八年级数学下册专题01二次根式压轴(四大类型)(原卷版+解析)

专题01二次根式化简常考压轴（四大类型）专题分析专题分析本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“解直角三角形”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础，并为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备。【类型一】利用数轴化简根式】【类型二】含字母的二次根式化简(注意范围)】【类型三】双重二次根式化简【类型四】二次根式有意义的条件【类型一：利用数轴化简根式】【典例1】已知，如图所示，实数a、b、c在数轴上的位置．化简：．【变式1-1】已知实数a，b在数轴上的对应点如图，则化简：，得（）A．﹣3a B．﹣a+2b C．﹣2a D．a﹣b【变式1-2】已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简：．【变式1-3】已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：+﹣|a﹣b|．【变式1-4】已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简．【类型二：含字母的二次根式化简(注意范围)】【典例2】化简﹣x的结果是（）A． B．﹣ C．﹣ D．﹣【变式2-1】已知a＞b，则的化简结果是（）A． B．﹣ C． D．﹣【变式2-2】化简的结果正确的是（）A．2m2 B．﹣2m2 C．﹣2m2﹣ D．2m2【变式2-3】化简﹣a的结果是（）A．﹣2a B．﹣2a C．0 D．2a【变式2-4】化简二次根式的正确结果是（）A． B． C． D．【类型三：双重二次根式化简】【典例3】材料：如何将双重二次根式（a＞0，b＞0，a±2＞0）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（）2+（）2＝a，即m+n＝a，且使＝，即m•n＝b，那么＝（）2+（）2±2＝（±）2∴＝，双重二次根式得以化简．例如化简：因为3＝1+2且2＝1×2∴3±2＝（）2+（）2±2×＝|1±|．由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n＝a，且m•n＝b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）填空：＝，＝；（2）化简：；（3）计算：+．【变式3-1】阅读材料：小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小李同学进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值；（3）化简：．【变式3-2】【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；+2×1×＝（1+）2．【类比归纳】（1）请你仿照小明的方法将7+2化成另一个式子的平方；（2）请运用小明的方法化简；．【变式探究】（3）若a+2＝，且a，m，n均为正整数，求a的值．【变式3-3】先阅读下列解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得＝m，，那么便有：（a＞b）．例如：化简：解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：＝7，，所以．问题：（1）填空：＝，＝；（2）化简：（请写出计算过程）；（3）化简：．【类型四：二次根式有意义的条件】【典例4】已知x，y为实数，y＝，求xy的平方根．【变式4-1】已知y＝﹣+9x，求的平方根．【变式4-2】已知+2＝b+8．（1）求a的值；（2）求a2﹣b2的平方根．【变式4-3】已知x满足|2015﹣x|+＝x，求x﹣20152的值．1．若2＜a＜3，则等于（）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣12．把a中根号外面的因式移到根号内的结果是．3．若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝．4．若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，试化简：﹣+|b+c|+|a﹣c|．5．阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的康康进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为正整数），则有（有理数和无理数分别对应相等），∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样康康就找到了一种把式子化为平方式的方法．请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含c、d的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）若，且e、f均为正整数，试化简：；（3）化简：．6．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mn＝，则a±2将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2，从而使得以化简．例如，因为5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2×＝（+）2，所以＝＝+．请仿照上面的例子化简下列根式：（1）；（2）．7．x、y均为实数y＜++，化简：．8．若＝•，求（x+1）的值．9．先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a，b使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•＝，那么便有＝＝±（a＞b），例如：化简．解：首先把化为，这里m＝7，n＝12；由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•＝，∴＝＝＝2+．由上述例题的方法化简：（1）；（2）；（3）．10．已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简+|a+b|+|﹣a|﹣．11．已知△ABC的三边长为a，b，c，化简+﹣．专题01二次根式化简常考压轴（四大类型）专题分析专题分析本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“解直角三角形”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础，并为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备。【类型一】利用数轴化简根式】【类型二】含字母的二次根式化简(注意范围)】【类型三】双重二次根式化简【类型四】二次根式有意义的条件【类型一：利用数轴化简根式】【典例1】已知，如图所示，实数a、b、c在数轴上的位置．化简：．【答案】a﹣2c．【解答】解：根据数轴可得：c＜b＜0＜a，∴a﹣b＞0，c﹣a＜0，b+c＜0，∴＝a﹣（a﹣b）﹣（c﹣a）﹣（b+c）＝a﹣a+b﹣c+a﹣b﹣c＝a﹣2c．【变式1-1】已知实数a，b在数轴上的对应点如图，则化简：，得（）A．﹣3a B．﹣a+2b C．﹣2a D．a﹣b【答案】A【解答】解：由题意得：b＜0，a＞0，|b|＞|a|，∴a+b＜0，a﹣b＞0，∴原式＝﹣（a+b）﹣（a﹣b）﹣a＝﹣a﹣b﹣a+b﹣a＝﹣3a．故选：A．【变式1-2】已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简：．【答案】﹣c．【解答】解：由数轴可知，c＜b＜0＜a，且|c|＞|b|＞|a|，原式＝（﹣b）﹣（a﹣b）+a﹣c＝﹣b﹣a+b+a﹣c＝﹣c．【变式1-3】已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：+﹣|a﹣b|．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a＜﹣1，b＞1，a＜b∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴原式＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|＝﹣（a+1）+（b﹣1）+（a﹣b）＝﹣a﹣1+b﹣1+a﹣b＝﹣2【变式1-4】已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简．【答案】见试题解答内容【解答】解：由数轴可得：a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，故原式＝﹣a+（a+b）+c﹣a﹣b﹣c＝﹣a．【类型二：含字母的二次根式化简(注意范围)】【典例2】化简﹣x的结果是（）A． B．﹣ C．﹣ D．﹣【答案】A【解答】解：原式＝﹣x＝﹣x•＝﹣x•＝，故选：A．【变式2-1】已知a＞b，则的化简结果是（）A． B．﹣ C． D．﹣【答案】D【解答】解：由题意得：≥0，∵a＞b，∴（b﹣a）2＞0，∴a＜0．∴原式＝×＝×＝＝＝﹣．故选：D．【变式2-2】化简的结果正确的是（）A．2m2 B．﹣2m2 C．﹣2m2﹣ D．2m2【答案】D【解答】解：∵﹣4m2n≥0，而m2≥0，∴n≤0，∴＝|2m2|＝2m2，故选：D．【变式2-3】化简﹣a的结果是（）A．﹣2a B．﹣2a C．0 D．2a【答案】C【解答】解：﹣a＝﹣a﹣a2•＝﹣a+a＝0．故选：C．【变式2-4】化简二次根式的正确结果是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：根据代数式有意义得：x≠0，﹣x3≥0，∴x＜0，∴原式＝＝•|x|＝•（﹣x）＝﹣．故选：D．【类型三：双重二次根式化简】【典例3】材料：如何将双重二次根式（a＞0，b＞0，a±2＞0）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（）2+（）2＝a，即m+n＝a，且使＝，即m•n＝b，那么＝（）2+（）2±2＝（±）2∴＝，双重二次根式得以化简．例如化简：因为3＝1+2且2＝1×2∴3±2＝（）2+（）2±2×＝|1±|．由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n＝a，且m•n＝b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）填空：＝±，＝±；（2）化简：；（3）计算：+．【答案】（1）±，±；（2）±；（3）或．【解答】解：（1）＝＝±，＝＝±，故答案为：±，±；（2）＝＝＝±；（3）+＝+＝+＝﹣++＝，同理可得+＝．【变式3-1】阅读材料：小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小李同学进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值；（3）化简：．【答案】（1）m2+3n2，2mn；（2）a＝13或a＝7；（3）1+2．【解答】解：（1）＝m2+3n2+2mn，∴a＝m2+3n2，b＝2mn，古答案为：m2+3n2，2mn；（2），由（1）可知a＝m2+3n2，4＝2mn，∵m、n均为正整数，∴m＝1，n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或a＝7；（3）＝＝1+2．【变式3-2】【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；+2×1×＝（1+）2．【类比归纳】（1）请你仿照小明的方法将7+2化成另一个式子的平方；（2）请运用小明的方法化简；．【变式探究】（3）若a+2＝，且a，m，n均为正整数，求a的值．【答案】（1）（）2；（2）3﹣；（3）a＝10或22．【解答】解：（1）7+2＝（2+5）+2＝（）2+（）2+2＝（）2；（2）＝＝＝3﹣；（3）∵a+2＝，a，m，n均为正整数，∴a+2＝（）2，a+2××1＝（）2，∴m＝3，n＝7或m＝21，n＝1，∴a＝3+7＝10或a＝21+1＝22．【变式3-3】先阅读下列解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得＝m，，那么便有：（a＞b）．例如：化简：解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：＝7，，所以．问题：（1）填空：＝，＝；（2）化简：（请写出计算过程）；（3）化简：．【答案】（1）；；（2）；（3）．【解答】解：（1）原式＝＝＝；原式＝＝＝；故答案为：；；（2）原式＝＝＝；（3）原式＝++++＝1++2﹣+﹣2+＝﹣1．【类型四：二次根式有意义的条件】【典例4】已知x，y为实数，y＝，求xy的平方根．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意，得，≥0，且x﹣2≠0解得x＝﹣2，y＝﹣xy＝，xy的平方根是【变式4-1】已知y＝﹣+9x，求的平方根．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得，3x﹣1≥0，1﹣3x≥0，解得，x＝，则y＝3，＝2，则的平方根是±．【变式4-2】已知+2＝b+8．（1）求a的值；（2）求a2﹣b2的平方根．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意知a﹣17≥0，17﹣a≥0，则a﹣17＝0，解得：a＝17；（2）由（1）可知a＝17，则b+8＝0，解得：b＝﹣8，故a2﹣b2＝172﹣（﹣8）2＝225，则a2﹣b2的平方根为：±＝±15．【变式4-3】已知x满足|2015﹣x|+＝x，求x﹣20152的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得，x﹣2016≥0，解得，x≥2016，则x﹣2015+＝x，∴＝2015，解得x＝20152+2016，则x﹣20152＝2016．1．若2＜a＜3，则等于（）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1【答案】C【解答】解：∵2＜a＜3，∴＝a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5．故选：C2．把a中根号外面的因式移到根号内的结果是﹣．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝﹣＝﹣，故答案为：﹣3．若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝2018．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵|2017﹣m|+＝m，∴m﹣2018≥0，m≥2018，由题意，得m﹣2017+＝m．化简，得＝2017，平方，得m﹣2018＝20172，m﹣20172＝2018．故答案为：2018．4．若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，试化简：﹣+|b+c|+|a﹣c|．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意得：a＜b＜0＜c，且|c|＜|b|＜|a|，∴a+b＜0，b+c＜0，a﹣c＜0，则原式＝|a|﹣|a+b|+|b+c|+|a﹣c|＝﹣a+a+b﹣b﹣c﹣a+c＝﹣a．5．阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的康康进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为正整数），则有（有理数和无理数分别对应相等），∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样康康就找到了一种把式子化为平方式的方法．请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含c、d的式子分别表示a、b，得：a＝c2+3d2，b＝2cd；（2）若，且e、f均为正整数，试化简：；（3）化简：．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵，∴a＝c2+3d2，b＝2cd．故答案为：c2+3d2，2cd．（2）∵，∴．（3）＝＝＝＝＝＝＝．6．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mn＝，则a±2将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2，从而使得以化简．例如，因为5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2×＝（+）2，所以＝＝+．请仿照上面的例子化简下列根式：（1）；（2）．【答案】（1）+1；（2）﹣2．【解答】解：（1）∵4+2＝（）2+12+2××1＝（+1）2，∴＝＝|+1|＝+1，（