋•亭湖区校级月考）﹣9936．6．（2019秋•天宁区校级月考）学习了有理数之后，老师给同学们出了一道题：计算：17（﹣9）下面是小方给出的答案，请判断是否正确，若错误给出正确解答过程．解：原式＝﹣179＝﹣1725．7．（真题•无锡期末）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）A．a＞﹣3 B．ab＞0 C．a+b＞0 D．|a|＞|b|8．（真题•朝阳区校级期末）在数﹣5，1，3，﹣3，4中，任取两个数相乘，所得积的最大是．9．（2022春•阜宁县校级月考）规定：M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n）．（1）计算：M（5）+M（6）；（2）求2×M（2021）+M（2022）的值；（3）试说明：2×M（n）与M（n+1）互为相反数．三．有理数的除法（共11小题）10．（2022•永嘉县模拟）计算﹣6÷2的结果是（）A．3 B． C．﹣3 D．﹣1211．（﹣81）÷（）（﹣16）．12．计算：（﹣32）÷4×（﹣8）．13．（真题•宜兴市月考）如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（）A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是14．（真题•东台市期中）有两个整数a，b，且a＜b，把大于等于a且小于等于b的所有数记作[a，b]．例如，大于等于1且小于等于4的所有数记作[1，4]．若整数m在[5，15]内，整数n在[﹣30，﹣20]内，那么的一切值中属于整数的个数为（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个15．（真题•大丰区期末）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（）A．|a|＜|b| B．a＞b C．a+b＞0 D．16．（真题•相城区月考）下列各式中计算正确的有（）①（﹣24）÷（﹣8）＝﹣3；②（﹣8）×（﹣2.5）＝﹣20；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个17．（2022•顺义区一模）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米为升．18．（真题•东莞市期中）若|x﹣1|＝2，|y+1|＝3，且x，y异号，求x÷y的值．19．（2019秋•交城县期中）阅读下题解答：计算：．分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．解：（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．所以原式．根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：．20．（真题•淮南期中）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．（1）2020属于类（填A，B或C）；（2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于类（填A，B或C）；②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于类（填A，B或C）；（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是（填序号）．①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类．【过关检测】一、单选题1．（2021·江苏）下列各组的两个数中，互为倒数的是（）A．3和﹣3 B．﹣3和 C．﹣3和 D．和2．（2019·江苏七年级月考）两个不为0的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置，它们的商不变，那么这两个数（）A．一定相等 B．一定互为倒数 C．一定互为相反数 D．相等或互为相反数3．（2021·江苏七年级期末）某商场举办“迎新春送大礼”的促销活动，全场商品一律打八折销售．小明买了一件商品，比标价少付了40元，那么他购买这件商品花了（）A．80元 B．120元 C．160元 D．200元4．（2020·兴化市乐吾实验学校）在1，，，4这四个数中，任取两个数相乘，所得积最大的是（）A． B． C．4 D．65．（2020·江苏）已知，试求的值不可能为（）A．3 B．-3 C．0 D．-16．（2020·兴化市板桥初级中学七年级月考）一个大于1的正整数a，与其倒数，相反数-a比较，大小关系正确的是（）A．-a＜≤a B．-a＜＜a C．＞a＞-a D．-a≤a≤7．（2020·江苏七年级期中）有两个正数，，且，把大于等于且小于等于的所有数记作．例如，大于等于且小于等于的所有数记作．若整数在内，整数在内，那么的一切值中属于整数的个数为（）A．5个 B．个 C．个 D．个二、填空题8．（2020·南通市东方中学七年级月考）计算：=______．9．（2021·江苏南京一中七年级月考）直接写出计算结果：（﹣8）×（﹣2020）×（﹣0.125）＝________．10．（2020·江苏）绝对值小于2020的所有整数的和为_____，积为_____．11．（2020·常州市丽华中学七年级月考）________×（﹣）＝﹣1．三、解答题12．（2020·江苏汇文实验初中）若m、n互为相反数，p、q互为倒数，且=6，求的值．13．（2020·常州市丽华中学七年级月考）学习了有理数之后，老师给同学们出了一道题：计算：17×（﹣9），下面是小方给出的答案，请判断是否正确，若错误给出正确解答过程．解：原式＝﹣17×9＝﹣17＝﹣25．14．（2020·南通西藏民族中学七年级期中）计算（1）（2）15．（2020·兴化市陈堡初级中学）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”．（提出问题）三个有理数a、b、c满足，求的值．（解决问题）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a，b，c都是正数，即，，时，则：；②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，，则：所以：的值为3或-1．（探究）请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a，b，c满足，求的值；（2）已知，，且，求的值．16．（2020·泰州市姜堰区励才实验学校七年级月考）学习了有理数的运算后，薛老师给同学们出了这样一道题目：计算：，看谁算得又对又快两名同学给出的解法如下：小强：原式小莉：原式（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法最好？理由是什么？对你有何启发？（2）此题还有其他解法吗？如果有，用另外的方法把它解出来？17．（2020·江苏七年级月考）阅读下题的计算方法：计算：分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．解：所以原式根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：18．（2020·徐州市树人初级中学七年级月考）小军在计算时，使用运算律解题过程如下：解：．他的解题过程是否正确？如果不正确，请你帮他改正．第04讲有理数乘法与除法【学习目标】1．理解有理数的乘法与除法法则；2．能利用有理数的乘法与除法法则进行简单的有理数乘法运算；(重点)3．会利用有理数的乘法与除法解决实际问题．(难点)【基础知识】一．倒数（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•1（a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．（2）方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置注意：0没有倒数．二．有理数的乘法（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（2）任何数同零相乘，都得0．（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．（4）方法指引：①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．三．有理数的除法（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a•（b≠0）（2）方法指引：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．【考点剖析】一．倒数（共2小题）1．（2021•阳新县校级模拟）﹣ǀ﹣5ǀ的倒数是（）A．5 B．﹣5 C． D．【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．【解答】解：﹣ǀ﹣5ǀ＝﹣5﹣5的倒数是：，即﹣ǀ﹣5ǀ的倒数是．故选：D．【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题的关键．2．（2022•镇江模拟）的倒数等于2．【分析】直接利用倒数的定义得出答案．【解答】解：的倒数是：2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了倒数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．二．有理数的乘法（共7小题）3．（真题•佛山月考）计算：（﹣36）×（）．【分析】根据乘法分配律，可得答案．【解答】解：原式＝﹣36×（）﹣3636＝16﹣30+21＝7．【点评】本题考查了有理数的乘法，利用乘法分配律是解题关键．4．（真题•仪征市期中）规定：水位上升为正，水位下降为负：几天后为正，几天前为负．若水位每天下降3cm，今天的水位记为0cm，那么2天前的水位用算式表示正确的是（）A．（+3）×（+2） B．（+3）×（﹣2） C．（﹣3）×（+2） D．（﹣3）×（﹣2）【分析】根据题意可以用相应的正负数表示题目中所求的问题，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，2天前的水位用算式表示是：（﹣3）×（﹣2），故选：D．【点评】本题考查有理数的乘法的运算法则，涉及正数和负数的理解，解答本题的关键是明确题意，用相应的正负数表示出来．5．（2017秋•亭湖区校级月考）﹣9936．【分析】先把﹣99写成﹣100，再根据乘法分配律计算即可．【解答】解：﹣9936＝（﹣100）×36＝﹣100×3636＝﹣3600＝﹣3599．【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键．6．（2019秋•天宁区校级月考）学习了有理数之后，老师给同学们出了一道题：计算：17（﹣9）下面是小方给出的答案，请判断是否正确，若错误给出正确解答过程．解：原式＝﹣179＝﹣1725．【分析】利用乘法分配律进行计算即可．【解答】解：小方给出的答案错误；17（﹣9）＝﹣[（17）×9]＝﹣（17×99）＝﹣161．【点评】此题主要考查了有理数的乘法，关键是正确确定积的符号，掌握乘法分配律．7．（真题•无锡期末）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）A．a＞﹣3 B．ab＞0 C．a+b＞0 D．|a|＞|b|【分析】由数轴上的点得出a与b的正负及绝对值的大小，再结合运算法则进行判断即可．【解答】解：由数轴可知，﹣4＜a＜﹣3，2＜b＜3，∵a＜﹣3，∴A选项错误，不符合题意；∵ab＜0，∴B选项错误，不符合题意；∵|a|＞|b|，a＜0，b＞0，∴a+b＜0，∴C选项错误，不符合题意；∵|a|＞|b|，∴D选项正确，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查数的大小，有理数的加法运算，乘法运算，由数轴上的点得出a与b的正负及绝对值的大小关系是解题的关键．8．（真题•朝阳区校级期末）在数﹣5，1，3，﹣3，4中，任取两个数相乘，所得积的最大是15．【分析】在﹣5，1，3，﹣3，4这五个数中，绝对值最大的四个数是﹣5，3，﹣3，4，再根据正数大于负数，可得：任取两个数相乘，所得的积最大的是﹣5与﹣3的积．【解答】解：在﹣5，1，3，﹣3，4这五个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是：（﹣5）×（﹣3）＝15．故答案为：15．【点评】本题考查的是有理数的大小比较、有理数的乘法．解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．9．（2022春•阜宁县校级月考）规定：M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n）．（1）计算：M（5）+M（6）；（2）求2×M（2021）+M（2022）的值；（3）试说明：2×M（n）与M（n+1）互为相反数．【分析】（1）根据新定义的法则及有理数乘法的法则进行计算即可；（2）根据新定义的法则进行计算，即可得出结果；（3）根据新定义的法则分别计算2×M（n）与M（n+1），即可得出结果．【解答】解：（1）M（5）+M（6）＝（﹣2）5+（﹣2）6＝﹣32+64＝32；（2）2M（2021）+M（2022）＝2×（﹣2）202l+（﹣2）2022＝2×（﹣22021）+22022＝﹣22022+22022＝0；（3）2M（n）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，M（n+1）＝（﹣2）n+1，∵﹣（﹣2）n+1与（﹣2）n+1互为相反数，∴2M（n）与M（n+1）互为相反数．【点评】本题考查了有理数的乘法及相反数，掌握新定义的含义及有理数的乘法法则是解决问题的关键．三．有理数的除法（共11小题）10．（2022•永嘉县模拟）计算﹣6÷2的结果是（）A．3 B． C．﹣3 D．﹣12【分析】有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，依此计算即可求解．【解答】解：﹣6÷2＝﹣3．故选：C．【点评】考查了有理数除法，方法指引：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．11．（﹣81）÷（）（﹣16）．【分析】根据有理数的乘除法法则计算即可．【解答】解：原式＝（﹣81）×（）（）＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．12．计算：（﹣32）÷4×（﹣8）．【分析】根据有理数乘除法的运算法则进行计算即可．【解答】解：原式＝328＝64．【点评】本题考查了有理数的乘除法，掌握运算法则是解题的关键．13．（真题•宜兴市月考）如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（）A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是【分析】根据数轴的性质即可求出答案．【解答】解：由于两个有理数分布在原点两侧，故必为一正一负，所以两个数相除所得的商是负数，故选：A．【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练运用有理数的运算，本题属于基础题型．14．（真题•东台市期中）有两个整数a，b，且a＜b，把大于等于a且小于等于b的所有数记作[a，b]．例如，大于等于1且小于等于4的所有数记作[1，4]．若整数m在[5，15]内，整数n在[﹣30，﹣20]内，那么的一切值中属于整数的个数为（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【分析】根据已知条件得出5≤m≤15，﹣30≤n≤﹣20，再得出的范围，即可得出整数的个数．【解答】解：∵m在[5，15]内，n在[﹣30，﹣20]内，∴5≤m≤15，﹣30≤n≤﹣20，∴，即﹣6，∴的一切值中属于整数的有﹣2，﹣3，﹣4，﹣5，﹣6，共5个；故选：A．【点评】此题考查了有理数的除法，求出5≤m≤15和﹣30≤n≤﹣20是解题的关键．15．（真题•大丰区期末）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（）A．|a|＜|b| B．a＞b C．a+b＞0 D．【分析】根据绝对值的定义判断A选项；根据数轴上右边的数总比左边的数大比较大小判断B选项；根据有理数的加法法则判断C选项；根据有理数的除法法则判断D选项．【解答】解：A选项，∵|a|＞1，|b|＜1，∴|a|＞|b|，故该选项不符合题意；B选项，a＜b，故该选项不符合题意；C选项，∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，故该选项不符合题意；D选项，∵a＜0，b＞0，∴0，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了绝对值，数轴，有理数的加法，有理数的除法，掌握两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键．16．（真题•相城区月考）下列各式中计算正确的有（）①（﹣24）÷（﹣8）＝﹣3；②（﹣8）×（﹣2.5）＝﹣20；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据有理数的乘法和除法法则分别计算即可得出答案．【解答】解：①原式＝3，故①计算不正确；②原式＝20，故②计算不正确；③原式＝1，故③计算正确；④原式3，故④计算不正确；故选：A．【点评】本题考查了有理数的乘法和除法法则，注意先确定符号．17．（2022•顺义区一模）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米为18升．【分析】根据题意列出算式，再按照法则计算即可．【解答】解：根据题意得：3×10÷（50÷30）＝30＝30＝18（升），答：可以换得的粝米为18升．故答案为：18．【点评】本题考查有理数的乘除法的实际应用，根据题意列出算式是解题关键．18．（真题•东莞市期中）若|x﹣1|＝2，|y+1|＝3，且x，y异号，求x÷y的值．【分析】根据绝对值的意义求得x和y的值，然后再根据x，y异号确定x和y的取值，最后代入计算即可．【解答】解：∵|x﹣1|＝2，|y+1|＝3，∴x﹣1＝±2，y+1＝±3，解得：x＝3或﹣1，y＝2或﹣4，又∵x，y异号，∴x＝3，y＝﹣4或x＝﹣1，y＝2，当x＝3，y＝﹣4时，x÷y，当x＝﹣1，y＝2时，x÷y，综上，x÷y的值为或．【点评】本题考查绝对值的意义，有理数的除法运算，理解绝对值的定义，掌握有理数除法运算法则是解题关键．19．（2019秋•交城县期中）阅读下题解答：计算：．分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．解：（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．所以原式．根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：．【分析】原式根据阅读材料中的计算方法变形，计算即可即可得到结果．【解答】解：根据题意得：[（）2×（﹣6）]÷（）＝[（﹣6）]×（﹣42）＝﹣21+14﹣30+112＝75，则原式．【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（真题•淮南期中）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．（1）2020属于A类（填A，B或C）；（2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于B类（填A，B或C）；②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于B类（填A，B或C）；（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是①④（填序号）．①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类．【分析】（1）计算2020÷3，根据计算结果即可求解；（2）①从A类数中任取两个数进行计算，即可求解；②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，再除以3，根据余数判断即可求解；（3）根据m，n的余数之和，举例，观察即可判断．【解答】解：（1）2020÷3＝673…1，所以2020被3除余数为1，属于A类；故答案为：A；（2）①从A类数中任取两个数，如：（1+4）÷3＝1…2，（4+7）÷3＝3…2，被3除余数为2，则它们的和属于B类；②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，得（15×1+16×2+17×0）＝47，47÷3＝15…2，∴余数为2，属于B类；故答案为：①B；②B；（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，余数之和为：m×1+n×2＝m+2n，∵最后的结果属于C类，∴m+2n能被3整除，即m+2n属于C类，①正确；②若m＝1，n＝1，则|m﹣n|＝0，不属于B类，②错误；③若m＝1，n＝1，③错误；④观察可发现若m+2n属于C类，m，n必须是同一类，④正确；综上，①④正确．故答案为：①④．【点评】本题考查了新定义的应用和有理数的除法，解题的关键是熟练掌握新定义进行解答．【过关检测】一、单选题1．（2021·江苏）下列各组的两个数中，互为倒数的是（）A．3和﹣3 B．﹣3和 C．﹣3和 D．和【答案】B【分析】根据倒数的意义，两个数的积等于1，这两个数互为倒数，分别把每组的两个数相乘，看其积是否等于1；据此解答．【详解】解：A、3×=-9，不是互为倒数；

B、，是互为倒数；

C、，不是互为倒数；

D、，不是互为倒数；

故选：B．【点睛】本题是考查倒数的意义及特征，判断两个数是否是互为倒数，可以根据倒数的意义，也可看两个数的分子、分母的位置是否相反（整数看作分母为1的分数）．2．（2019·江苏七年级月考）两个不为0的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置，它们的商不变，那么这两个数（）A．一定相等 B．一定互为倒数 C．一定互为相反数 D．相等或互为相反数【答案】D【分析】设这两个数分别为a，b，根据题意可得，从而可得，从而判断出a和b的关系.【详解】设这两个数分别为a，b依题意可得：化简得：∴a=b或a=-b故答案选择：D.【点睛】本题考查的是有理数的除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数.3．（2021·江苏七年级期末）某商场举办“迎新春送大礼”的促销活动，全场商品一律打八折销售．小明买了一件商品，比标价少付了40元，那么他购买这件商品花了（）A．80元 B．120元 C．160元 D．200元【答案】C【分析】八折是指售价是标价的80%，把标价看成单位“1”，实际少付的钱数就是标价的（1-80%），它对应的数量是40元，根据分数除法的意义，用40除以（1-80%）即可求出标价，再减去40元，就是实际花的钱数．【详解】解：40÷（1-80%）

=40÷20%

=200（元）

200-40=160（元）

答：他购买这件商品花了160元．

故选：C．【点睛】解决本题关键是理解打折的含义，找出单位“1”，再根据分数除法的意义求出标价，从而解决问题．4．（2020·兴化市乐吾实验学校）在1，，，4这四个数中，任取两个数相乘，所得积最大的是（）A． B． C．4 D．6【答案】D【分析】根据有理数的乘法以及有理数的大小比较，列出乘积最大的算式计算即可得解．【详解】解：所得的积最大的是：．故选D．【点睛】本题考查有理数的乘法，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．5．（2020·江苏）已知，试求的值不可能为（）A．3 B．-3 C．0 D．-1【答案】C【分析】根据可分情况，然后根据绝对值的性质进行计算．【详解】解：∵，∴当a＞0，b＞0时，=1+1+1=3，当a＞0，b＜0时，=1-1-1=-1，当a＜0，b＞0时，=-1+1-1=-1，当a＜0，b＜0时，=-1-1-1=-3，∴的值不可能为0，故选C．【点睛】本题考查了绝对值的性质和有理数的乘法．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．6．（2020·兴化市板桥初级中学七年级月考）一个大于1的正整数a，与其倒数，相反数-a比较，大小关系正确的是（）A．-a＜≤a B．-a＜＜a C．＞a＞-a D．-a≤a≤【答案】B【分析】先根据倒数、相反数的定义可得，再根据有理数的大小比较法则即可得．【详解】因为，且为正整数，所以，所以，故选：B．【点睛】本题考查了相反数、倒数、有理数的大小比较法则，熟练掌握倒数与相反数的定义是解题关键．7．（2020·江苏七年级期中）有两个正数，，且，把大于等于且小于等于的所有数记作．例如，大于等于且小于等于的所有数记作．若整数在内，整数在内，那么的一切值中属于整数的个数为（）A．5个 B．个 C．个 D．个【答案】A【分析】先根据题意确定m、n的范围，然后用列举法即可解答．【详解】解：∵整数在内，整数在内∴5≤m≤15，-30≤n≤-20∴，即∴的一切值中属于整数有-2、-3、-4、-5、-6．故答案为A．【点睛】本题主要考查了有理数的除法，根据题意确定m、n的取值范围是解答本题的关键．二、填空题8．（2020·南通市东方中学七年级月考）计算：=______．【答案】-28【分析】根据有理数的乘法法则计算．【详解】解：=-28，故答案为：-28．【点睛】本题考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握运算法则．9．（2021·江苏南京一中七年级月考）直接写出计算结果：（﹣8）×（﹣2020）×（﹣0.125）＝________．【答案】﹣2020【分析】根据乘法的交换和结合律，进行简便计算，即可求解．【详解】解：（﹣8）×（﹣2020）×（﹣0.125）＝（﹣8）×（﹣0.125）×（﹣2020）＝1×（﹣2020）＝﹣2020．故答案为：﹣2020．【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算，掌握乘法交换律和结合律，是解题的关键．10．（2020·江苏）绝对值小于2020的所有整数的和为_____，积为_____．【答案】00【分析】根据题意写出绝对值小于2020的所有整数，然后进行求解即可．【详解】解：∵绝对值小于2020的所有整数是：0、±1、±2、…、±2019，∴绝对值小于2020的所有整数的和为0，积为0．故答案为：0、0．【点睛】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的加法及乘法运算是解题的关键．11．（2020·常州市丽华中学七年级月考）________×（﹣）＝﹣1．【答案】【分析】根据题意直接利用倒数积为1进行分析即可得答案．【详解】解：×（﹣）＝﹣1，故答案为：．【点睛】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法法则．三、解答题12．（2020·江苏汇文实验初中）若m、n互为相反数，p、q互为倒数，且=6，求的值．【答案】4或【分析】先根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的含义，求解的值，再整体代入即可得到答案.【详解】解：互为相反数，互为倒数，当时，原式当时，原式综上：代数式的值为或【点睛】本题考查的是相反数的定义，倒数的定义，绝对值的含义，有理数的加减运算，掌握以上知识是解题的关键.13．（2020·常州市丽华中学七年级月考）学习了有理数之后，老师给同学们出了一道题：计算：17×（﹣9），下面是小方给出的答案，请判断是否正确，若错误给出正确解答过程．解：原式＝﹣17×9＝﹣17＝﹣25．【答案】小方给出的答案错误；原式=﹣161．【分析】根据题意直接利用乘法分配律进行计算即可．【详解】解：小方给出的答案错误；17×（﹣9）＝﹣[（17+）×9]＝﹣（17×9+×9）＝﹣161．【点睛】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是正确确定积的符号并熟练掌握乘法分配律．14．（2020·南通西藏民族中学七年级期中）计算（1）（2）【答案】（1）-5；（2）【分析】（1）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；

（2）原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果.【详解】解：（1）原式=-9+30-28+2=-5；

（2）原式=（-1