八年级数学下册专题06几何最值四大模型(原卷版+解析)

专题06几何最值四大模型模型一：轴对称最值模型模型二：直角之最值模型模型三：费马点最值模型模型四：面积法求定值模型一：将军饮马问题1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.模型二：费马点【费马点问题】问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？图文解析：如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，CP=PP′，PA=P′A′，∴PA+PB+PC=P′A′+PB+PP′BC′．∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′为定长∴当B、P、P′、A′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．最小值为BA.′【如图1和图2，利用旋转、等边等条件转化相等线段.】∴∠APC=∠A′P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°，∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°，∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.因此，当△ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．【方法总结】利用旋转、等边等条件转化相等线段，将三条线段转化成首尾相连的三条线段.【知识应用】两点之间线段最短.模型一：轴对称最值模型1.（春•庐江县期末）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝4，BD＝4，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EP+BP的最小值为（）A．4 B．2 C．2 D．82.（2022•埇桥区校级月考）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（）A．2 B．2 C．4 D．43.（2022春•裕华区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝3，CE＝2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（）A．2 B．3 C．2 D．4．（2023•西乡塘区校级模拟）如图，在边长为的4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为​（）A． B． C． D．5．（2023•烟台一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，点E在AD上，点F在BC上，且AE＝CF，连结CE，DF，则CE+DF的最小值为（）A．26 B．25 C．24 D．22模型二：直角之最值模型6．（2023春•河东区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（）A．5 B．3.6 C．2.4 D．4.87．（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC＝2，则GH的最小值为（）A． B． C． D．8．（2023秋•石景山区期末）如图，E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，连接CE．若AB＝2，则CE长的最小值为．9．（2023秋•洪洞县期中）如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，点D，E分别是AB，BC边上的动点，连结DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM的最小值为（）A．12 B．10 C．9.6 D．4.810．（2023秋•头屯河区期末）正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（）A． B． C． D．11．（2023秋•海珠区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，点M是点A关于直线BE的对称点，连接MD，则MD的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．312．（2023秋•建湖县期中）如图，△ABC中∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC、BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是AB、DE的中点，则MN的最小值为（）A．2 B．3 C．3.5 D．4模型三：费马点最值模型13.（2023秋•白银区期末）如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（）A． B．3+3 C．6+ D．14．（2023秋•太和县期末）如图，P是边长为1的正方形ABCD内的一个动点，且满足∠PBC+∠PDC＝45°，则CP的最小值是（）A． B． C． D．模型四：面积法求定值15．（2023秋•东河区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A． B． C． D．16.（2023春•东昌府区期中）如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M、N分别是BC、CD上的动点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是（）A． B． C． D．1．（2023•深圳模拟）如图，点E是正方形ABCD内部一个动点，且AD＝EB＝8，BF＝2，则DE+CF的最小值为（）A．10 B． C． D．2．（2023春•邗江区校级期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、AD、CD上，AB＝3，AE＝1，DG＞AE，BF＝EG，BF与EG交于点P．连接DP，则DP的最小值为（）A． B． C． D．3．（2023春•南谯区期末）如图，在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为4和3，点E在CD上，点F在AB的延长线上，且EC＝BF，连接FC，当点E在边CD上移动时，AE+FC的最小值为（）A．7 B． C．10 D．4．（2023•德阳）如图，▱ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（）A．1 B． C． D．35．（2023春•常州期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，点E、F分别在边AB、AD上，且BE＝AF，则EF的最小值是（）A．2 B．3 C． D．6．（2023春•遵化市期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点的距离之和PA+PB的最小值为（）A．5 B． C． D．7．（2023春•长丰县期末）如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且BE＝BC，点P是CE上一动点，则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值（）A．是定值 B．是定值8 C．有最小值 D．有最大值88．（2023春•庐江县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（）A．11 B．12 C．13 D．149．（2023•福田区校级三模）如图，点M是矩形ABCD内一个动点，AB＝AM＝6，BC＝4，点N为线段AM上一点，且AN＝AM，连接BN和CM，则BN+CM的最小值为（）A． B．5 C． D．10．（2023•河东区一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为DC、BC上的点，且DE＝CF，连接DF，BE，求DF+BE的最小值为（）A．2 B．2 C．4 D．2+211．（2023春•梁园区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C． D．212．（2023春•江阴市期末）如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝12，BE＝4，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为（）A．8 B．8 C．8 D．1213．（2023秋•莱西市期末）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为（）A．2.4 B．3 C．4.8 D．414.（2022春•海口期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．615．（2023春•孝南区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．2.416．（2023•芜湖一模）如图，在正方形ABCD中，已知边AB＝5，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（）​A．5 B． C． D．专题06几何最值四大模型模型一：轴对称最值模型模型二：直角之最值模型模型三：费马点最值模型模型四：面积法求定值模型一：将军饮马问题1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.模型二：费马点【费马点问题】问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？图文解析：如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，CP=PP′，PA=P′A′，∴PA+PB+PC=P′A′+PB+PP′BC′．∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′为定长∴当B、P、P′、A′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．最小值为BA.′【如图1和图2，利用旋转、等边等条件转化相等线段.】∴∠APC=∠A′P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°，∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°，∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.因此，当△ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．【方法总结】利用旋转、等边等条件转化相等线段，将三条线段转化成首尾相连的三条线段.【知识应用】两点之间线段最短.模型一：轴对称最值模型1.（春•庐江县期末）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝4，BD＝4，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EP+BP的最小值为（）A．4 B．2 C．2 D．8【答案】C【解答】解：如图，设AC，BD相交于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD＝2，∵AB＝4，∴AO＝2，连接DE交AC于点P，连接BP，作EM⊥BD于点M，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且DO＝BO，即AO是BD的垂直平分线，∴PD＝PB，∴PE+PB＝PE+PD＝DE且值最小，∵E是AB的中点，EM⊥BD，∴EM＝AO＝1，BM＝BO＝，∴DM＝DO+OM＝BO＝3，∴DE＝＝＝2，故选：C．2.（2022•埇桥区校级月考）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（）A．2 B．2 C．4 D．4【答案】B【解答】解：如图，作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，∴AB＝BC＝4，AB•CE′＝8，∴CE′＝2，在Rt△BCE′中，BE′＝＝2，∵BE＝EA＝2，∴E与E′重合，∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴A、C关于BD对称，∴当P与P′重合时，P′A+P′E的值最小，最小值为CE＝2，故选：B．3.（2022春•裕华区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝3，CE＝2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（）A．2 B．3 C．2 D．【答案】D【解答】解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE＝PG，CE＝CG＝2，连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH＝∠CBH＝45°，∴Rt△BHC中，BH＝CH＝BC＝3，∴HG＝3﹣2＝1，∴Rt△BHG中，BG＝＝，∵当点F与点B重合时，PE+PF＝PG+PB＝BG（最短），∴PE+PF的最小值是．故选：D．4．（2023•西乡塘区校级模拟）如图，在边长为的4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为​（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：连接AE，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．根据对称性可知AE＝HE，HB＝AB＝4，所以AE+DE＝DH．在Rt△ADH中，AH＝8，DH＝，∴BF+DE最小值为4．故选：D5．（2023•烟台一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，点E在AD上，点F在BC上，且AE＝CF，连结CE，DF，则CE+DF的最小值为（）A．26 B．25 C．24 D．22【答案】A【解答】解：如图，连接BE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF＝90°，∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∴CE+DF＝CE+BE，如图，作点B关于A点的对称点B'，连接CB'，CB'即为CE+BE的最小值，∵AB＝12，AD＝10，∴BB'＝24，BC＝10，∴，∴CE+DF的最小值为26，故A正确．故选：A．模型二：直角之最值模型6．（2023春•河东区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（）A．5 B．3.6 C．2.4 D．4.8【答案】D【解答】解：如图，连接AD．∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，∴．∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴四边形AMDN为矩形，∴AD＝MN，∴当AD最小时，MN最小．当AD⊥BC时，AD最小，此时S△ABC＝AB•AC＝AD•BC，∴6×8＝10AD，∴AD＝4.8，∴线段MN的最小值为4.8．故选：D．7．（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC＝2，则GH的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴，∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，∴，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴，∴，即GH的最小值为，故选：D8．（2023秋•石景山区期末）如图，E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，连接CE．若AB＝2，则CE长的最小值为﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：取AB中点O，连接OC，∵AB＝2，∴OB＝1，∴OC＝＝＝，∵∠AEB＝90°，∴点E在以O为圆心，OB为半径的圆上，∴当点E在OC上时，CE有最小值，∴CE的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．9．（2023秋•洪洞县期中）如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，点D，E分别是AB，BC边上的动点，连结DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM的最小值为（）A．12 B．10 C．9.6 D．4.8【答案】D【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，∵F，M分别是AD，DE的中点，∴FM＝，∴当AE取最小值时，FM的值最小，由垂线段最短可知，当AE⊥BC于点E时，AE的值最小，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，∴CH＝，∴BH＝＝＝8，∴＝48，又∵，∴，∴AE＝9.6，∴FM＝4.8，故选：D．10．（2023秋•头屯河区期末）正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上，设AB的中点为G，当CPG在同一直线上时，CP有最小值，如图所示：∵正方形ABCD的边长为4，∴BC＝4，BG＝2，∴CG＝＝＝2，∵PG＝AG＝BG＝2，∴CP＝2﹣2，故选：A．11．（2023秋•海珠区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，点M是点A关于直线BE的对称点，连接MD，则MD的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解答】解：连接BD，以点B为圆心，BA为半径作圆，交BD于点M，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝90°，∴BD＝＝10，∵点A和点M关于BE对称，∴AB＝BM＝6，∴DM＝BD﹣BM＝10﹣6＝4．故DM的最小值为4．故选：C．12．（2023秋•建湖县期中）如图，△ABC中∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC、BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是AB、DE的中点，则MN的最小值为（）A．2 B．3 C．3.5 D．4【答案】A【解答】解：如图，连接CM、CN，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∵DE＝6，点M、N分别是DE、AB的中点，∴CN＝DE＝3，CM＝AB＝5，当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，∴MN的最小值为：5﹣3＝2．故选：A．模型三：费马点最值模型13.（2023秋•白银区期末）如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（）A． B．3+3 C．6+ D．【答案】D【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，∴△ADB是等边三角形，∴∠MAE＝30°，∴AM＝2ME，∵MD＝MB，∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的边长为6，∴DE＝＝＝3，∴2DE＝6．∴MA+MB+MD的最小值是6．故选：D．14．（2023秋•太和县期末）如图，P是边长为1的正方形ABCD内的一个动点，且满足∠PBC+∠PDC＝45°，则CP的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，在凹四边形BCDP中，∵∠BCD＝90°，∠PBC+∠PDC＝45°，∴∠BPC+∠CPD＝360°﹣∠BCD﹣（∠PBC+∠PDC）＝225°，∴∠BPD＝360°﹣（∠BPC+∠CPD）＝135°，得点P在运动过程中，使得∠BPD＝135°，即点P在正方形ABCD内，以A为圆心，AB为半径的圆弧上，由图可得AP+CP≥AC，当点A、P、C三点共线时，CP取得最小值，最小值为AC﹣AP，在Rt△ABC中，∵AB＝BC＝1，∴AC＝＝，∵AP＝AB＝1，∴CP＝AC﹣AP＝．故选：D．模型四：面积法求定值15．（2023秋•东河区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵AB＝3，BC＝4，∴矩形ABCD的面积为12，AC＝，∴AO＝DO＝AC＝，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为3，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，∴3＝××EO+×EF，∴5（EO+EF）＝12，∴EO+EF＝，故选：C．16.（2023春•东昌府区期中）如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M、N分别是BC、CD上的动点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵菱形ABCD中，AC⊥BD，∴AB＝＝5，过N作NQ⊥AB于Q交BD于P，过P作PM⊥BC于M，则PM+PN＝PN+PQ＝NQ的值最小，∵S菱形ABCD＝×6×8＝5NQ，∴NQ＝，即PM+PN的最小值是，故选：D．1．（2023•深圳模拟）如图，点E是正方形ABCD内部一个动点，且AD＝EB＝8，BF＝2，则DE+CF的最小值为（）A．10 B． C． D．【答案】A【解答】解：在BC上截取BG＝BF，连接BE，CE，∵四边形ABCD是正方形，AD＝8，∴BC＝AD＝8，∵BF＝BG＝2，∴CG＝BC﹣BG＝6，∵EB＝8，BF＝2，∴点E在以B为圆心，8为半径的圆上运动，点F在以B为圆心，2为半径的圆上运动，在△BGE和△BFC中，，∴△BGE≌△BFC（SAS），∴∠BEG＝∠BCF，∠BGE＝∠BFC，BE＝BC，∴∠EGC＝∠CFE，∵BE＝BC＝8，∴∠BEC＝∠BCE，即∠FEC＝∠GCE，∴∠FCE＝∠GEC，又CG＝EF＝6，∠EGC＝∠CFE，∴△FCE≌△GEC（ASA），∴CF＝EG，当E，G，D三点共线时，DE+CF取得最小值，最小值为DG的长，∴DG＝＝＝10，故选：A．2．（2023春•邗江区校级期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、AD、CD上，AB＝3，AE＝1，DG＞AE，BF＝EG，BF与EG交于点P．连接DP，则DP的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点Q，连接QP、QD，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠A＝∠ADC＝∠DME＝90°，AB∥CD，∴四边形ADME是矩形，∴EM＝AD＝AB，在Rt△BAF和Rt△EMG中，，∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM，∵AB∥CD，∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB，∵∠ABF+∠AFB＝90°，∴∠ABF+∠BEG＝90°，∴∠EPF＝90°，∴BF⊥EG，∵△EPB是直角三角形，Q是BE的中点，∴，∵AB＝3，AE＝1，∴BE＝3﹣1＝2，∴QB＝QE＝1，∵QD﹣QP≤DP，∴当Q、D、P共线时，DP有最小值，∵，AQ＝AE+EQ＝1+1＝2，∴，∴，∴PD的最小值为．故选：A．3．（2023春•南谯区期末）如图，在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为4和3，点E在CD上，点F在AB的延长线上，且EC＝BF，连接FC，当点E在边CD上移动时，AE+FC的最小值为（）A．7 B． C．10 D．【答案】B【解答】解：延长CB到M，使得BM＝BC，过点M作MT⊥MC，且MT＝AB，连接BT，TF，CT．在△ABC和△TMB中，，∴△ABC≌△TMB（SAS），∴AC＝BT，∠ACB＝∠TBM，∵∠ACB+∠ACD＝90°，∠TBM+∠TBF＝90°，∴∠TBF＝∠ACD，在△ACE和△TBF中，，∴△ACE≌△TBF（SAS），∴AE＝FT，∴AE+CF＝FT+CF，∵CF+FT≥CT，CT＝，∴AE+CF≥2，∴AE+CF的最小值为2．故选：B．4．（2023•德阳）如图，▱ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（）A．1 B． C． D．3【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝BD，∴OD＝OC，∵DF∥AC，OD∥CF，∴四边形OCFD为菱形，∵点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，∴当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值．过D点作DM⊥AC于M，过G点作GP⊥AC与P，则GP∥MD，∵矩形ABCD的面积为12，AC＝6，∴2×AC•DM＝12，即2××6•DM＝12，解得DM＝2，∵G为CD的中点，∴GP为△DMC的中位线，∴GP＝DM＝1，故PG的最小值为1．故选：A．5．（2023春•常州期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，点E、F分别在边AB、AD上，且BE＝AF，则EF的最小值是（）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解答】解：连接AC，作CG⊥AD于点G，则∠CGD＝90°，∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠B＝60°，∴AB＝CB＝AD＝CD＝6，∠D＝∠B＝60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴∠ACB＝∠B＝∠CAF＝60°，CB＝CA＝CD＝6，DG＝AG＝AD＝×6＝3，∴CG＝＝＝3，∵CF≥CG，∴CF≥3，∴CF的最小值是3，在△BCE和△ACF中，，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝60°，∴△ECF是等边三角形，∴EF＝CF，∴EF的最小值为3，故选：D．6．（2023春•遵化市期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点的距离之和PA+PB的最小值为（）A．5 B． C． D．【答案】D【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△PAB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝2+2＝4，∴BE＝＝＝4，即PA+PB的最小值为4．故选：D．7．（2023春•长丰县期末）如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且BE＝BC，点P是CE上一动点，则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值（）A．是定值 B．是定值8 C．有最小值 D．有最大值8【答案】A【解答】解：如图，连接BP，作EF⊥BC于点F，则∠EFB＝90°，∵正方形的性质可知∠EBF＝45°，∴△BEF为等腰直角三角形，∵正方形的边长为8，∴BE＝BC＝8，∴BF＝EF＝BE＝4，∵PM⊥BD，PN⊥BC，∴S△BPE+S△BPC＝S△BEC，∴BE•PM+BC•PN＝BC•EF，∵BE＝BC，∴PM+PN＝EF＝4．则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值是定值4．故选：A．8．（2023春•庐江县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【解答】解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5，∴CE＝＝13．∴PC+PB的最小值为13．故选：C．9．（2023•福田区校级三模）如图，点M是矩形ABCD内一个动点，AB＝AM＝6，BC＝4，点N为线段AM上一点，且AN＝AM，连接BN和CM，则BN+CM的最小值为（）A． B．5 C． D．【答案】A【解答】解：在AB上截取BE＝MN，连接ME，CE，∵，AB＝AM＝6，∴AN＝4，MN＝2，∴BE＝MN＝2，∴AE＝AB﹣BE＝6﹣2＝4，∴AE＝AN，∵AB＝AM，∠BAN＝∠MAE，∴△BAN≌△∠MAE（SAS），∴BN＝ME，∴BN+CM＝ME+CM≥CE，当C、M、E在一条直线上时，ME+CM的最小值为CE的长，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，在Rt△BCE中，BC＝4，BE＝2，由勾股定理得，即BN+CM的最小值为，故选：A．10．（2023•河东区一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为DC、BC上的点，且DE＝CF，连接DF，BE，求DF+BE的最小值为（）A．2 B．2 C．4 D．2+2【答案】B【解答】解：延长AB到G，使BG＝AB＝2，连接DG交BC于F'，连接GF，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC＝BG＝2，∠ABC＝∠FBG＝∠C＝90°，∴DG＝＝＝2，在△BCE和△GBF中，，∴△BCE≌△GBF（SAS），∴BE＝FG，∴DF+BE＝DF+FG，∴当F运动到F'，即D、F、G共线时，DF+FG最小，此时DF+BE最小，最小值为DG的长，∴DF+BE最小值为2．故选：B．11．（2023春•梁园区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C． D．2【答案】C【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1．∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．∴∠DP2P1＝90°．∴∠DP1P2＝45°．∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1．∴BP1＝．∴PB的最小值是．故选：C．12．（2023春•江阴市期末）如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝12，BE＝4，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为（）A．8 B．8 C．8 D．12【答案】C【解答】解：过点D作DH∥MN，交AB于点H，过点E作EG∥MN，过点M作MG∥NE，两直线交于点G，连接AG，如图，∵四边