新八年级数学讲义第6讲整式的乘法-提高班(学生版+解析)

第6讲整式的乘法

1同底数幂的乘法(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.【例题精选】例1(2023春•邗江区校级月考）计算：（1）﹣b2×（﹣b）2×（﹣b3）（2）（x﹣y）3×（y﹣2）2×（y﹣2）5例2(2023秋•浦东新区校级月考）（a﹣b）2•（b﹣a）3•（b﹣a）（结果用幂的形式表示）【随堂练习】1．(2023春•涟源市期末）计算a3•（﹣a）5﹣a8的结果等于（）A．﹣2a16 B．﹣2a8 C．﹣a16 D．02．(2023•海港区一模）下列算式中，结果等于x8的是（）A．x2•x2•x2•x2 B．x2+x2+x2+x2 C．x2•x4 D．x6+x22幂的乘方与积的乘方幂的乘方法则(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(，均为正整数)（2）逆用公式：，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.积的乘方法则(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(为正整数).（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：【例题精选】例1(2023秋•新宾县期末）若4a＝2，4b＝3，则42a+b的值为________．例2(2023秋•阳信县期末）am＝2，an＝3，a2m+3n＝_________．【随堂练习】1．(2023•天津模拟）计算（﹣2x2）3的结果等于_________．2．(2023春•东台市期中）＝__________．3单项式乘单项式单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.【例题精选】例1(2023秋•偃师市期中）计算2x•（﹣3xy）2•（﹣x2y）3的结果是（）A．18x8y5 B．6x9y5 C．﹣18x9y5 D．﹣6x4y5例2(2023秋•开福区校级月考）下列计算正确的是（）A．（x2）3＝x3 B．2x3•4x5＝8x8 C．x4•x3＝x20 D．（3x2y3）4＝81x6y7【随堂练习】1．(2023春•淮安期中）下列运算正确的是（）A．3x3•5x2＝15x6 B．（﹣3x）2•4x3＝﹣12x5 C．4y•（﹣2xy2）＝﹣8xy3 D．（﹣2a）3•（﹣3a）2＝﹣54a52．(2023•安徽模拟）计算（﹣x）3•（﹣2x）2的结果是（）A．﹣4x6 B．﹣4x5 C．2x5 D．4x64单项式乘多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.【例题精选】例1(2023春•西湖区校级月考）化简＝（）A．21s2t2﹣14st3 B． C．﹣21s2t2+14st3 D．例2(2023春•沙坪坝区校级月考）若要使x（x2+a）+3x﹣2b＝x3+5x+4恒成立，则a，b的值分别是（）A．﹣2，﹣2 B．2，2 C．2，﹣2 D．﹣2，2【随堂练习】1．(2023春•霍邱县期末）x3y•（xy2+z）等于（）A．x4y3+xyz B．xy3+x3yz C．zx14y4 D．x4y3+x3yz2．(2023•柳州）计算：x（x2﹣1）＝（）A．x3﹣1 B．x3﹣x C．x3+x D．x2﹣x3．(2023春•海曙区期中）把2a（ab﹣b+c）化简后得（）A．2a2b﹣ab+ac B．2a2﹣2ab+2ac C．2a2b+2ab+2ac D．2a2b﹣2ab+2ac5多项式乘以多项式知识概述知识概述多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.【例题精选】例1(2023春•玄武区期中）如果x2﹣kx﹣ab＝（x﹣a）（x+b），则k应为（）A．a﹣b B．a+b C．b﹣a D．﹣a﹣b例2(2023秋•交城县期末）若2x+m与x+2的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【随堂练习】1．(2023秋•襄州区期末）若（x+2）（x﹣1）＝x2+mx﹣2，则m的值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣12．(2023秋•德州期末）若（x2﹣px+q）（x﹣3）展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（）A．p＝3q B．p+3q＝0 C．q+3p＝0 D．q＝3p3．(2023秋•福清市期末）若（x+5）（2x﹣n）＝2x2+mx﹣15，则（）A．m＝7，n＝3 B．m＝7，n＝﹣3 C．m＝﹣7，n＝﹣3 D．m＝﹣7，n＝3综合练习一．选择题1．计算正确的是（）A．（﹣2019）0＝0 B．x6÷x2＝x3 C．（﹣a2b3）4＝﹣a8b12 D．3a4•2a＝6a52．下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（2a2）3＝6a6 C．2a﹣a＝2 D．（a2）3＝a63．下列运算，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．若3x＝a，3y＝b，则32x﹣y等于（）A． B． C．a2+ D．2ab二．填空题5．计算：＝．6．已知2x•4x•8y＝64，则x+y＝．三．解答题7．计算：（2a）2﹣a×3a+a2．8．计算：（2a2）3﹣a4•a2﹣（a3）29．计算：（1）x3•x•（﹣x）2（2）a3•（﹣a2）3（3）（m﹣1）3•（1﹣m）4+（1﹣m）5•（m﹣1）2（4）（﹣）2018×（1）2019第6讲整式的乘法

1同底数幂的乘法(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.【例题精选】例1(2023春•邗江区校级月考）计算：（1）﹣b2×（﹣b）2×（﹣b3）（2）（x﹣y）3×（y﹣2）2×（y﹣2）5分析：（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则进而计算得出答案；（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则进而计算得出答案．【解答】解：（1）﹣b2×（﹣b）2×（﹣b3）＝b2×b2×b3＝b7；（2）（x﹣y）3×（y﹣2）2×（y﹣2）5＝（x﹣y）3（y﹣2）7．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．例2(2023秋•浦东新区校级月考）（a﹣b）2•（b﹣a）3•（b﹣a）（结果用幂的形式表示）分析：根据同底数幂的乘法法则计算即可．【解答】解：（a﹣b）2•（b﹣a）3•（b﹣a）＝（b﹣a）2•（b﹣a）3•（b﹣a）＝（b﹣a）2+3+1＝（b﹣a）6．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【随堂练习】1．(2023春•涟源市期末）计算a3•（﹣a）5﹣a8的结果等于（）A．﹣2a16 B．﹣2a8 C．﹣a16 D．0【解答】解：a3•（﹣a）5﹣a8＝﹣a8﹣a8＝﹣2a8故选：B．2．(2023•海港区一模）下列算式中，结果等于x8的是（）A．x2•x2•x2•x2 B．x2+x2+x2+x2 C．x2•x4 D．x6+x2【解答】解：A、x2•x2•x2•x2＝x8，故此选项正确；B、x2+x2+x2+x2＝4x2，故此选项错误；C、x2•x4＝x6，故此选项错误；D、x6+x2，无法计算，故此选项错误．故选：A．2幂的乘方与积的乘方幂的乘方法则(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(，均为正整数)（2）逆用公式：，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.积的乘方法则(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(为正整数).（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：【例题精选】例1(2023秋•新宾县期末）若4a＝2，4b＝3，则42a+b的值为________．分析：根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可．【解答】解：∵4a＝2，4b＝3，∴42a+b＝（4a）2•4b＝22×3＝4×3＝12．故答案为：12．【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．例2(2023秋•阳信县期末）am＝2，an＝3，a2m+3n＝_________．分析：根据幂的乘方，可得要求的形式，根据同底数幂的乘法，可得答案．【解答】解：am＝2，an＝3，a2m＝4，a3n＝27a2m+3n＝a2m．a3n＝4×27＝108，故答案为：108．【点评】本题考查了幂的乘方，幂的乘方底数不变指数相乘，先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法．【随堂练习】1．(2023•天津模拟）计算（﹣2x2）3的结果等于_________．【解答】解：（﹣2x2）3＝﹣8x6，故答案为：﹣8x6．2．(2023春•东台市期中）＝__________．【解答】解：＝﹣×＝﹣；故答案为﹣；3单项式乘单项式单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.【例题精选】例1(2023秋•偃师市期中）计算2x•（﹣3xy）2•（﹣x2y）3的结果是（）A．18x8y5 B．6x9y5 C．﹣18x9y5 D．﹣6x4y5分析：根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；单项式乘单项式的法则计算即可．【解答】解：2x•（﹣3xy）2•（﹣x2y）3＝2x•9x2y2•（﹣x6y3）＝﹣18x9y5；故选：C．【点评】本题考查的是对积的乘方和单项式乘单项式的法则，运算时要注意符号的运算．例2(2023秋•开福区校级月考）下列计算正确的是（）A．（x2）3＝x3 B．2x3•4x5＝8x8 C．x4•x3＝x20 D．（3x2y3）4＝81x6y7分析：根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘以单项式等知识点进行作答．【解答】解：A、（x2）3＝x6，故这个选项错误；B、2x3•4x5＝8x8，故这个选项正确；C、x4•x3＝x7，故这个选项错误；D、（3x2y3）4＝81x8y12，故这个选项错误．故选：B．【点评】本题考查整式的运算．掌握同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘是解题的关键．【随堂练习】1．(2023春•淮安期中）下列运算正确的是（）A．3x3•5x2＝15x6 B．（﹣3x）2•4x3＝﹣12x5 C．4y•（﹣2xy2）＝﹣8xy3 D．（﹣2a）3•（﹣3a）2＝﹣54a5【解答】解：A、结果是15x5，故本选项错误；B、结果是36x5，故本选项错误；C、结果是﹣8xy3，故本选项正确；D、结果是﹣72a5，故本选项错误；故选：C．2．(2023•安徽模拟）计算（﹣x）3•（﹣2x）2的结果是（）A．﹣4x6 B．﹣4x5 C．2x5 D．4x6【解答】解：（﹣x）3•（﹣2x）2＝﹣x3•（4x2）＝﹣4x5，故选：B．4单项式乘多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.【例题精选】例1(2023春•西湖区校级月考）化简＝（）A．21s2t2﹣14st3 B． C．﹣21s2t2+14st3 D．分析：根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝21s2t2﹣st3，故选：B．【点评】本题考查整式，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．例2(2023春•沙坪坝区校级月考）若要使x（x2+a）+3x﹣2b＝x3+5x+4恒成立，则a，b的值分别是（）A．﹣2，﹣2 B．2，2 C．2，﹣2 D．﹣2，2分析：将已知等式左边展开，再比较等式左右两边对应项系数即可．【解答】解：∵x（x2+a）+3x﹣2b＝x3+5x+4恒成立，∴x3+（a+3）x﹣2b＝x3+5x+4，∴，解得．故选：C．【点评】本题考查了整式混合运算的运用，等式恒成立，等式左右两边对应项系数相等是解题的关键．【随堂练习】1．(2023春•霍邱县期末）x3y•（xy2+z）等于（）A．x4y3+xyz B．xy3+x3yz C．zx14y4 D．x4y3+x3yz【解答】解：原式＝x4y3+x3yz，故选：D．2．(2023•柳州）计算：x（x2﹣1）＝（）A．x3﹣1 B．x3﹣x C．x3+x D．x2﹣x【解答】解：x（x2﹣1）＝x3﹣x；故选：B．3．(2023春•海曙区期中）把2a（ab﹣b+c）化简后得（）A．2a2b﹣ab+ac B．2a2﹣2ab+2ac C．2a2b+2ab+2ac D．2a2b﹣2ab+2ac【解答】解：原式＝2a2b﹣2ab+2ac．故选：D．5多项式乘以多项式知识概述知识概述多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.【例题精选】例1(2023春•玄武区期中）如果x2﹣kx﹣ab＝（x﹣a）（x+b），则k应为（）A．a﹣b B．a+b C．b﹣a D．﹣a﹣b分析：根据多项式与多项式相乘知（x﹣a）（x+b）＝x2+（b﹣a）x﹣ab，据此可以求得k的值．【解答】解：∵（x﹣a）（x+b）＝x2+（b﹣a）x﹣ab，又∵x2﹣kx﹣ab＝（x﹣a）（x+b），∴x2﹣kx﹣ab＝x2+（b﹣a）x﹣ab，∴﹣k＝b﹣a，k＝a﹣b，故选：A．【点评】本题主要考查多项式与多项式相乘，熟记计算方法是解题的关键．例2(2023秋•交城县期末）若2x+m与x+2的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2分析：先根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，根据已知得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：（2x+m）（x+2）＝2x2+4x+mx+2m＝2x2+（4+m）x+2m，∵若2x+m与x+2的乘积中不含的x的一次项，∴4+m＝0，解得：m＝﹣4，故选：A．【点评】本题考查了多项式乘以多项式和解一元一次方程，能根据多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键．【随堂练习】1．(2023秋•襄州区期末）若（x+2）（x﹣1）＝x2+mx﹣2，则m的值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【解答】解：因为（x+2）（x﹣1）＝x2﹣x+2x﹣2＝x2+x﹣2＝x2+mx﹣2，所以m＝1，故选：C．2．(2023秋•德州期末）若（x2﹣px+q）（x﹣3）展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（）A．p＝3q B．p+3q＝0 C．q+3p＝0 D．q＝3p【解答】解：（x2﹣px+q）（x﹣3）＝x3﹣3x2﹣px2+3px+qx﹣3q＝x3+（﹣p﹣3）x2+（3p+q）x﹣3q，∵结果不含x的一次项，∴q+3p＝0．故选：C．3．(2023秋•福清市期末）若（x+5）（2x﹣n）＝2x2+mx﹣15，则（）A．m＝7，n＝3 B．m＝7，n＝﹣3 C．m＝﹣7，n＝﹣3 D．m＝﹣7，n＝3【解答】解：（x+5）（2x﹣n）＝2x2﹣nx+10x﹣5n＝2x2+（﹣n+10）x﹣5n，∵（x+5）（2x﹣n）＝2x2+mx﹣15，∴﹣n+10＝m，5n＝15，解得：m＝7，n＝3，故选：A．综合练习一．选择题1．计算正确的是（）A．（﹣2019）0＝0 B．x6÷x2＝x3 C．（﹣a2b3）4＝﹣a8b12 D．3a4•2a＝6a5【解答】解：A、（﹣2019）0＝1，故此选项错误；B、x6÷x2＝x4，故此选项错误；C、（﹣a2b3）4＝