备战高考数学一轮复习第九章 解析几何

第九章|解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式点斜式、两点式及一般式1．直线的倾斜角定义当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角规定当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0范围直线l倾斜角的取值范围是[0，π)2.斜率公式定义式直线l的倾斜角为αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))，则斜率k＝tan_α，当直线的倾斜角α＝90°，直线的斜率不存在坐标式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).若x1＝x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°3.直线方程的5种形式名称方程适用条件点斜式y－y0＝k(x－x0)与x轴不垂直的直线斜截式y＝kx＋b与x轴不垂直的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)与两坐标轴均不垂直的直线截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面内所有直线1．倾斜角与斜率的关系(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系．(2)当直线l的倾斜角α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，α越大，直线l的斜率越大．(3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．2．谨记以下几个关键点(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．(2)当直线与x轴不垂直时，可设直线的方程为y＝kx＋b；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为x＝ty＋b.1．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1 B．4C．1或3 D．1或4答案：A2．过点P(－1，eq\r(3))且倾斜角为30°的直线方程为()A.eq\r(3)x－3y＋4eq\r(3)＝0 B.eq\r(3)x－y＋2eq\r(3)＝0C.eq\r(3)x－3y＋2eq\r(3)＝0 D.eq\r(3)x－y＝0答案：A3．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是()A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0解析：选D因为直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.4．已知三点A(2,1)，B(5,2)，C(4,3)，则AB的斜率为________；BC的倾斜角为________．答案：eq\f(1,3)eq\f(3π,4)5．直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________.解析：令x＝0，得y＝eq\f(k,4)；令y＝0，得x＝－eq\f(k,3)，则有eq\f(k,4)－eq\f(k,3)＝2，所以k＝－24.答案：－24层级一/基础点——自练通关(省时间)基础点(一)直线的倾斜角和斜率[题点全训]1．在平面直角坐标系内，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则边AC，AB所在直线的斜率之和为()A．－2eq\r(3) B．0C.eq\r(3) D．2eq\r(3)解析：选B由题意知，△ABC的另外两边所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以直线的斜率之和为tan60°＋tan120°＝eq\r(3)＋(－eq\r(3))＝0.2．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))解析：选B依题意，直线的斜率k＝－eq\f(1,a2＋1)∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).3．已知直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq\r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________________．解析：如图，∵kAP＝eq\f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq\f(\r(3)－0,0－1)＝－eq\r(3)，∴k∈(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)4．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．解析：因为kAC＝eq\f(5－3,6－4)＝1，kAB＝eq\f(a－3,5－4)＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.答案：4[一“点”就过](1)求倾斜角的取值范围的一般步骤：①求出斜率k＝tanα的取值范围，但需注意斜率不存在的情况；②利用正切函数的单调性，借助函数图象或单位圆，数形结合确定倾斜角α的取值范围．(2)注意倾斜角的取值范围是[0，π)，若直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为eq\f(π,2)，此时直线垂直于x轴．基础点(二)直线的方程[题点全训]1．直线3x－y－1＝0的斜率k及在y轴上的截距b分别是()A．k＝3，b＝－1 B．k＝－3，b＝1C．k＝eq\f(1,3)，b＝1 D．k＝3，b＝1解析：选A由直线3x－y－1＝0得y＝3x－1，所以直线的斜率为k＝3，在y轴上的截距b＝－1.2．过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0C．y＝2x或x＋y－3＝0 D．y＝2x或x－y＋1＝0解析：选D当直线过原点时，其斜率为eq\f(2－0,1－0)＝2，故直线方程为y＝2x；当直线不过原点时，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，代入点(1,2)可得eq\f(1,a)＋eq\f(2,－a)＝1，解得a＝－1，故直线方程为x－y＋1＝0.综上，可知所求直线方程为y＝2x或x－y＋1＝0.3．已知直线ax＋y－2＋a＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝()A．1B．－1C．－2或1 D．2或1解析：选D当a＝0时，直线y＝2，此时不符合题意，应舍去；当a＝2时，直线l：2x＋y＝0，在x轴与y轴上的截距均为0，符合题意；当a≠0且a≠2时，由直线l：ax＋y－2＋a＝0可得横截距为eq\f(2－a,a)，纵截距为2－a.由eq\f(2－a,a)＝2－a，解得a＝1.综上，a的值是2或1.4．在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则直线MN的方程为()A．5x－2y－5＝0 B．2x－5y－5＝0C．5x－2y＋5＝0 D．2x－5y＋5＝0解析：选A设C(x，y)，M(0，m)，N(n,0)，因为A(5，－2)，B(7,3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋5,2)＝0，,\f(y－2,2)＝m，))且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋7,2)＝n，,\f(y＋3,2)＝0，))解得x＝－5，y＝－3，m＝－eq\f(5,2)，n＝1，即C(－5，－3)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(5,2)))，N(1,0)，所以MN所在直线方程为eq\f(y＋\f(5,2),\f(5,2))＝eq\f(x,1)，即5x－2y－5＝0.[一“点”就过]求直线方程的方法直接法根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，求出方程中的系数，写出直线方程待定系数法先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程[提醒](1)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用，选用点斜式或斜截式时，先分类讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.(2)求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0，且A≥0.层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)重难点直线方程的综合问题[典例]过点P(4,1)作直线l，分别交x轴，y轴的正半轴于点A，B.(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．[解]设直线l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1.(1)因为eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1≥2eq\r(\f(4,a)·\f(1,b))＝eq\f(4,\r(ab))，所以ab≥16，S△AOB＝eq\f(1,2)ab≥8，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立．所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为eq\f(x,8)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋4y－8＝0.(2)因为eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(1,b)))＝5＋eq\f(a,b)＋eq\f(4b,a)≥9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立．所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋2y－6＝0.[方法技巧]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．[针对训练]1．函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值为()A．2 B．4C．8 D．1解析：选B∵函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)，∴把A(1,1)代入直线方程得m＋n＝1(mn>0)．∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))(m＋n)＝2＋eq\f(n,m)＋eq\f(m,n)≥2＋2eq\r(\f(n,m)·\f(m,n))＝4当且仅当m＝n＝eq\f(1,2)时取等号，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值为4.2．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，若0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.解析：直线l1可写成a(x－2)＝2(y－2)，直线l2可写成2(x－2)＝a2(2－y)，所以直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝eq\f(1,2)×2×(2－a)＋eq\f(1,2)×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(15,4)，故当a＝eq\f(1,2)时，四边形的面积最小．答案：eq\f(1,2)层级三/细微点——优化完善(扫盲点)1．(混淆倾斜角与斜率的关系)若直线x＝2的倾斜角为α，则α的值为()A．0B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,2) D．不存在解析：选C因为直线x＝2垂直于x轴，所以倾斜角α为eq\f(π,2).2．(借助数学文化)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为()A．x＋2y＋3＝0 B．2x＋y＋3＝0C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0解析：选C因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，又A(2,0)，B(0,4)，故AB的中点为(1,2)，kAB＝－2，故AB的中垂线方程为y－2＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y＋3＝0，故选C.3.(创新考查方式)函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得eq\f(fx1,x1)＝eq\f(fx2,x2)＝…＝eq\f(fxn,xn)，则n的取值范围为()A．{3,4} B．{2,3,4}C．{3,4,5} D．{2,3}解析：选Beq\f(fx1,x1)＝eq\f(fx2,x2)＝…＝eq\f(fxn,xn)的几何意义是指曲线上存在n个点与坐标原点连线的斜率相等，即n指过原点的直线与曲线的交点个数，由图可得n可以为2,3,4.4．(忽略斜率不存在的情况)已知直线l过点(5,10)，且到原点的距离为5，则直线l的方程为____________．解析：当斜率不存在时，所求直线的方程为x－5＝0，满足题意；当斜率存在时，设其斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0，由点到直线的距离公式得eq\f(|10－5k|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝eq\f(3,4).故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.答案：x－5＝0或3x－4y＋25＝05．(忽视截距为0的情况)经过点P(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为________________．解析：设直线l在x轴、y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(4,1)，所以l的方程为y＝eq\f(1,4)x，即x－4y＝0.若a≠0，设l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，因为l过点(4,1)，所以eq\f(4,a)＋eq\f(1,a)＝1，所以a＝5，所以l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，所求直线的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.答案：x－4y＝0或x＋y－5＝0[课时验收评价]1．直线l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\r(3)C．－eq\r(3) D．－eq\f(\r(3),3)解析：选A设直线l的斜率为k，则k＝－eq\f(sin30°,cos150°)＝eq\f(\r(3),3).2．已知直线l过点(－2,1)，且倾斜角是eq\f(π,2)，则直线l的方程是()A．x＋y＋1＝0 B．y＝－eq\f(1,2)xC．x＋2＝0 D．y－1＝0解析：选C由于直线l过点(－2,1)，且倾斜角是eq\f(π,2)，则直线l的方程为x＝－2，即x＋2＝0.3．倾斜角为120°且在y轴上的截距为－2的直线方程为()A．y＝－eq\r(3)x＋2 B．y＝－eq\r(3)x－2C．y＝eq\r(3)x＋2 D．y＝eq\r(3)x－2解析：选B斜率为tan120°＝－eq\r(3)，利用斜截式直接写出方程，即y＝－eq\r(3)x－2.4.如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k1<k3<k2D．k3<k2<k1解析：选C由题图可知k1<0，k2>k3>0，所以k2>k3>k1.5．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0,0)，M(－1,3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为()A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0解析：选C因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，故选C.6．方程y＝ax－eq\f(1,a)表示的直线可能是()解析：选C当a＞0时，直线的斜率k＝a＞0，在y轴上的截距b＝－eq\f(1,a)＜0，各选项都不符合此条件；当a＜0时，直线的斜率k＝a＜0，在y轴上的截距b＝－eq\f(1,a)＞0，只有选项C符合此条件．故选C.7．过点(5,2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是()A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0解析：选B设所求直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为2a.①当a＝0时，所求直线经过点(5,2)和(0,0)，所以直线方程为y＝eq\f(2,5)x，即2x－5y＝0；②当a≠0时，设所求直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,2a)＝1，又直线过点(5,2)，所以eq\f(5,a)＋eq\f(2,2a)＝1，解得a＝6，所以所求直线方程为eq\f(x,6)＋eq\f(y,12)＝1，即2x＋y－12＝0.综上，所求直线方程为2x－5y＝0或2x＋y－12＝0.8．直线(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))解析：选C直线的斜率k＝－(1－a2)＝a2－1，∵a2≥0，∴k＝a2－1≥－1.由倾斜角和斜率的关系(如图所示)得，该直线倾斜角的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).9．当0<k<eq\f(1,2)时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选B由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－y＝k－1，,ky－x＝2k))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,k－1)，,y＝\f(2k－1,k－1).))又∵0<k<eq\f(1,2)，∴x＝eq\f(k,k－1)<0，y＝eq\f(2k－1,k－1)>0，故直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第二象限．10．已知过定点直线kx－y＋4－k＝0在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为()A．x－2y－7＝0 B．x－2y＋7＝0C．2x＋y－6＝0 D．x＋2y－6＝0解析：选C直线kx－y＋4－k＝0可变为k(x－1)－y＋4＝0，所以过定点P(1,4)，又因为直线kx－y＋4－k＝0在两坐标轴上的截距都是正值，可知k＜0，令x＝0，则y＝4－k，所以直线与y轴的交点为A(0,4－k)，令y＝0，则x＝1－eq\f(4,k)，所以直线与x轴的交点为Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,k)，0))，所以4－k＋1－eq\f(4,k)＝5＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－k))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,k)))≥5＋2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－k))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,k))))＝5＋4＝9，当且仅当－k＝－eq\f(4,k)，即k＝－2时取等号，所以此时直线方程为2x＋y－6＝0.11．直线l经过点P(2,3)，且与两坐标轴的正半轴交于A，B两点，则△OAB(O为坐标原点)面积的最小值为()A.eq\f(25,2) B．25C．12 D．24解析：选C∵过A，B两点的直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)，且点P在直线AB上，∴eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)＝1，△AOB的面积S＝eq\f(1,2)ab，∴2eq\r(\f(2,a)·\f(3,b))≤eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)＝1.∴ab≥24，当且仅当eq\f(2,a)＝eq\f(3,b)，即a＝4，b＝6时取“＝”．∴a＝4，b＝6时，△OAB的面积取得最小值S＝12.12．设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(5,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(4,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞))解析：选B直线ax＋y＋2＝0过定点P(0，－2)，可得直线PA的斜率kPA＝－eq\f(5,2)，直线PB的斜率kPB＝eq\f(4,3).若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则－eq\f(5,2)<－a<eq\f(4,3)，解得－eq\f(4,3)<a<eq\f(5,2)，故选B.13．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为___________．解析：BC的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，所以BC边上中线所在的直线方程为eq\f(y－0,－\f(1,2)－0)＝eq\f(x＋5,\f(3,2)＋5)，即x＋13y＋5＝0.答案：x＋13y＋5＝014．直线l过原点且平分▱ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1,4)，D(5,0)，则直线l的方程为__________．解析：直线l过原点且平分▱ABCD的面积，则直线l过BD的中点(3,2)，则直线l的方程为y＝eq\f(2,3)x.答案：y＝eq\f(2,3)x15．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________．解析：设正方形一边所在直线的倾斜角为α，其斜率k＝tanα.则其中一条对角线所在直线的倾斜角为α＋eq\f(π,4)，其斜率为taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))).依题意知：taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝2，即eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝2，∴tanα＝eq\f(1,3)，∴正方形一边所在直线的斜率k＝eq\f(1,3)，则相邻一边所在直线的斜率为－3.答案：eq\f(1,3)，－3第二节两条直线的位置关系1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.1．两条直线的位置关系斜截式一般式方程y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)，A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0垂直k1k2＝－1A1A2＋B1B2＝0平行k1＝k2且b1≠b2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0))重合k1＝k2且b1＝b2A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝02.三种距离三种距离条件公式两点间的距离A(x1，y1)，B(x2，y2)|AB|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)点到直线的距离P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为dd＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))两平行线间的距离直线Ax＋By＋C1＝0到直线Ax＋By＋C2＝0的距离为dd＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))1．常用的结论(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)；(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)；(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)；(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)；(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)；(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．2．谨防4个易错点(1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况．(2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．(3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(4)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0答案：A2．已知直线l过点(0,3)，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是()A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0答案：D3．两条平行直线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之间的距离为________．解析：因为l1∥l2，所以由两条平行直线间的距离公式得d＝eq\f(|－8－－10|,\r(22＋32))＝eq\f(2\r(13),13).答案：eq\f(2\r(13),13)4．已知点B(m,6)到直线3x－y＋6＝0的距离为3，则实数m的值为________．答案：±eq\r(10)5．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.答案：－9层级一/基础点——自练通关(省时间)基础点(一)两条直线的位置关系[题点全训]1．已知直线l的倾斜角为eq\f(3π,4)，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为()A．0 B．1C．6 D．0或6解析：选C由直线l的倾斜角为eq\f(3π,4)得l的斜率为－1，因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1.又直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，所以l1的斜率为eq\f(3,3－a)，故eq\f(3,3－a)＝－1，解得a＝6.2．若直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝()A．－2 B．－4C．－6 D．－8解析：选B由已知得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)))×eq\f(2,5)＝－1，a＋4c－2＝0,2－5c＋b＝0，解得a＝10，c＝－2，b＝－12.所以a＋b＋c＝－4.3．直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件，故选C.4．经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________________．解析：由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))即P(0,2)．∵l⊥l3，∴直线l的斜率k＝－eq\f(4,3)，∴直线l的方程为y－2＝－eq\f(4,3)x，即4x＋3y－6＝0.答案：4x＋3y－6＝0[一“点”就过]1．两直线位置关系的判断方法已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等；②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1已知两直线的斜率不存在当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合已知两直线的一般方程设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.此法可避免对斜率是否存在进行讨论2.由两条直线平行或垂直求参数的值的解题策略在解这类问题时，一定要“前思后想”．“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解．基础点(二)距离公式[题点全训]1．两条平行直线2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0间的距离为d，则a，d的值分别为()A．a＝6，d＝eq\f(\r(6),3) B．a＝－6，d＝eq\f(\r(5),3)C．a＝6，d＝eq\f(\r(5),3) D．a＝－6，d＝eq\f(\r(6),3)解析：选B由题知2×3＝－a，解得a＝－6，又－6x＋3y－4＝0可化为2x－y＋eq\f(4,3)＝0，∴d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3－\f(4,3))),\r(5))＝eq\f(\r(5),3).2．已知点P(2，m)到直线2x－y＋3＝0的距离不小于2eq\r(5)，则实数m的取值范围是________________．解析：由题意得，点P到直线的距离为eq\f(|2×2－m＋3|,\r(22＋12))≥2eq\r(5)，即|m－7|≥10，解得m≥17或m≤－3，所以实数m的取值范围是(－∞，－3]∪[17，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[17，＋∞)3．如果直线l1：ax＋(1－b)y＋5＝0和直线l2：(1＋a)x－y－b＝0都平行于直线l3：x－2y＋3＝0，则l1，l2之间的距离为________．解析：因为l1∥l3，所以－2a－(1－b)＝0，同理－2(1＋a)＋1＝0，解得a＝－eq\f(1,2)，b＝0，因此l1：x－2y－10＝0，l2：x－2y＝0，d＝eq\f(|－10－0|,\r(12＋－22))＝2eq\r(5).答案：2eq\r(5)[一“点”就过]1．点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．2．两平行线间的距离的求法(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行线间的距离公式．层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)重难点(一)对称问题eq\a\vs4\al()考法1点关于点对称[例1]过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．[解析]设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由截距式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.[答案]x＋4y－4＝0eq\a\vs4\al([方法技巧])若点M(x1，y1)和点N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))进而求解．eq\a\vs4\al()考法2点关于线对称[例2]若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.[解析]由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))故m＋n＝eq\f(34,5).[答案]eq\f(34,5)[方法技巧]点关于线的对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A×\f(x1＋x2,2)＋B×\f(y1＋y2,2)＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．eq\a\vs4\al()考法3线关于点对称[例3]直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为()A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0[解析]由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝0，,y－1＝0，))可得x＝－3，y＝1，所以M(－3，1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则eq\f(|－6＋3－6|,\r(4＋9))＝eq\f(|－6＋3＋c|,\r(4＋9))，解得c＝12或c＝－6(舍去)，所以所求方程为2x＋3y＋12＝0，故选D.[答案]Deq\a\vs4\al([方法技巧])线关于点对称的2种求解方法(1)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程．(2)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．eq\a\vs4\al()考法4线关于线对称[例4]光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，则反射光线所在的直线方程为__________________．[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋5＝0，,3x－2y＋7＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2.))∴反射点M的坐标为(－1,2)．又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5,0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，由PP′⊥l可知，kPP′＝－eq\f(2,3)＝eq\f(y0,x0＋5).而PP′的中点Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－5,2)，\f(y0,2)))，Q点在l上，∴3·eq\f(x0－5,2)－2·eq\f(y0,2)＋7＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0,x0＋5)＝－\f(2,3)，,\f(3,2)x0－5－y0＋7＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(17,13)，,y0＝－\f(32,13).))根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.[答案]29x－2y＋33＝0[方法技巧]线关于线对称的求解方法(1)若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．(2)若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解．[针对训练]已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．解：(1)设A′(x，y)，由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))∴A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))得M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).设直线m与直线l的交点为N，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4,3)．又m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3)在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1,1)，Q(4,3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.重难点(二)直线方程中的最值、范围问题[典例]已知点P(2，－3)，Q(3,2)，直线ax＋y＋2＝0与线段PQ相交，则实数a的取值范围是________．[解析]由直线ax＋y＋2＝0，得y＝－ax－2，此时直线恒过点A(0，－2)，则直线PA的斜率k1＝eq\f(－2－－3,0－2)＝－eq\f(1,2)，直线QA的斜率k2＝eq\f(－2－2,0－3)＝eq\f(4,3)，若直线ax＋y＋2＝0与线段PQ相交，则－eq\f(1,2)≤－a≤eq\f(4,3)，即－eq\f(4,3)≤a≤eq\f(1,2)，所以实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(1,2))).[答案]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(1,2)))[方法技巧]本题考查了两条直线的位置关系的应用，其中把直线与线段有交点转化为直线斜率之间的关系是解答的关键，同时要熟记直线方程的各种形式和直线过定点的判定，解答此类问题时把直线与线段有交点转化为定点与线段端点斜率之间的关系是常见的一种解题方法，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．[针对训练]1．已知A(2,4)，B(1,0)，动点P在直线x＝－1上，当|PA|＋|PB|取最小值时，点P的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(8,5))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(21,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1))解析：选A点B关于直线x＝－1对称的点为B1(－3,0)．|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB1|≥|AB1|，当且仅当A，P，B1三点共线时，等号成立．此时|PA|＋|PB|取最小值，直线AB1的方程为y＝eq\f(4－0,2－－3)(x＋3)，即y＝eq\f(4,5)(x＋3)，令x＝－1，得y＝eq\f(8,5).所以点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(8,5)))，故选A.2．已知点P(－2,2)，直线l：(λ＋2)x－(λ＋1)y－4λ－6＝0，则点P到直线l的距离的取值范围为________．解析：把直线l：(λ＋2)x－(λ＋1)y－4λ－6＝0化为(2x－y－6)＋λ(x－y－4)＝0，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－6＝0，,x－y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2，))即直线l过定点M(2，－2)，又由kPM＝eq\f(－2－2,2－－2)＝－1，且eq\f(λ＋2,λ＋1)×(－1)≠－1，所以直线PM与l不垂直，所以点P到直线l的距离的最大值为|PM|＜eq\r(2＋22＋－2－22)＝4eq\r(2)，即点P到直线l的距离的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4\r(2))).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4\r(2)))层级三/细微点——优化完善(扫盲点)1．(创新解题思维·数形结合)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：eq\r(x－a2＋y－b2)可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝eq\r(x2＋10x＋29)＋eq\r(x2＋6x＋18)的最小值为()A．5B.eq\r(29)C.eq\r(31) D．2＋eq\r(13)解析：选Bf(x)＝eq\r(x2＋10x＋29)＋eq\r(x2＋6x＋18)＝eq\r(x＋52＋4)＋eq\r(x＋32＋9)表示平面上点M(x,0)到点A(－5,2)与B(－3，－3)的距离之和，连接AB，与x轴交于M(x,0)，则此时点M到点A与点B的距离之和最小，即f(x)min＝eq\r(－5＋32＋2＋32)＝eq\r(29)，故选B.2．(结合新定义问题)已知平面上一点M(5,0)，若直线l上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为点M的“相关直线”．下列直线中是点M的“相关直线”的是()A．y＝x＋1 B．x＝－2C．4x－3y＝0 D．2x－y＋1＝0解析：选C选项A中，点M到直线y＝x＋1的距离d＝eq\f(|5－0＋1|,\r(12＋－12))＝3eq\r(2)＞4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4，故A错误；同理，B、D错误；选项C中，点M到直线4x－3y＝0的距离d＝eq\f(|4×5－3×0|,\r(42＋－32))＝4，即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，故C正确．3．(忽视对参数的讨论)已知直线l1：(a2－1)x＋ay－1＝0，l2：(a－1)x＋(a2＋a)y＋2＝0，l1∥l2，则a的值为________．解析：由题意知，a(a－1)＝(a2－1)(a2＋a)，整理得a2(a－1)(a＋2)＝0，解得a＝0或a＝1或a＝－2.当a＝0时，l1：x＋1＝0，l2：x－2＝0，l1∥l2成立；当a＝1时，l1：y－1＝0，l2：y＋1＝0，l1∥l2成立；当a＝－2时，l1：3x－2y－1＝0，l2：3x－2y－2＝0，l1∥l2成立．综上所述，a＝0或a＝1或a＝－2.答案：0或1或－24．(忽视斜率不存在的情况)若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________.解析：由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.答案：0或15．(忽视两直线重合的情况)已知直线ax＋3y＋1＝0与x＋(a－2)y＋a＝0平行，则a的值为________．解析：令3×1＝a(a－2)，解得a＝－1或a＝3.当a＝－1时，两条直线的方程都为x－3y－1＝0，即两条直线重合，故舍去；当a＝3时，两条直线的方程分别为3x＋3y＋1＝0，x＋y＋3＝0，两条直线平行．∴a的值为3.答案：3[课时验收评价]1．直线x－y－1＝0与直线x＋y－1＝0的交点坐标为()A．(0,1)B．(0，－1)C．(1,0) D．(－1,0)答案：C2．(2023·泰安质检)过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为()A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0解析：选A由题意可设所求直线方程为x－2y＋m＝0，将A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.故选A.3．直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．2x＋y－4＝0解析：选A设P(x，y)为所求直线上的点，该点关于直线x＝1的对称点为(2－x，y)，且该对称点在直线x－2y＋2＝0上，代入可得x＋2y－4＝0.故选A.4．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为eq\r(2)，则点P的坐标为()A．(1,2) B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)解析：选C设P(x,5－3x)，则d＝eq\f(|x－5＋3x－1|,\r(12＋－12))＝eq\r(2)，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故P(1，2)或(2，－1)．5．若m，n满足m＋2n－1＝0，则直线mx＋3y＋n＝0过定点()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,6))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，－\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(1,2)))解析：选B∵m＋2n－1＝0，∴m＋2n＝1.∵mx＋3y＋n＝0，∴(mx＋n)＋3y＝0，当x＝eq\f(1,2)时，mx＋n＝eq\f(1,2)m＋n＝eq\f(1,2)，∴3y＝－eq\f(1,2)，∴y＝－eq\f(1,6)，故直线过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,6))).故选B.6．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x－4y＋c1＝0和3x－4y＋c2＝0，则|c1－c2|＝()A．2eq\r(3)B．2eq\r(5)C．2 D．4解析：选B直线x＋2y＋1＝0与x＋2y＋3＝0间的距离d1＝eq\f(|3－1|,\r(12＋22))＝eq\f(2\r(5),5)，直线3x－4y＋c1＝0与3x－4y＋c2＝0间的距离d2＝eq\f(|c1－c2|,\r(32＋－42))＝eq\f(|c1－c2|,5).由菱形的性质，知d1＝d2，所以eq\f(|c1－c2|,5)＝eq\f(2\r(5),5)，所以|c1－c2|＝2eq\r(5)，故选B.7．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为()A.eq\r(2) B.eq\f(8\r(2),3)C.eq\r(3) D.eq\f(8\r(3),3)解析：选B因为a＝0或a＝2时，l1与l2均不平行，所以a≠0且a≠2.因为l1∥l2，所以a(a－2)＝3,2a2≠18，解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋eq\f(2,3)＝0，所以l1与l2之间的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6－\f(2,3))),\r(2))＝eq\f(8\r(2),3).故选B.8．(2023·深圳模拟)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2解析：选B易知直线y＝k(x＋1)过定点A(－1,0)，设B(0，－1)，则当线段AB与直线y＝k(x＋1)垂直时，距离最大，为|AB|＝eq\r(0＋12＋－1－02)＝eq\r(2)，故选B.9．直线l与直线y＝1，直线x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,2)C．－eq\f(2,3) D．－eq\f(3,2)解析：选C设P(a,1)，Q(b，b－7)，由线段PQ的中点坐标为(1，－1)可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)＝1，,\f(1＋b－7,2)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4，))所以P(－2,1)，Q(4，－3)，所以直线l的斜率k＝eq\f(1－－3,－2－4)＝－eq\f(2,3)，故选C.10．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A．3eq\r(2) B．2eq\r(2)C．3eq\r(3) D．4eq\r(2)解析：选A∵l1∥l2，∴AB的中点M的轨迹是平行于l1，l2的直线，且到l1，l2的距离相等，易求得点M所在直线的方程为x＋y－6＝0.因此，中点M到原点的最小距离为原点到直线x＋y－6＝0的距离，即eq\f(6,\r(2))＝3eq\r(2).故选A.11．若直线m被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段长为2eq\r(2)，则直线m的倾斜角可以是()A．15° B．75°C．15°或75° D．15°或30°解析：选C两平行直线l1：x－y＋1＝0，l2：x－y＋3＝0之间的距离等于eq\f(|3－1|,\r(2))＝eq\r(2)，设直线m与两平行直线的夹角为θ，则有sinθ＝eq\f(\r(2),2\r(2))＝eq\f(1,2)，又0°＜θ≤90°，∴θ＝30°.由于两平行直线的斜率为1，故它们的倾斜角等于45°，故m的倾斜角可以是45°±30°，故m的倾斜角可以是75°或15°，故选C.12．已知A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线l：x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，则点P的坐标是()A．(1，－1) B．(－1,1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,5)，－\f(13,5))) D．(－2,2)解析：选C如图所示，点A(3，－1)关于直线l：x＋y＝0的对称点为C(1，－3)，直线BC的方程为eq\f(x－1,4)＝eq\f(y＋3,1)，即x－4y－13＝0，与x＋y＝0联立可得直线BC与直线l的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,5)，－\f(13,5))).|PA|＋|PB|＝|PC|＋|PB|，由图可知，当点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,5)，－\f(13,5)))时，|PB|＋|PC|取得最小值，即|PA|＋|PB|取得最小值，故选C.13．已知直线l1：mx＋y＋1＝0，l2：mx－y＋1＝0，m∈R，若l1⊥l2，则m＝________.解析：由l1⊥l2，得m2－1＝0⇒m＝±1.答案：±114．已知点P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，则过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程为________．解析：当直线与点P1，P2的连线所在的直线平行时，由直线P1P2的斜率k＝eq\f(3－5,2＋4)＝－eq\f(1,3)，得所求直线的方程为y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线过线段P1P2的中点时，因为线段P1P2的中点坐标为(－1,4)，所以直线方程为x＝－1.综上所述，所求直线方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.答案：x＋3y－5＝0或x＝－115．若直线l1：y＝kx＋1与直线l2关于点(2,3)对称，则直线l2恒过定点________，l1与l2的距离的最大值是________．解析：∵直线l1：y＝kx＋1经过定点(0,1)，又两直线关于点(2,3)对称，则两直线经过的定点也关于点(2,3)对称，∴直线l2恒过定点(4,5)，∴l1与l2的距离的最大值就是两定点之间的距离，即为eq\r(4－02＋5－12)＝4eq\r(2).答案：(4,5)4eq\r(2)16．已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________．解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，如图，所以四边形的面积S＝2k2×2＋(4－k＋4)×2×eq\f(1,2)＝4k2－k＋8，故面积最小时，k＝eq\f(1,8).答案：eq\f(1,8)第三节圆的方程1.回顾确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1．圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(－\f(D,2)，－\f(E,2))))，半径：r＝eq\f(\r(\a\vs4\al(D2＋E2－4F)),2)2．点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系三种情况(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内1．圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．2．常见圆的方程的设法标准方程的设法一般方程的设法圆心在原点x2＋y2＝r2x2＋y2－r2＝0过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2x2＋y2＋Dx＋Ey＝0圆心在x轴上(x－a)2＋y2＝r2x2＋y2＋Dx＋F＝0圆心在y轴上x2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＋Ey＋F＝0与x轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)D2＝0与y轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)E2＝03.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的两端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是()A．(2,3)，3 B．(－2,3),eq\r(3)C．(－2，－3)，13 D．(2，－3),eq\r(13)答案：D2．圆心为(1，－1)且过原点的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案：C3．已知A(1,0)，B(0,3)，则以AB为直径的圆的方程是________________________．答案：x2＋y2－x－3y＝04．若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C的轨迹方程为___________．答案：(x－2)2＋y2＝25(y≠0)5．若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．解析：方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0可化为(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，它表示圆，需满足1－a＞0，故a＜1.答案：(－∞，1)层级一/基础点——自练通关(省时间)基础点求圆的方程[题点全训]1．已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为()A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1解析：选C到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＋5＝0，,y＝－x－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1.))又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.故选C.2．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为()A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析：选B由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x＋y＝2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.3．(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为__________．解析：设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b－1＝0，,3－a2＋b2＝r2，,a2＋1－b2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－1，,r2＝5，))∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝54．(2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．解析：若圆过(0,0)，(4,0)，(－1,1)三点，设过这三点的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，分别将三点的坐标代入，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,16＋4D＋F＝0，,2－D＋E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝－6，,F＝0，))易得D2＋E2－4F>0，所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13.若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点，设过这三点的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，分别将三点的坐标代入，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,16＋4D＋F＝0，,20＋4D＋2E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝－2，,F＝0，))易得D2＋E2－4F>0，所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5.若圆过(4,0)，(－1,1)，(4,2)三点，设过这三点的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，分别将三点的坐标代入，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16＋4D＋F＝0，,2－D＋E＋F＝0，,20＋4D＋2E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－\f(16,5)，,E＝－2，,F＝－\f(16,5)，))易得D2＋E2－4F>0，所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－eq\f(16,5)x－2y－eq\f(16,5)＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,5)))2＋(y－1)2＝eq\f(169,25).答案：(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,3)))2＝eq\f(65,9)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,5)))2＋(y－1)2＝eq\f(169,25)[一“点”就过]求圆的方程的2种方法几何法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值．②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值[提醒]解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)重难点(一)与圆有关的轨迹问题[典例]已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．[解]