人教版八年级数学上册专题04角平分线模型的三种考法(原卷版+解析)

专题04角平分线模型的三种考法类型一、角平分线上的点向两边作垂线例1．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是．【变式训练1】如图，、是四边形的对角线，平分，，已知，则．【变式训练2】已知：是的角平分线，且．（1）如图1，求证：；（2）如图2，，点E在上，连接并延长交于点，交CA的延长线于点，且，连接．①求证：；②若，且，求的长．【变式训练3】在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标且a，b满足．（1）求A、B两点的坐标；（2）如图（1），点C为x轴负半轴一动点，，于D，交y轴于点E，求证：平分．（3）如图（2），点F为的中点，点G为x正半轴点右侧的一动点，过点F作的垂线，交y轴的负半轴于点H，那么当点G的位置不断变化时，的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果．类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形例．已知：中，为的中点，平分于，连结，若，求的长．【变式训练1】已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．求证：BE=AD．【变式训练2】如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，AE=BD，且DF⊥AB于F，求证：CD=DF类型三、利用角平分线的性质，在角两边截长补短例．如图，在中，，平分交于，求证：.【变式训练1】如图所示，在中，，是的角平分线，交于点，求证：．【变式训练2】阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________.(2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.

【变式训练3】如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）求证：AD平分∠CDE；（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．【变式训练4】如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，平分与y轴交于D点，．(1)求证：；(2)在（1）中点C的坐标为，点E为上一点，且，如图2，求的长；(3)在（1）中，过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，（如图3），当点H在上移动、点G在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．课后训练1．如图，在中，，、分别是、的平分线，、相交于点，试判断和之间的数量关系.2．如图，在中，，平分，交于，于，求证：.3．如图，在中，，，是的平分线，延长至点，，试求的度数．4．如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，．（1）求证；（2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值．5．如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．

(1)求证：平分；(2)连接交于点G，若，求证：；(3)在（2）的条件下，当，时，求线段的长．6．已知中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点．(1)如图，求证：．

(2)如图，连接，求证：平分．

(3)如图，若，，，求的值．

7．已知：在和中，，，．(1)如图1，A，C，D在同一直线上，延长交于F，求证：；(2)如图2，与交于F，G在上，若平分，求证：点C在直线上．

专题04角平分线模型的三种考法类型一、角平分线上的点向两边作垂线例1．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是．【答案】5【分析】过D作，，交延长线于F，然后根据全等三角形的性质和角直角三角形的性质即可求解．【详解】过D作，，交延长线于F，∵AD平分，，，∴，，∵，，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴．【点睛】此题考查了全等三角形和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形．【变式训练1】如图，、是四边形的对角线，平分，，已知，则．【答案】47°【分析】过D作于E，于F，于G，依据平分，平分，利用角平分线的性质，即可得到，进而得出平分．再根据三角形外角的性质，即可得到，进而得出结论．【详解】如图所示，过D作于E，于F，于G，∵平分，，，∴，∵，，∴，∴平分，又∵，，∴，∴，又∵，，∴平分，∵，∴，，∵是的外角，是的外角，∴故答案为：47°．【点评】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【变式训练2】已知：是的角平分线，且．（1）如图1，求证：；（2）如图2，，点E在上，连接并延长交于点，交CA的延长线于点，且，连接．①求证：；②若，且，求的长．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②．【分析】（1）用证明，即得AB＝AC；（2）①证明可得，再用证明△FAG≌△FAE，即得；②过作于，由，可得，，而，故，即得，根据，可求．【详解】解：（1）证明：是的角平分线，，，，在和中，，，；（2）①，，，，，在和中，，，，在和中，，，；②过作于，如图：由①知：，，，，由①知：，，，，，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的相关知识.【变式训练3】在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标且a，b满足．（1）求A、B两点的坐标；（2）如图（1），点C为x轴负半轴一动点，，于D，交y轴于点E，求证：平分．（3）如图（2），点F为的中点，点G为x正半轴点右侧的一动点，过点F作的垂线，交y轴的负半轴于点H，那么当点G的位置不断变化时，的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果．【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）不变化，．【分析】（1）由非负性可求a，b的值，即可求A、B两点的坐标；（2）过点O作于M，于N，根据全等三角形的判定和性质解答即可；（3）由于点F是等腰直角三角形AOB的斜边的中点，所以连接OF，得出OF=BF．∠BFO=∠GFH，进而得出∠OFH=∠BFG，利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质以及三角形面积公式解答即可．【详解】解：（1）∵∴，∴，即．∴，．（2）如图，过点O作于M，于N，根据题意可知．∵，∴，∴．∵，，∴OA＝OB＝6．在和中，，∴．∴，，．∴，∴，∴点O一定在∠CDB的角平分线上，即OD平分∠CDB．（3）如图，连接OF，∵是等腰直角三角形且点F为AB的中点，∴，，OF平分∠AOB．∴．又∵，∴，∴．∵，∴．又∵，∴．在和中，∴．∴，∴．故不发生变化，且．【点睛】本题为三角形综合题，考查非负数的性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形例．已知：中，为的中点，平分于，连结，若，求的长．【答案】【分析】延长CG交AB于点E.根据等腰三角形的判定与性质得CG=EG，AE=AC,再根据三角形中位线的性质得出DG=BE=（AB-AC），从而得出的长．【详解】解：延长CG交AB于点E．AG平分，于，，，，∵，为的中点，．故答案为.【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理求解是解题的关键．【变式训练1】已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．求证：BE=AD．【答案】见解析.【分析】延长AC、BE交于F，首先由ASA证明△AEF≌△AEB，得到BE=BF，然后再次通过ASA证明△ACD≌△BCF，得到AD=BF，问题得解.【详解】证明：延长AC、BE交于F，∵∠1=∠3，BE⊥AE，在△AEF和△AEB中，，∴△AEF≌△AEB(ASA)，∴FE=BE，∴BE=BF，∵∠ACD=∠BED=90°，∠ADC=∠BDE，∴∠1=∠2，在△ACD和△BCF中，，∴△ACD≌△BCF（ASA），∴AD=BF，∴BE=AD.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，两次证明全等是解题关键，也考查学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度．【变式训练2】如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，AE=BD，且DF⊥AB于F，求证：CD=DF【答案】见解析【解析】证明：延长AE、BC交于点F.如图所示：∵AE⊥BE，∴∠BEA=90°，又∠ACF=∠ACB=90°，∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，∴∠DBC=∠FAC，在△ACF和△BCD中,，∴△ACF≌△BCD(ASA)，∴AF=BD.又AE=BD，∴AE=AF，即点E是AF的中点，∴AB=BF，∴BD是∠ABC的角平分线，∵∠C=90°，DF⊥AB于F，∴CD=DF.类型三、利用角平分线的性质，在角两边截长补短例．如图，在中，，平分交于，求证：.【答案】详见解析【分析】可以在AB上截取AE=AC，构造三角形全等，再结合三角形三边关系可证得结论．【详解】在AB上截取AE=AC，则BE=AB-AC，在△AED和△ACD中，，∴△AED≌△ACD(SAS)，∴DE=DC，在△BDE中，BD-DE＜BE(三角形两边之差小于第三边)，∴BE>BD-CD，即AB-AC>BD-CD.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，构造三角形全等是解题的关键．【变式训练1】如图所示，在中，，是的角平分线，交于点，求证：．【答案】详见解析【分析】在AB上截，连接FG，根据角平分线的性质、结合三角形内角和定理可得，证明，得GD=GF，=60°，可证得，即可得GF=GE=GD.【详解】证明：在AB上截，连接FG，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠EAB，又∵AG=AG，∴，，，∵，AE,BD是ΔABC的角平分线，∴，∴，∵，∴，∴GD=GE.【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，作辅助线是解题的关键．【变式训练2】阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________.(2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.

【答案】（1）CD=AD；（2）CD=AD；（3）BC=AD+BD.【分析】（1）由角平分线的性质可得AD=DE，根据∠A=90°，AB=AC，可得∠C=45°，由DE⊥BC可得△DEC是等腰直角三角形，可得CD=DE，进而可得答案；（2）在BC上截取BE=AB，连接DE，利用SAS可证明△ABD≌△EBD，可得AD=DE，∠BED=∠A=120°，由等腰三角形的性质可得∠C=30°，利用三角形外角性质可得∠CDE=90°，利用含30°角的直角三角形的性质即可得答案；（3）在BC上取一点E，使BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，由角平分线的性质就可以得出DF=DG，利用AAS可证明△DAF≌△DEG，可得DA=DE，利用外角性质可求出∠EDC=40°，进而可得DE=CE，即可得出结论．【详解】（1）∵∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴DE=AD，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=DE=AD，故答案为CD=AD（2）如图，在BC上截取BE=AB，连接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD，∴DE=AD，∠BED=∠A=120°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=30°，∴∠CDE=∠BED-∠C=90°，∴CD=DE=AD.（3）如图，在BC上取一点E，是BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，∴∠DFA=∠DGE=90°．∵BD平分∠ABC，DF⊥BA，DG⊥BC，∴DF=DG．∵∠BAC=100°，AB=AC，∴∠FAD=80°，∠ABC=∠C=40°，∴∠DBC=20°，∵BE=BD，∴∠BED=∠BDE=80°，∴∠FAD=∠BED．在△DAF和△DEG中，，∴△DAF≌△DEG（AAS），∴AD=ED．∵∠BED=∠C+∠EDC，∴80°=40+∠EDC，∴∠EDC=40°，∴∠EDC=∠C，∴DE=CE，∴AD=CE．∵BC=BE+CE，∴BC=BD+AD．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键．【变式训练3】如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）求证：AD平分∠CDE；（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，60°【分析】（1）根据∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，再结合∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，即可得出结论；（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM＝AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；（3）运用截长法在CD上截取CP＝BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．【详解】（1）证明：∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，又∵∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，∴∠ABD＝∠ACD；（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．则∠AMC＝∠ANB＝90°，∵OB＝OC，OA⊥BC，∴AB＝AC，∵∠ABD＝∠ACD，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴AM＝AN，∴AD平分∠CDE（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（3）∠BAC的度数不变化．在CD上截取CP＝BD，连接AP．∵CD＝AD＋BD，∴AD＝PD，∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CP，∴△ABD≌△ACP，∴AD＝AP，∠BAD＝∠CAP，∴AD＝AP＝PD，即△ADP是等边三角形，∴∠DAP＝60°，∴∠BAC＝∠BAP＋∠CAP＝∠BAP＋∠BAD＝60°．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强．【变式训练4】如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，平分与y轴交于D点，．(1)求证：；(2)在（1）中点C的坐标为，点E为上一点，且，如图2，求的长；(3)在（1）中，过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，（如图3），当点H在上移动、点G在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．【答案】(1)见解析；(2)；(3)，证明见解析．【分析】（1）结合题意易得，从而易证得到结论；（2）如图所示，过D作于N点，结合（1）易证得及，由全等三角形的性质可求解；（3）如图所示，在x轴的负半轴上取，连接，易证得，得到及，结合题意易得，再证得得到从而得到结论．【详解】（1）证明：∵，，∴，平分，，在和中，，，；（2）解：由（1）知，∴，如图所示，过D作于N点，平分，，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）．平分，在x轴的负半轴上取，连接，如图所示：在和中，，

∴，∴，，∴，在和中,，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用；解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质的综合运用．课后训练1．如图，在中，，、分别是、的平分线，、相交于点，试判断和之间的数量关系.【答案】详见解析【分析】如图，过点F作，，垂足分别为H、G，根据角平分线，可得点F是的内心，则有，继而根据三角形内心的性质可得，从而可得，继而可得FE=FD.【详解】FE=FD，理由如下：如图，过点F作，，垂足分别为H、G.是，的平分线AD、CE的交点，为的内心，.，，又；，，又，，.【点睛】本题考查了三角形的内心的性质，全等三角形的判定与性质解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．2．如图，在中，，平分，交于，于，求证：.【答案】详见解析【分析】延长BD至N，使DN=BD，易得AD垂直平分BN，继而证得AE=EN，则可证得结论．【详解】延长BD至N，使DN=BD，连接AN．∵AD⊥BE，∴AD垂直平分BN，∴AB=AN，∴∠N=∠ABN，又∵BE平分∠ABC，∠ABC=2∠C，∴∠ABN=∠NBC=∠C，∴∠NBC=∠C，∴AN∥BC，∴∠C=∠NAC，∴∠NAC=∠N，∴AE=EN，∵BE=EC，∴AC=BN=2BD．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及平行线的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．3．如图，在中，，，是的平分线，延长至点，，试求的度数．【答案】40°【分析】在上截取，连接，通过证明，可得，再通过证明，即可求得【详解】解：如图，在上截取，连接，是的平分线，，在和中，，，，∴DE=DF，，又，，，，在和中，，故．【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．4．如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，．（1）求证；（2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）延长至点，使，可证，由全等三角形的性质从而得出，根据题目已知，可证，由全等三角形的性质从而得出，等量代换即可得出答案；（2）如图所示，作，可证，由全等三角形的性质相等角从而得出，进而得出，故可证等量转化即可求出的值．【详解】（1）如图1所示，延长至点，使，在与中，，，，，，在与中，,，，；（2）如图所示，，，平分，，，，，，作，在与中，，，，，在与中，，，，，，设，，，．【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．5．如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．

(1)求证：平分；(2)连接交于点G，若，求证：；(3)在（2）的条件下，当，时，求线段的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)7.5【分析】（1）根据是的角平分线和得，再结合为边上的高得出即可证明；（2）过点F作于点M，于点N，证明，得出，再根据，解出即可证明；（3）根据及为边上的高证明，得出，再根据，解得，结合即可求出；【详解】（1）证明：是的角平分线，.，..为边上的高，..

平分.（2）过点F作于点M，于点N，平分，且，，.，，平分，，在和中，，，，，，

（3），，，，为