2023-2024学年天津市南开区高一下学期第二次月考数学检测试卷（含解析）

/2023-2024学年天津市南开区高一下学期第二次月考数学检测试卷一．选择题（共12小题）1．已知复数z＝（a+2i）（1﹣i）为纯虚数，则实数a＝（）A． B． C．2 D．﹣22．如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，已知A'O'＝O'B'＝2，B'C'＝2，则四边形ABCD的周长为（）A．20 B．12 C． D．3．已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥β，m⊥β，则m∥α C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D．若m⊂α，m⊥β，则α⊥β4．已知棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为（）A．π B．2π C．4π D．12π5．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数为1或4”，事件B为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（）A．A与B互斥 B．A与B对立 C． D．6．从集合{0，1，2，3}中随机地取一个数a，从集合{3，4，6}中随机地取一个数b，则向量与向量垂直的概率为（）A． B． C． D．7．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2B+sin2C﹣sin2A＝sinBsinC，且a＝2，则△ABC的面积的最大值为（）A．1 B． C．2 D．8．某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（）①a的值为0.005②估计这组数据的众数为75③估计这组数据的下四分位数为60④估计成绩高于80分的有300人A．1 B．2 C．3 D．49．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB＝2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则PA的长为（）A．3 B． C．1 D．10．庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”，如图（1）所示．现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体ABCDMN，其中正方形ABCD边长为3，，且MN到平面ABCD的距离为2，则几何体ABCDMN的体积为（）A． B． C． D．11．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝AC＝BC，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，O为PB的中点，则直线CO与平面PAC所成角的余弦值为（）A． B． C． D．12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则以下命题正确的序号为（）①直线BD1⊥平面A1C1D②平面B1CD与平面BCD的夹角大小为③三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值④异面直线AP与A1D所成角的取值范围是A．①② B．①③ C．①③④ D．①④二．填空题（共8小题）13．已知复数z满足z（1+i）＝3﹣4i（其中i为虚数单位），则|z|＝．14．设向量的夹角的余弦值为，且，则＝．15．一组数据1，2，3，3，4，5，x的平均数与众数相等，则这组数据的75%分位数是．16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边．若a2＝（c﹣b）2+6，，则△ABC的面积是．17．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为10，则数据3x1﹣1，3x2﹣1，…，3x10﹣1的方差为．18．从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为．19．某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，，p，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则p的值为．20．在△ABC中，设＝，＝，||＝2，||＝3，∠BAC＝60°，＝2，E为BC中点，CD与AE交于点O，则•＝．若＝λ，则λ的值为．三．解答题（共4小题）21．平面内给出三个向量，，，求解下列问题：（1）求向量在向量方向上的投影向量的坐标；（2）若向量与向量的夹角为锐角，求实数m的取值范围．22．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若cosA＝，求sin（2A﹣B）的值．23．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个不同的动点E，F．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）求证：AC⊥BE；（3）二面角A﹣EF﹣B的大小是否为定值，若是，求出其余弦值；若不是，说明理由．24．如图1，ABCD为菱形，∠ABC＝60°，△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，将△PAB沿AB边折起，使平面PAB⊥平面ABCD，连接PC、PD，如图2，（1）证明：AB⊥PC；（2）求PD与平面ABCD所成角的正弦值（3）在线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MC？若存在，请找出N点的位置；若不存在，请说明理由答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知复数z＝（a+2i）（1﹣i）为纯虚数，则实数a＝（）A． B． C．2 D．﹣2解：z＝（a+2i）（1﹣i）＝a+2+（2﹣a）i为纯虚数，则，解得a＝﹣2．故选：D．2．如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，已知A'O'＝O'B'＝2，B'C'＝2，则四边形ABCD的周长为（）A．20 B．12 C． D．解：根据题意，矩形A'B'C'D'，A'O'＝O'B'＝2，B'C'＝2，则O′C′＝2，如图：原图矩形ABCD中，AB＝AO+OB＝A'O'+O'B'＝4，OC＝2O′C′＝4，BC＝＝＝6，则四边形ABCD的周长l＝2（AB+BC）＝20；故选：A．3．已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥β，m⊥β，则m∥α C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D．若m⊂α，m⊥β，则α⊥β解：若m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交或m与n异面，故A错误；若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，故B错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m与n异面，故C错误；若m⊂α，m⊥β，由平面与平面垂直的判定可得α⊥β，故D正确．故选：D．4．已知棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为（）A．π B．2π C．4π D．12π解：设该球的半径为R，由题意可知，该球的直径为棱长为2的正方体的体对角线，则，所以，则该球的表面积S＝4πR2＝12π．故选：D．5．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数为1或4”，事件B为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（）A．A与B互斥 B．A与B对立 C． D．解：抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数为1或4”，事件B为“向上的点数为奇数”，对于A，事件A与事件B能同时发生，故A错误；对于B，事件A与事件B能同时发生，故B错误；对于C，抛掷一颗质地均匀的骰子，基本事件总数n＝6，A+B包含的基本事件个数为m＝4，∴P（A+B）＝，故C正确；对于D，P（A+B）＝，故D错误．故选：C．6．从集合{0，1，2，3}中随机地取一个数a，从集合{3，4，6}中随机地取一个数b，则向量与向量垂直的概率为（）A． B． C． D．解：从集合{0，1，2，3}中随机地取一个数a，从集合{3，4，6}中随机地取一个数b，基本事件总数N＝12．当向量与向量垂直时，b＝2a，满足条件的基本事件有（4，2），（6，3），共两个，则所求概率．故选：D．7．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2B+sin2C﹣sin2A＝sinBsinC，且a＝2，则△ABC的面积的最大值为（）A．1 B． C．2 D．解：∵sin2B+sin2C﹣sin2A＝sinBsinC，由正弦定理得b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得，又A∈（0，π），则，∵a＝2，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即4＝b2+c2﹣bc≥bc，当且仅当b＝c＝2时等号成立，∴bc≤4，则，∴△ABC的面积的最大值为．故选：B．8．某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（）①a的值为0.005②估计这组数据的众数为75③估计这组数据的下四分位数为60④估计成绩高于80分的有300人A．1 B．2 C．3 D．4解：由频率分布直方图可知10×（2a+3a+3a+6a+5a+a）＝1，解得a＝0.005，故①正确；根据频率分布直方图可知众数落在区间[70，80），用区间中点表示众数，即众数为75，故②正确；前两组频率之和为（0.01+0.015）×10＝0.25，∴这组数据的下四分位数为60，故③正确；成绩高于80分的频率为（0.025+0.005）×10＝0.3，∴估计总体成绩高于80分的有1000×0.3＝300人，故④正确．故选：D．9．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB＝2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则PA的长为（）A．3 B． C．1 D．解：连结AC，BD交于点E，取PC的中点O，连结OE，则OE∥PA，所以OE⊥底面ABCD，则O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O球心，均为＝，所以由球的体积可得＝，解得PA＝1，故选：C．10．庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”，如图（1）所示．现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体ABCDMN，其中正方形ABCD边长为3，，且MN到平面ABCD的距离为2，则几何体ABCDMN的体积为（）A． B． C． D．解：取AB，CD的中点F，E，连接NE，EF，NF，可得几何体ABCDMN分割为一个三棱柱ADM﹣FEN和一个四棱锥N﹣FBCE，将三棱柱ADM﹣FEN补成一个上底面与矩形ADEF全等的矩形的平行六面体，可得该三棱柱的体积为平行六面体的一半，则三棱柱ADM﹣FEN的体积为×2××32＝，四棱锥N﹣FBCE的体积为××9×2＝3，则几何体ABCDMN的体积为3+＝．故选：D．11．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝AC＝BC，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，O为PB的中点，则直线CO与平面PAC所成角的余弦值为（）A． B． C． D．解：在三棱锥P﹣ABC中，PA＝AC＝BC，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，O为PB的中点，以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，过点C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AC＝BC＝1，则C（0，0，0），P（0，1，1），B（1，0，0），O（），A（0，1，0），＝（），＝（0，1，0），＝（0，1，1），平面PAC的法向量＝（1，0，0），设直线CO与平面PAC所成角为θ，则sinθ＝＝＝，∴cosθ＝＝＝．∴直线CO与平面PAC所成角的余弦值为．故选：B．12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则以下命题正确的序号为（）①直线BD1⊥平面A1C1D②平面B1CD与平面BCD的夹角大小为③三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值④异面直线AP与A1D所成角的取值范围是A．①② B．①③ C．①③④ D．①④解：对于①：因为A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，所以A1C1⊥面BB1D1，又BD1⊂面BB1D1，所以A1C1⊥BD1，同理可得DC1⊥BD1，因为A1C1∩DC1＝C1，所以BD1⊥面A1C1D，故①正确；对于②：由正方体可知平面B1CD不垂直平面ABCD，故②错误；对于③：因为A1D∥B1C，A1D⊂面A1C1D，B1C⊄面A1C1D，所以B1C∥面A1C1D，因为点P在线段B1C上运动，所以点P到平面A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积为定值，所以三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，故③正确；对于④：当点P与线段B1C的端点重合时，异面直线AP与A1D所成角取得最小值为，所以异面直线AP与A1D所成角的取值范围为[，]，故④错误，故选：B．二．填空题（共8小题）13．已知复数z满足z（1+i）＝3﹣4i（其中i为虚数单位），则|z|＝．解：∵z（1+i）＝3﹣4i，∴，∴．故．14．设向量的夹角的余弦值为，且，则＝11．解：已知向量的夹角的余弦值为，且，则，则＝＝2×1+32＝11．故11．15．一组数据1，2，3，3，4，5，x的平均数与众数相等，则这组数据的75%分位数是4．解：由题设，平均数为，若x∈{1，2，4，5}，众数有两个，其中一个为3；若x∉{1，2，4，5}，则众数为3；因为平均数与众数相等，当x＝3时，，满足；当x＝4时，，不满足；当x＝5时，，不满足；其它情况均不满足；所以，数据为1，2，3，3，3，4，5，则7×75%＝5.25，故这组数据的75%中位数是4．故4．16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边．若a2＝（c﹣b）2+6，，则△ABC的面积是．解：因为a2＝（c﹣b）2+6，可得a2＝c2+b2﹣2bc+6，即c2+b2﹣a2＝2bc﹣6，又因为，由余弦定理可，解得bc＝6，所以△ABC的面积为．故．17．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为10，则数据3x1﹣1，3x2﹣1，…，3x10﹣1的方差为900．解：设x1，x2，…，x10的平均数为，标准差为s，则，设3x1﹣1，3x2﹣1，…，3x10﹣1的平均数为，标准差为s'，则有＝，所以＝＝＝＝3s＝30，所以s'2＝900．故900．18．从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为．解：从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，共有＝10种情况，取到字母a，共有＝4种情况，∴所求概率为＝．故．19．某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，，p，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则p的值为．解：根据题意得：1﹣××（1﹣p）＝，解得：p＝．故．20．在△ABC中，设＝，＝，||＝2，||＝3，∠BAC＝60°，＝2，E为BC中点，CD与AE交于点O，则•＝．若＝λ，则λ的值为．解：，，∴＝＝；∵，∴，即，∴＝，设，则＝，∴，解得．故，．三．解答题（共4小题）21．平面内给出三个向量，，，求解下列问题：（1）求向量在向量方向上的投影向量的坐标；（2）若向量与向量的夹角为锐角，求实数m的取值范围．解：（1）由向量＝（3，2），＝（﹣1，2），＝（4，1），可得向量在向量方向上的投影向量为：；（2）若向量与向量m的夹角为锐角，则，＝2×（4m﹣1）+4（m+2）＝12m+6＞0，解得m＞﹣，若向量（）∥（m），则2（m+2）＝4（4m﹣1），解得m＝，经验证满足同向共线，故实数m的取值范围是．22．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若cosA＝，求sin（2A﹣B）的值．解：（Ⅰ）由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，则a2+c2﹣b2＝2accosB，又，所以，即，由正弦定理可得，因为sinA＞0，所以，则，又0＜B＜π，所以；（Ⅱ）因为，所以，所以，所以．23．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个不同的动点E，F．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）求证：AC⊥BE；（3）二面角A﹣EF﹣B的大小是否为定值，若是，求出其余弦值；若不是，说明理由．解：（1）证明：直线EF就是直线B1D1，根据正方体的性质知EF∥BD，∵EF⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD；（2）证明：