哈密顿函数守恒原理课件

哈密顿函数如拉格朗日函数L不包含某个广义坐标q

,即

L/

q

=0,这种广义坐标叫作循环坐标(可遗坐标).于是,拉格朗日方程(5.29)给出即广义动量守恒如果循环坐标是系统的整体平移坐标,拉格朗日函数不包含整体平移坐标,即拉格朗日函数L对于整体平移是不变的,广义动量守恒原理就归结为动量守恒原理.若拉格朗日函数不包含整体转动坐标,拉格朗日函数L对于整体转动不变,拉格朗日函数是各向同性的,则广义动量守恒原理归结为角动量守恒原理.在矢量力学中,动量守恒原理和角动量守恒原理是以牛顿第三定律为先决条件(内力的矢量和为零,内力的力矩和为零),而广义动量守恒原理则并不以牛顿第三定律先决条件.一、广义动量守恒原理例1质量为M的光滑大楔子置于光滑的水平桌面上,质量为m的光滑小楔子沿着大楔子的光滑斜边滑下.求这两个楔子的加速度.解:

大楔子在水平方向运动,小楔子在大楔子斜边上运动.系统有两个自由度.取桌面上的固定点O,大楔子质心相对于O点坐标记作X.小楔子质心相对于大楔子斜边底面而沿着斜边的坐标记作q,X和q可作为系统的广义坐标.

主动力是两个楔子所受的重力,大楔子的势能在运动过程中不起变化,可以不考虑.只要讨论小楔子的势能就够了.计算动能的时候要注意,小楔子的速度分量不仅仅是沿斜边的,而目还有随着大楔子在水平方向运动的速度.于是,拉格朗日方程给出运动方程大楔子的加速度以及小楔子相对于大楔子的加速度为

拉格朗日函数L是时间、广义坐标和广义速度的函数,

L的时间变化率在主动力全是保守力的情况下,利用完整系统的拉格朗日方程把

L/

q

改写,即得这样二、哈密顿函数守恒原理定义哈密顿函数如拉格朗日函数L不是时间显函数,哈密顿函数H守恒哈密顿函数是什么？因为坐标变换不显含时间,所以于是因为这样,我们得到在坐标变换不显含时间的条件下,动能是广义速度的二次齐次式,哈密顿函数就是机械能.如果约束是不稳定的或者约束是稳定的,但变换ri＝ri(q,t)显含时间,广义速度二次函数T2

一次函数T1

零次函数T0哈密顿函数,这样,在变换式显含时间的条件下,哈密顿函数H并非机械能,只能姑名之为广义能量.注意:

矢量力学关于机械能守恒的条件为作用力是保守力.可是,哈密顿函数守恒即机械能守恒却还要求坐标变换式不显含时间.这两种根源是否矛盾呢?原来,这两者并不是一回事.矢量力学所说的势能对应于所有的力,包括主动力和约束力,而拉格朗日函数L和哈密顿函数H中的势能则只对应广义力,即只包括主动力,不包括理想约束力.可见这两种势能并不相同,机械能守恒的条件当然也就不同了.用拉格朗日方程求解完整系力学问题的一般程序：

(a)分析系统所受的约束.如系统确为完整系,就根据系统的自由度选择恰当的广义坐标.(b)建立各质点的矢径与广义坐标的变换方程.为方便起见,尽可能使变换方程不显含时间.如果能直接完成下一步(c),则此步骤可以省略.(c)用广义坐标和广义速度表示动能,用广义坐标表示广义力.对于保守系统,写出广义坐标表示的势能.最后写出系统的拉格朗日函数.

注意，这里的动能和势能一般是指惯性系中的动能和势能,若使用非惯性系,则应加上与惯性力相应的势能.它可能不是只依赖于广义坐标和时间,而是和广义速度有关的广义势能.(d)列出拉格朗日方程.(e)利用初始条件解出拉格朗日方程.(f)分析结果.例如，在匀速直线运动的汽车上有一谐振子在光滑水平槽中往返振动.取q轴沿振动方向,原点在谐振子的平衡点.选这汽车为参考系,谐振子的显然所以H守恒.另一方面，由于动能T是广义速度的二次单项式，所以H就是机械能．诚然，改取地面为参考系,这也是惯性系.如果谐振子的振动槽平行于汽车行进方向，则v0是汽车的速度.因所以H守恒.但动能T不是广义速度的二次齐次式，所以H不是机械能．事实上如汽车是匀加速运动,其速度为at,仍以地面为参考系,则这时,所以H不守恒.另一方面,T不是广义速度二次齐次式,所以H也不是机械能.事实上，例2试按“拉格朗日方式”研究单摆的运动.解:

单摆有一个自由度.取角坐标作为广义坐标.主动力是重力mg,是保守力.系统的拉格朗日函数拉格朗日方程给出运动方程我们不直接解这个微分方程.考虑到L不显含时间,哈密顿函数守恒.哈密顿函数这是机械能.这样上式可改写为这是一阶微分方程.为求解这个微分方程,应区分三种情况这时,随着摆球的上升,它的角速度不断减小并将在某个角度成为零,然后,摆球折回而下降.方程可变为做代换两边积分这类积分不能用初等函数表出,它叫第一类椭圆积分.摆球从

＝0到

所经历的时间是周期的四分之一.相应地从

＝0变到

／2.这样,周期其中的积分叫第一类完全椭圆积分,通常记作K(k).如果把被积函数展为幂级数,然后逐项积分,则原方程可以化为

随t增长而增大.t,,

单摆无限地逼近竖直向上的位置.这时没有折回现象,原方程化为两边积分,仍得椭圆积分摆球从

＝0到

所经历的时间是绕悬挂点转动周期的二分之一.所以

广义坐标的个数超过了系统的实际的自由度.尽管可以用广义坐标把达朗伯原理写为但这些虚位移并不独立,受到非完整约束方程的约束对于线性非完整约束，约束方程可表示为其中A

和A

只是广义坐标和时间的函数,取微分,三、不完整约束系统的动力学由于虚位移不是时间的函数,所以

t=0,所以即把上述方程组各个方程分别乘以待定常数

并与达朗伯方程相加,得虽然虚位移不独立,我们总可以选择乘子,使得把上述动力学方程和约束条件联立起来就可以解出问题.如所有的主动力是保守力,相应的势能为V,则广义主动力可表为则最后一项正是广义力形式,对应第

个约束的约束力的各个分量.例3斜冰面上冰刀简化模型的运动.解:设冰刀可抽象为以刚性轻杆相连的两个质点,并且m1=m2=m.杆的长为l.当冰刀在冰面上运动时,质心(杆的中点)的速度只能沿杆长的方向.已知冰面的倾角为

.取固定于斜冰面的坐标系oxyz,其中oz垂直于冰面,oy在冰面上并沿水平方向.为确定冰刀的位形,可取质心的坐标(x,y)及冰刀与x轴的夹角

为广义坐标.质心只沿杆长方向运动,约束表示为这是非完整约束.系统的动能为质心平动动能与绕质心转动动能之和,即系统的势能为于是可以写出拉格朗日函数,按照拉格朗日乘子法建立动力学方程可得约束方程,知对时间求导,这样得

所以

再积分一次,得利用初始条件对于保守系,广义力Q

=-

V/

q

,定义拉格朗日函数L=T-V,就得到拉格朗日方程以上引进的势函数V与广义速度无关,可称之为普通势

但是,拉格朗日方程并不只适用于普通势的系统.我们可以作如下推广,假定系统的广义力Q

满足显然,定义L＝T-V,拉格朗日方程依然成立.为保证广义力表达式不显含广义加速度,V函数只可能含有广义速度的线性项,即四、拉格朗日动力学的推广这个势函数V叫广义势,或速度相关势

推广到广义势,意味着从机械运动推广开来.例如,在经典电磁学中,带电粒子在电磁场中所受的力是引入矢量势A(r,t)和标量势

(r,t)则可得到其中这样，可定义广义势能而广义力为定义L=T-V所以,仍有

这样,拉格朗日力学也可以用来研究电磁运动等,而不像牛顿力学那样只能研究机械运动.这时,如果x是循环坐标,就是说L不包含x,即

和A与x无关,则相应的动量px守恒,即注意:这动量并不就是运动动量,而多出一项qAx,多出的这项其实是电磁场的动量.注意:动量守恒的根据只在于x是循环坐标,跟牛顿定律无关.可见电磁场很难采用“牛顿方式”,电磁场的作用也谈不上牛顿定律.对应哈密顿函数具有普通势或广义势的系统,拉格朗日函数可表示为动能减势能,而且一定可写为L2是广义速度二次式,L1是广义速定一次式,L0与广义速度无关.这种构造的系统称为自然拉格朗日系统.不能写为这种形式的系统叫非自然拉格朗日系统