新八年级数学讲义第1讲三角形-提高班(学生版+解析)

第1讲三角形1与三角形相关的线段1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．2.三角形按“边”分类：3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.【例题精选】例1(2023秋•宿松县期末）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A． B． C． D．例2(2023秋•桐梓县期末）在△ABC中，AB＝2cm，AC＝5cm，若BC的长为整数，则BC的长可能是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．7cm【随堂练习】1．(2023•越城区模拟）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A． B． C． D．2．(2023秋•滑县期末）以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，4cm B．3cm，3cm，6cm C．5cm，6cm，12cm D．4cm，6cm，8cm3．(2023秋•江北区期末）已知三角形的两边长分别为8和4，则第三边长可能是（）A．3 B．4 C．8 D．122与三角形有关的角1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.【例题精选】例1(2023秋•松滋市期末）如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝__________．例2(2023春•成都期中）如图，在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，C为AE延长线上的一点，D为AB边上的一点，DC交BE于F，若∠ADC＝80°，∠B＝30°，求∠C的度数．【随堂练习】1．(2023秋•揭阳期末）在一个三角形中，如果一个外角是其相邻内角的4倍，那么这个外角的度数为（）A．36° B．45° C．135° D．144°2．(2023秋•松滋市期末）如图，已知D为BC上一点，∠B＝∠1，∠BAC＝64°，则∠2的度数为（）A．37° B．64° C．74° D．84°3多边形多边形的内角和及外角和公式

1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)．

要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.

要点诠释：(1)外角和公式的应用：

①已知外角度数，求正多边形边数；

②已知正多边形边数，求外角度数.

(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：

①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.三角形的内角和与外角和【例题精选】例1(2023春•宜兴市期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝160°，∠B＝50°，∠ADC、∠BCD的平分线相交于点E，则∠CED＝_________°．例2(2023春•建湖县期中）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（）A．180° B．90° C．210° D．270°【随堂练习】1．(2023•曲江区校级一模）任意五边形的内角和与外角和的差为_______度．2．(2023•海淀区校级模拟）一个多边形的每一个外角都是72°，这个多边形的内角和为（）A．360° B．540° C．720° D．900°3．(2023•浙江自主招生）若一个正多边形的每一个内角为156°，则这个正多边形的边数是（）A．14 B．15 C．16 D．17综合练习一．选择题1．三角形的高线、中线、角平分线都是（）A．直线 B．线段 C．射线 D．以上情况都有2．四边形剪去一个角后，内角和将（）A．减少180° B．不变 C．增加180° D．以上都有可能3．下列说法：①满足a+b＞c的a、b、c三条线段一定能组成三角形；②三角形的三条高交于三角形内一点；③三角形的外角大于它的任何一个内角，其中错误的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．80° B．90° C．100° D．110°5．若某三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（）A．2 B．7 C．8 D．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC和∠BAC的平分线交于一点O，∠ABO＝30°，则∠AOB的度数是（）A．100° B．125° C．135° D．130°7．下列各组数不可能是一个三角形的边长的是（）A．7，8，9 B．5，6，7 C．3，4，5 D．1，2，3二．解答题8．小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整．在△ABC边BC上任取一点E，作DE∥AC交AB于点D，作EF∥AB交AC于点F．∵DE∥AC，AB∥EF，∴∠1＝，∠3＝（）∵AB∥EF，∴∠4＝（）∵DE∥AC，∴∠4＝（）∴∠2＝．（）∵∠1+∠2+∠3＝180°，∴∠A+∠B+∠C＝．第1讲三角形1与三角形相关的线段1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．2.三角形按“边”分类：3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.【例题精选】例1(2023秋•宿松县期末）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A． B． C． D．分析：根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．例2(2023秋•桐梓县期末）在△ABC中，AB＝2cm，AC＝5cm，若BC的长为整数，则BC的长可能是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．7cm分析：已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围；又知道第三边长为整数，就可以知道第三边的长度．【解答】解：根据三角形的三边关系，得5﹣2＜BC＜5+2，即3＜BC＜7．又BC的长为整数，则BC的长可能是6cm．故选：C．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．【随堂练习】1．(2023•越城区模拟）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，故选：A．2．(2023秋•滑县期末）以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，4cm B．3cm，3cm，6cm C．5cm，6cm，12cm D．4cm，6cm，8cm【解答】解：A、1+2＜4，故不能构成三角形，选项错误；B、3+3＝6，故不能构成三角形，选项错误；C、5+6＜12，故不能构成三角形，选项错误；D、正确．故选：D．3．(2023秋•江北区期末）已知三角形的两边长分别为8和4，则第三边长可能是（）A．3 B．4 C．8 D．12【解答】解：设第三边的长为x，∵三角形两边的长分别是4和8，∴8﹣4＜x＜8+4，即4＜x＜12．故选：C．2与三角形有关的角1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.【例题精选】例1(2023秋•松滋市期末）如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝__________．分析：求出∠ABC+∠ACB＝130°，根据角平分线定义得出∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，求出∠OBC+∠OCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝65°，根据三角形的内角和定理得出∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），代入求出即可．【解答】解；∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∵∠B和∠C的平分线交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°，故答案为：115°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线、高的定义等知识点，关键是求出∠OBC+∠OCB的度数．例2(2023春•成都期中）如图，在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，C为AE延长线上的一点，D为AB边上的一点，DC交BE于F，若∠ADC＝80°，∠B＝30°，求∠C的度数．分析：根据三角形内角和定理，即可得到∠A的度数，再根据三角形内角和定理，即可得到∠C的度数．【解答】解：∵在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠B＝30°∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，∵在△ADC中，∠A＝60°，∠ADC＝80°∴∠C＝180°﹣60°﹣80°＝40°，答：∠C的度数为40°．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题时注意：三角形内角和等于180°．【随堂练习】1．(2023秋•揭阳期末）在一个三角形中，如果一个外角是其相邻内角的4倍，那么这个外角的度数为（）A．36° B．45° C．135° D．144°【解答】解：设这个内角为α，则与其相邻的外角为4α，所以，α+4α＝180°，解得α＝36°，4α＝4×36°＝144°．故选：D．2．(2023秋•松滋市期末）如图，已知D为BC上一点，∠B＝∠1，∠BAC＝64°，则∠2的度数为（）A．37° B．64° C．74° D．84°【解答】解：∵∠B＝∠1，∠BAC＝64°，∴∠B+∠BAD＝∠BAC＝64°．∵∠2是△ABD的外角，∴∠2＝∠B+∠BAD＝64°．故选：B．3多边形多边形的内角和及外角和公式

1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)．

要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.

要点诠释：(1)外角和公式的应用：

①已知外角度数，求正多边形边数；

②已知正多边形边数，求外角度数.

(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：

①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.三角形的内角和与外角和【例题精选】例1(2023春•宜兴市期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝160°，∠B＝50°，∠ADC、∠BCD的平分线相交于点E，则∠CED＝_________°．分析：首先根据四边形内角和可得∠ADC+∠DCB＝360°﹣160°﹣50°＝150°，再根据角平分线的性质可得∠EDC+∠ECD＝×150°＝80°，再进一步利用三角形内角和定理可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD中，∠A＝160°，∠B＝50°，∴∠ADC+∠DCB＝360°﹣160°﹣50°＝150°，∵∠ADC、∠DCB的平分线相交于点E，∴∠EDC＝∠ADC，∠ECD＝∠BCD，∴∠EDC+∠ECD＝×150°＝75°，∴∠CED＝180°﹣75°＝105°．故答案为：105．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3）且n为整数）．例2(2023春•建湖县期中）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（）A．180° B．90° C．210° D．270°分析：根据两直线平行，同旁内角互补得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．【解答】解：延长AB，DC，∵AB∥CD，∴∠4+∠5＝180°，根据多边形的外角和定理可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°．故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键．【随堂练习】1．(2023•曲江区校级一模）任意五边形的内角和与外角和的差为_______度．【解答】解：任意五边形的内角和是180×（5﹣2）＝540度；任意五边形的外角和都是360度；所以任意五边形的内角和与外角和的差为540﹣360＝180度．故答案为：180．2．(2023•海淀区校级模拟）一个多边形的每一个外角都是72°，这个多边形的内角和为（）A．360° B．540° C．720° D．900°【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都是72°，多边形的外角和等于360°，∴这个多边形的边数为：360÷72＝5，∴这个多边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°．故选：B．3．(2023•浙江自主招生）若一个正多边形的每一个内角为156°，则这个正多边形的边数是（）A．14 B．15 C．16 D．17【解答】解：180°﹣156°＝24°，360°÷24°＝15．故选：B．综合练习一．选择题1．三角形的高线、中线、角平分线都是（）A．直线 B．线段 C．射线 D．以上情况都有【解答】解：三角形的高线、角平分线和中线都是线段，故选：B．2．四边形剪去一个角后，内角和将（）A．减少180° B．不变 C．增加180° D．以上都有可能【解答】解：如下图所示：观察图形可知，四边形剪掉一个角后，剩下的图形可能是五边形，也可能是四边形，还可能是三角形．则剩下的纸片图形是三角形或四边形或五边形．内角和是：180°或360°或540°．故选：D．3．下列说法：①满足a+b＞c的a、b、c三条线段一定能组成三角形；②三角形的三条高交于三角形内一点；③三角形的外角大于它的任何一个内角，其中错误的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：（1）满足a+b＞c且a＜c，b＜c的a、b、c三条线段一定能组成三角形，故错误；（2）只有锐角三角形的三条高交于三角形内一点，故错误；（3）三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角，故错误；故选：D．4．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．80° B．90° C．100° D．110°【解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，由折叠的性质可知，∠C′＝∠C＝40°，∴∠3＝∠1+∠C′＝60°，∴∠2＝∠C+∠3＝100°，故选：C．5．若某三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（）A．2 B．7 C．8 D．1【解答】解：设