人教版八年级数学上册专题08因式分解压轴题的四种考法(原卷版+解析)

专题08因式分解压轴题的四种考法类型一、整体法例．如果因式分解的结果为．【变式训练1】因式分解：(1)(2)【变式训练2】．因式分解：(1)；(2)．(3)．【变式训练3】．若是完全平方式，则的值为多少？类型二、添、拆项例．分解因式；．x3﹣3x2﹣6x+8=_______．【变式训练1】把多项式分解因式：x3﹣2x2+1＝_________________．【变式训练2】因式分解：【变式训练3】添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式可以用如下方法分解因式：①；又比如多项式可以这样分解：②；仿照以上方法，分解多项式的结果是______．类型三、化简求值例．已知，且，则-的值为（）A．2022 B．-2022 C．4044 D．-4044【变式训练1】．已知，，那么，．【变式训练2】已知，且互不相等，则．【变式训练3】．若，，那么式子的值为．类型四、新定义问题例．材料一：若一个两位数满足这个两位数等于它的各位数字之和的4倍，则称这个两位数为“宁静数”．例如：12是“宁静数”，，12是“宁静数”；34不是“宁静数”，，34不是“宁静数”．材料二：一个四位自然数，将其千位数字与十位数字组成的两位数记作，将其百位数字与个位数字组成的两位数记作，若和都均为“宁静数”，则称为“致远数”，将千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数，记．(1)判断12是否为“宁静数”，3469是否是“致远数”？并说明理由；(2)若一个四位自然数是“致远数”，且与9的和能被4整除，请求出所有符合条件的“致远数”．【变式训练1】．阅读：证明命题“一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”．设表示一个三位数，则因为能被3整除，如果也能被3整除，那么就能被3整除．(1)①一个四位数，如果能被9整除，证明能被9整除；②若一个五位数能被9整除，则______；(2)若一个三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，则的最小正因数一定是______（数字“1”除外）；(3)由数字1至9组成的一个九位数，这个数的第一位能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除，写出这个九位数是______．【变式训练2】．在平面直角坐标系中，我们称横纵坐标都是整数的点为整点，若坐标系内两个整点、满足关于的多项式能够因式分解为，则称点是的分解点．例如、满足，所以是的分解点．(1)在点、、中，请找出不存在分解点的点：______．(2)点、在纵轴上在的上方，点在横轴上，且点、、都存在分解点，若面积为，请直接写出满足条件的的个数及每个三角形的顶点坐标．课后训练1．因式分解：．2．如果为完全平方数，则正整数n为．3．分解因式：．4．分解因式：(1)(2)(3)(4)5．已知三次四项式分解因式后有一个因式是，试求的值及另一个因式．6．对任意一个三位数m，如果其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，则称m为“开心数”．现将m的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个新数，并规定．例如：143是一个“开心数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个新数，所以．(1)，；(2)若是8的倍数，则称这样的m为“幸运开心数”，求出所有的“幸运开心数”．

专题08因式分解压轴题的四种考法类型一、整体法例．如果因式分解的结果为．【答案】【分析】把当成一个整体，再因式分解即可．【详解】原式故答案为：．【点睛】题目主要考查利用整体法及公式法进行因式分解，理解题中的整体思想是解题关键．【变式训练1】因式分解：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先将和分别看作一个整体，利用十字相乘法因式分解，再利用提公因式法因式分解，最后利用公式法中的完全平方公式因式分解；（2）原式是关于x、y、z的轮换式，若将原式视为关于x的多项式，则当x=y时，原式=0，故原式含有因子，又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子，，又因为原式为x，y，z的五次式，因此可以设，利用待定系数法即可求解．【详解】（1）解：（2）解：当时，原式等于0，故原式含有因子，又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子，，又因为原式为x，y，z的五次式，故可设令，，得，令，，得，解得，，所以．【点睛】本题主要考查了十字相乘法、提公因式法、公式法以及待定系数法，熟练掌握和运用这些方法因式分解是解题的关键．【变式训练2】．因式分解：(1)；(2)．(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解；（2）先用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解；（3）先把看成一个整体，利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行分解．【详解】（1）；（2）；（3）．【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式，整体思想，是解决本题的关键．【变式训练3】．若是完全平方式，则的值为多少？【答案】.【分析】首先把分类整理为，再进一步利用多项式乘法计算展开，把看作整体，在配方成完全平方式，进一步探讨即可得出答案．【详解】∴，即.【点睛】此题考查完全平方式的运用，注意常数项是一次项系数一半的平方．类型二、添、拆项例．分解因式；．x3﹣3x2﹣6x+8=_______．【答案】（x﹣4）（x﹣1）（x+2）【详解】解：x3﹣3x2﹣6x+8======（x﹣4）（x﹣1）（x+2），故答案为：（x﹣4）（x﹣1）（x+2）．【变式训练1】把多项式分解因式：x3﹣2x2+1＝_________________．【答案】(x﹣1)(x2﹣x﹣1)【详解】解：原式＝x3﹣x2﹣x2+1＝x2(x﹣1)﹣(x+1)(x﹣1)＝(x﹣1)(x2﹣x﹣1)故答案为：(x﹣1)(x2﹣x﹣1)【变式训练2】因式分解：【答案】【详解】原式．故答案为：【变式训练3】添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式可以用如下方法分解因式：①；又比如多项式可以这样分解：②；仿照以上方法，分解多项式的结果是______．【答案】【详解】解：，故答案为：类型三、化简求值例．已知，且，则-的值为（）A．2022 B．-2022 C．4044 D．-4044【答案】A【分析】先将式子整理变形得，进而得出，即，再将展开，最后整理代入即可得出答案．【详解】因为，所以，整理，得，则，即．因为，所以，即．由，得，所以．故选：A．【点睛】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键．【变式训练1】．已知，，那么，．【答案】-10【分析】由条件可以变形为，因式分解从而可以求出其值；，可以得出，．所以从而得出结论．【详解】解：∵，，∴∴，∴，∴∴∵m≠2n，∴∴m＋2n＝−1；∵，∴，∴．∵，∴，∴．∴．故答案是：−1；0．【点睛】本题考查了因式分解在整式计算求值中运用和技巧，将原式进行适当的变形，灵活运用因式分解是解题的关键．【变式训练2】已知，且互不相等，则．【答案】【分析】通过已知条件，找到的关系：，，，即可获得答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，，∵，∴，∴，∴，∴故答案为：．【点睛】本题主要考查了代数式求值以及因式分解等知识，利用已知条件找到是解题关键．【变式训练3】．若，，那么式子的值为．【答案】【分析】把两个等式相减化简后可得，再把中的拆成，再分别与前后两项重新组合，提公因式后把两个已知等式代入，即可解决．【详解】∵，∴即∵∴故答案为：−2020【点睛】本题考查了因式分解的应用，用到了一种变形：拆项，这也是本题的难点所在．类型四、新定义问题例．材料一：若一个两位数满足这个两位数等于它的各位数字之和的4倍，则称这个两位数为“宁静数”．例如：12是“宁静数”，，12是“宁静数”；34不是“宁静数”，，34不是“宁静数”．材料二：一个四位自然数，将其千位数字与十位数字组成的两位数记作，将其百位数字与个位数字组成的两位数记作，若和都均为“宁静数”，则称为“致远数”，将千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数，记．(1)判断12是否为“宁静数”，3469是否是“致远数”？并说明理由；(2)若一个四位自然数是“致远数”，且与9的和能被4整除，请求出所有符合条件的“致远数”．【答案】(1)12是“宁静数”，3469不是“致远数”，理由见解析(2)1122，3162，2346，4386【分析】（1）根据“宁静数”和“致远数”的定义判断即可；（2）根据新定义，求出，由题意可得出，的取值，即可求解．【详解】（1）解：12是“宁静数”，3469不是“致远数”，理由如下：，12是“宁静数”；在3469中，，，，，，，3469不是“致远数”；（2）解：设四位自然数，且，，，不为0，则，是“致远数”，，，，，，“宁静数”必为4的倍数且是两位数，“宁静数”有12，24，36，48，、可以是1，2，3，4，又与9的和能被4整除，即是偶数，或3，①当时，或3，对应的致远数有：1122，3162，②当时，或4，对应的致远数为：2346，4386，综上所述，符合条件的“致远数”有：1122，3162，2346，4386．【点睛】本题考查了新定义，因式分解的应用，解题的关键是正确理解新定义．【变式训练1】．阅读：证明命题“一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”．设表示一个三位数，则因为能被3整除，如果也能被3整除，那么就能被3整除．(1)①一个四位数，如果能被9整除，证明能被9整除；②若一个五位数能被9整除，则______；(2)若一个三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，则的最小正因数一定是______（数字“1”除外）；(3)由数字1至9组成的一个九位数，这个数的第一位能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除，写出这个九位数是______．【答案】(1)①见解析；②1(2)3(3)381654729【分析】（1）①首先把四位数改写成，由能被9整除，能被9整除，即可得出结论；②首先把五位数改写成，然后根据这个五位数能被9整除得能被9整除，即可求得答案；（2）假设，则三位数，据此可得出答案；（3）由能被1整除，可得为质数，由四位数能被4整除，可得两位数能被4整除，则，由九位数中已有7，9，可得，由五位数能被5整除，可得末尾数字，从而得到，由八位数能被8整除，可得三位数能被8整除，从而得到，从而得到对应，由为质数可得，由能被2整除可得，从而得到，即可得到答案．【详解】（1）①证明：∵是一个四位数，能被9整除，能被9整除，四位数能被9整除；②解：是一个五位数，，五位数能被9整除，能被9整除，，故答案为：1；（2）解：三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，不妨假设，，三位数的最小正因数一定是3，故答案为：3；（3）解：均为0至9之间的整数由能被1整除，可得为质数，由四位数能被4整除，可得两位数能被4整除，则，由九位数中已有7，9，可得，由五位数能被5整除，可得末尾数字，从而得到，由八位数能被8整除，可得三位数能被8整除，从而得到，这时的九位数为：，对应，为质数，，两位数能被2整除，且，，，这个九位数时：381654729，故答案为：381654729．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，数的整除特征，熟练掌握因式分解的方法，理解整除数的特征是解答此题的关键．【变式训练3】．在平面直角坐标系中，我们称横纵坐标都是整数的点为整点，若坐标系内两个整点、满足关于的多项式能够因式分解为，则称点是的分解点．例如、满足，所以是的分解点．(1)在点、、中，请找出不存在分解点的点：______．(2)点、在纵轴上在的上方，点在横轴上，且点、、都存在分解点，若面积为，请直接写出满足条件的的个数及每个三角形的顶点坐标．【答案】(1)(2)的个数为，，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，【分析】（1）根据题意分别求解，，的分解点即可；（2）首先表示出，的纵坐标，和的长度，由面积为推出，根据在的上方，得到，，同法可求其余的点．【详解】（1）解：对于，，故是的分解点；对于，，故是的分解点；无法分解，点不存在分解点，故答案为：；（2），在纵轴上，、的横坐标为，，都存在分解点，两点坐标满足关于的多项式能够因式分解为，，的纵坐标只能负数，而且能分解（可用平方差公式分解），的面积为，且点在横轴上，，，的长度可能为，，，，，，的长度可能为，，，，，，当的长度为，时，的长度为或，此时不存在有分解点的，，，的纵坐标只能是，，，，的长度可能为，，，，当时，，在的上方，，，同法当时，可得，，当时，可得，；当时，可得，；当时，可得，；当时，可得，；当时，可得，；当时，可得，，综上所述，的个数为．【点睛】本题考查了新定义，坐标与图形，因式分解，三角形面积的求解，理解题意，分情况讨论是解答本题的关键．课后训练1．因式分解：．【答案】【分析】根据多项式特点，进行分组，两次运用公式法分解因式即可.【详解】解：故答案为：【点睛】本题无法直接提公因式或运用乘法公式进行分解因式，结合式子特点，对多项式分组，两次运用公式法进行分解，要注意符号问题，正确分组是解题关键.2．如果为完全平方数，则正整数n为．【答案】2或14或11【分析】分情况讨论，分别设为首项的平方，末项的平方，中间项，则可得出n的值即可．【详解】设为首项的平方，则末项为，中间项为乘积两倍为=2×，∴首项为2，首项平方为，∴n=2；设为末项的平方，则首项为，乘积两倍为=2××，∴末项为，末项平方为，∴n=14；设为中间项，则=2××=，∴n=11，综上所述，正整数n的值为2或14或11，故答案为：2或14或11．【点睛】本题考查了完全平方式的形式，掌握完全平方式的形式是解题的关键．3．分解因式：．【答案】【分析】先分组，然后再运用提取公因式法和公式法进行因式分解即可．【详解】解：====．故答案为．【点睛】本题考查了运用分组法、提取公因式法、公式法因式分解，对原式正确的分组是正确解答本题的关键．4．分解因式：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可；（2）先利用、凑出完全平方公式，然后利用平方差公式对其进行因式分解即可；（3）首先去括号，再移项凑出完全平方公式，然后利用提公因式法分解因式即可；（4）首先通过移项凑出完全平方公式，然后提公因式，得出，再把分解为，得出，然后把看作整体，利用完全平方公式变形，得出，然后再利用平方差公式因式分解即可．【详解】（1）解：；（2）解：（3）解：；（4）解：．【点睛】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握因式分