天线原理与技术 课件 第3章 天线阵的分析与综合

第3章天线阵的分析与综合3.1阵列天线的方向图3.2均匀直线阵的阵因子和辐射特性3.3典型的均匀直线阵3.4不等幅的等间距边射直线阵3.5线阵的道尔夫切比雪夫综合3.6线阵的泰勒综合3.7平面阵3.8导电地面上的天线3.9圆阵3.10线源

3.1阵列天线的方向图

3.1.1方向图乘积定理

图3.1.1N元天线阵

式中，C为与单元形式有关的比例系数，Rn为第n个单元到场点P(r，θ，φ)的距离，fe(θ，φ)为阵列单元的方向函数。对远场距离Rn的近似，包括对分母幅度项和分子相位项的近似，在幅度项中有

在相位项中有

式(3.1.3)中的最后一个因子表示由于单元的空间位置和观察点位置而产生的相对相位。由叠加原理，天线阵在观察点产生的总场等于各单元在观察点辐射场的矢量和。若阵

列单元产生的辐射场方向相同，则天线阵总场为

去掉与方向无关的常数，则天线阵的方向函数为

令

式中，fa(θ，φ)称为阵列天线的阵因子，阵因子取决于阵列排列方式与单元激励电流的相对幅度和相位分布。为了方便书写，式(3.1.6)等号右边略去了绝对值符号(下同)，则阵列天线的场强幅度方向函数f(θ，φ)可写为

阵列天线的方向图等于单元因子与阵因子的乘积，称为方向图乘积定理。其中，阵列单元因子fe(θ，φ)仅取决于单元的形式和取向，它等于单元位于坐标原点时的归一化方向图。若阵元为理想点源，则

这时式(3.1.7)变为

3.1.2二元阵的方向图

(1)图3.1.2(a)所示为理想点源组成的二元阵，间距d=λ/2的等幅同相二元阵沿z轴排列，坐标原点在阵列的几何中心，其方向函数为

由于d=λ/2，因此归一化阵因子为

极坐标方向图如图3.1.2(b)所示，当θ=π/2时，两点源辐射场无波程差，电流等幅同相，两点源辐射场等幅同相叠加(最大)；当θ=0时，波程差为λ/2，波程差造成的场的相位差为180°，两点源的辐射场等幅反相叠加，完全抵消，总场为零。

图3.1.2等幅同相二元阵(d=λ/2)

(2)若二元阵间距d=λ，等幅同相激励，则归一化阵因子为

极坐标方向图如图3.1.3所示，当θ=π/2时，两点源无波程差，电流等幅同相，辐射场同相叠加；当θ=0时，由于间距为λ，故辐射场仍然等幅同相叠加；任意方向时，两点源的波程差为λcosθ，当θ=π/3或2π/3时，两点源波程差为λ/2，辐射场等幅反相叠加。

由图3.1.3可以看出，仅间距的变化就可以改变阵列方向图。同时还可以看出，当间距增加时，方向图波瓣增多。

图3.1.3等幅同相二元阵方向图(d=λ)

(3)若间距d=λ/2，等幅反相激励(右源相位滞后左源π)，则阵因子为

归一化阵因子为

极坐标方向图如图3.1.4所示，当θ=π/2时，两点源无波程差，但电流等幅反相，总辐射场为零；当θ=0时，左源相对于右源，波程滞后λ/2(波程差引起的相位差为-π)，电流相位超前π，两点源的辐射场变成了等幅同相叠加；当θ=π时，左源相对于右源，波程超前λ/2，但电流相位超前π，两点源的辐射场同样变成了等幅同相叠加。与等幅同相二元阵相比，最大辐射方向与零辐射方向互换，同时说明了仅改变相位分布就可改变阵列方向图。

图3.1.4等幅反相二元阵方向图(d=λ/2)

(4)若等幅二元阵的间距d=λ/4，相位差为π/2(右源相位滞后左源π/2)，则阵因子为

归一化阵因子为

极坐标方向图如图3.1.5所示，当θ=0时，左源相对于右源，波程滞后λ/4(相位差为-π/2)，电流相位超前π/2，远场相位相同，两点源的远场等幅同相叠加；当θ=π/2时，两点源无波程差，但电流相位相差π/2，总辐射场的幅度是单个源辐射场的2倍；当θ=π时，左源相对于右源，波程超前λ/2，且电流相位超前π/2，因而两点源的远场相互抵消。图3.1.5说明了间距和相位变化后阵列方向图的变化。

图3.1.5等幅二元阵极坐标方向图(d=λ/4，相位差为π/2)

(5)若间距d=λ/2，电流幅度比为2∶1，则同相二元阵的阵因子为

极坐标方向图如图3.1.6所示，当θ=π/2时，两点源无波程差，辐射场同相叠加，为二元阵最大辐射方向；当θ=0时，两点源波程相差λ/2，辐射场反相叠加，但右源的电流幅度仅是左源的一半，总辐射场幅度为单个源辐射场的一半，形成最小辐射方向。其他辐射方向场的叠加介于同相与反相之间。

图3.1.6二元阵极坐标方向图(d=λ/2，电流幅度比为2∶1)

(6)若单元间距为d，电流比为1：mjα，则

以上二元阵的单元形式均为点源，由不同的组阵情况，说明了天线阵的方向性(阵因子)与单元间距d、馈电幅度和相位有关。下面分析单元因子为半波对称振子的情况。

(7)间距d=λ/4、相位差为π/2(上面单元相位滞后)的等幅二元半波对称振子阵如图3.1.7所示，其中两半波对称振子沿x轴取向，沿z轴排阵。

两半波对称振子沿x轴取向，其单元因子为

图3.1.7间距d=λ/4、相位差为π/2的等幅二元半波对称振子阵

二元对称振子阵中，单元在yOz平面内为全向最大辐射，阵因子最大方向沿z轴方向，因此阵列最大值沿z轴方向。E面为包含z轴和x轴的平面，即xOz平面；H面为垂直于E面的平面，即yOz平面。E面方向函数为

H面方向函数为

E面与H面的方向图分别如图3.1.8和图3.1.9所示，其中H面方向图与阵因子方向图相同。

图3.1.8E面方向图(xOz平面)

图3.1.9H面方向图(yOz平面)

3.2均匀直线阵的阵因子和辐射特性

均匀直线阵是指单元间距相等、激励幅度相等以及相位线性分布的直线阵。图3.2.1中所示的N元点源直线阵沿z轴排列，单元间距为d，单元激励幅度为A0，相邻单元间馈电相位差为β(称为步进相位)，则第n个单元的激励电流可表示为In=A0ej(n-1)β。下面对均匀直线阵的阵因子和辐射特性进行分析。

图3.2.1等间距点源直线阵

3.2.1阵列阵因子

图3.2.2八元均匀直线阵的阵因子

3.2.2阵因子方向图的特性

均匀直线阵方向函数为sinu/u形式，图3.2.3绘出了

N=4，6，8，10时均匀激励等间距线阵阵因子的方向图，考察不同单元数目时阵列阵因子的变化，可以看出一些趋势：

(1)当N增加时，主瓣变窄。

(2)当N增加时，在Fa(ψ)的一个周期中有更多的旁瓣。事实上，在一个周期中整个瓣数等于N-1，包括N-2个旁瓣和1个主瓣。

(3)以ψ为变量的副瓣宽度为2π/N，而大瓣(主瓣和栅瓣)宽度要加倍。

(4)随着N增加，旁瓣峰值减小。当N=5时，旁瓣电平为-12dB；当N=20时，旁瓣电平为-13dB；当N继续增加时，旁瓣电平趋于-13.5dB。

(5)Fa(ψ)是关于π对称的。

图3.2.3N=4，6，8，10时均匀激励等间距线阵阵因子的方向图

3.2.3阵因子分析

1.最大辐射方向

在式(3.2.5)中，阵因子最大值发生在各单元同相叠加时，此时

式(3.2.5)的分子分母均为零。因此，天线阵的最大辐射方向θm为

当m=0时，ψ=0对应方向图主瓣；m为其他值时对应方向图栅瓣。主瓣最大值方向θ0为

2.半功率波瓣宽度

半功率波瓣宽度处的ψ值可由下式求出：

当线阵的单元数很多时，N很大，天线阵的方向性很强，则在半功率波瓣宽度处的ψ值很小，因此sin(ψ/2)≈ψ/2，将其代入式(3.2.9)中，可得

3.零功率波瓣宽度

当式(3.2.5)中分子为零而分母不为零时，对应方向图的零点，分子为零时有

若使分母不为零，则必须使n≠N，2N，3N，…，由式(3.2.16)可得

则零功率波瓣宽度为主瓣两侧的零点方向之间的夹角。主瓣的第一对零点发生在Nψ/2=±π时，并有ψNP=±2π/N。

4.副瓣电平

当天线阵的单元数目很多，N很大时，sin(Nψ/2)随ψ变化的速度远大于sin(ψ/2)随ψ变化的速度，副瓣最大值近似发生在方向图的分子为最大值时，即

可得

式(3.2.18)的第一副瓣最大值发生在s=1时，有

当N很大时，sin(ψ/2)≈(ψ/2)，则第一副瓣电平为

5.方向系数

根据方向系数的计算公式，在球坐标系中，沿z轴排列的直线阵方向函数与φ无关，则方向系数可简化为

3.3典型的均匀直线阵

3.3.1边射阵边射阵为最大辐射方向垂直于阵列轴线的直线阵，即最大辐射方向θ0=90°。在最大辐射方向上，ψ=0，同相叠加，即则有β=0，即各单元激励电流的相位相同，为同相直线阵。在边射阵的最大辐射方向，各单元到观察点没有波程差，阵列单元无相位差。

1.阵因子

由步进相位β=0，可得ψ=kdcosθ，则边射阵的归一化阵因子为

2.半功率波瓣宽度

3.零功率波瓣宽度

与上面类似，可求出零功率波瓣宽度的近似公式为

可见边射阵的主瓣宽度与阵的电长度呈反比。

4.副瓣电平

5.方向系数

边射阵的方向系数可由下式求出：

6.示例

以八元边射阵为例，阵列间距d=λ/2，阵列的归一化方向函数Fa(θ)、半功率波瓣宽度HPBW、零功率波瓣宽度NPBW、副瓣电平SLL、方向系数D的计算分别如下：

图3.3.1所示为八元边射阵的阵因子方向图，阵列最大辐射方向为θ0=90°。图3.3.1边射阵的阵因子方向图(N=8，d=λ/2)

3.3.2普通端射阵

若阵列的最大辐射方向为沿线阵轴线方向，则这样的天线阵为普通端射阵。普通端射阵的最大辐射方向θ0=0°或180°，则在最大辐射方向(同相叠加时)上有

普通端射阵中β=-kd(θ0=0°)或β=kd(θ0=180°)，阵列各单元激励电流的相位沿最大辐射方向依次滞后kd。

1.阵因子

由于步进相位β=∓kd，故ψ=kdcosθ∓kd，可得端射阵的归一化方向函数为

2.半功率波瓣宽度

普通端射阵的半功率波瓣宽度为

3.零功率波瓣宽度

与上面类似，可求出普通端射阵的零功率波瓣宽度的近似公式为

4.副瓣电平

对于长阵，普通端射阵的副瓣电平趋于-13.5dB。

5.方向系数

端射阵的方向系数可由下式近似求出：

6.示例

以八元普通端射阵为例，阵列间距d=λ/4，阵列的归一化方向函数Fa(θ)、半功率波瓣宽度HPBW、零功率波瓣宽度NPBW、副瓣电平SLL、方向系数D的计算分别如下：

图3.3.2所示为八元普通端射阵的阵因子方向图，阵列间距d=λ/4，最大辐射方向分别位于θ0=0°和θ0=180°处。图3.3.2普通端射阵的阵因子方向图(N=8，d=λ/4)

3.3.3汉森伍德沃德端射阵(强端射阵)

普通端射阵具有较宽的主瓣，它的方向系数不是最优的。强端射阵是一种适当压缩主瓣宽度，使方向系数最大的改进型端射直线阵，它通过改变间距和步进相位来增强天线阵的方向性。当步进相位增加到

时，可以使端射阵的方向系数最大。式(3.3.15)称为汉森伍德沃德增强方向性条件。由该条件可得

1.阵因子

强端射阵的阵因子为

阵因子的最大值为

由式(3.3.17)和式(3.3.18)可得归一化阵因子为

2.半功率波瓣宽度

对于长阵，汉森伍德沃德阵的半功率波瓣宽度近似为

3.零功率波瓣宽度

强端射阵的零功率波瓣宽度为

4.副瓣电平

第一副瓣电平为

5.方向系数

强端射阵的方向系数可由下式近似求出：

6.示例

以八元强端射阵为例，阵列间距d=λ/4，阵列的归一化方向函数Fa(θ)、半功率波瓣宽度HPBW、零功率波瓣宽度NPBW、副瓣电平SLL、方向系数D的计算分别如下：

图3.3.3所示为八元强端射阵的阵因子方向图，阵列间距d=λ/4，其最大辐射方向为θ0=0°，相较于普通端射阵，其阵列波瓣宽度变窄，方向性增强。

表3.3.1列出了N元等幅线阵的方向图参数比较，包括边射阵、普通端射阵和强端射阵的阵因子、半功率波瓣宽度、零功率波瓣宽度、副瓣电平及方向系数。图3.3.3强端射阵的阵因子方向图(N=8，d=λ/4)

3.3.4主瓣最大方向扫描的阵列

由ψ=kdcosθ0+β=0，得

直线阵相邻单元相位差β的变化，会引起方向图最大辐射方向相应变化，从而实现方向图扫描，称为相位扫描。使阵列主瓣最大值指向θ0时所需的阵列相邻单元的相位差为β=-kdcosθ0。相控阵阵因子为图3.3.4相位扫描的阵列方向图(N=8，d=λ/2)

3.3.5栅瓣和间距的选择

过大的栅瓣会使天线的方向性降低，因此阵列设计中需要对栅瓣进行抑制。ψ可见区的大小是由间距d决定的。当间距过大时，方向图有多个与主瓣最大值相同的大瓣。如前

所述，它们的最大值发生在ψ=2mπ时；当ψ=0时，对应方向图主瓣，其他对应方向图栅瓣。正确设计阵列间距可消除阵列天线方向图栅瓣。要使天线方向图不出现栅瓣，应使ψ可见区

[-kd+β，kd+β]不包括ψ=±2π(第一对栅瓣最大值位置)，即

得

这就是消除栅瓣最大值的间距条件。该条件不能消除栅瓣中的一些较大值，为了消除整个栅瓣，而不只限于消除它的最大值，应有

则有

将前述四种均匀直线阵中相邻阵列单元的激励相位差β代入式(3.3.29)，可得到每种阵列类型中消除整个栅瓣的间距条件如下。

3.4不等幅的等间距边射直线阵

3.4.1方向函数沿z轴排列的直线阵中，各单元的排列、电流幅度分布和坐标系如图3.4.1所示，非均匀激励等间距点源线阵的阵因子为

图3.4.1不等幅等间距边射阵

当阵列为图3.4.1(a)所示的偶数元，即N=2M时，有

3.4.2方向系数

设沿z轴排列的线阵的第n号单元位于zn，电流的幅度为An，电流的相位为αn=-kzncosθ0，其中θ0为主瓣最大值方向。由式(3.2.1)可知归一化阵因子为

对应波束立体角为

计算上式中的积分，并将其结果代入D=4π/ΩA，得

对于等间距边射阵，式(3.4.6)简化为

对于间距等于半波长整数倍的特殊情况，式(3.4.6)简化为

式(3.4.8)与扫描角θ0无关。而且，若幅度均匀，则由式(3.4.8)可得出D=N。

3.4.3几种非均匀激励的等间距线阵

以间距d=λ/2的五元阵为例，如表3.4.1和表3.4.2所示，列出了等幅分布、三角形分布、二项式分布、倒三角形分布、切比雪夫(Chebyshev)分布的电流幅度分布图、方向图及其性能比较。

可见，通过调整单元电流的幅度可以改变副瓣电平，当阵列单元等幅分布时，口径利用率最高，方向系数最大。若电流幅度自中心向两端递减，则可使副瓣电平降低，其代价是主瓣

展宽，从而使方向系数下降，并且递减幅度越大，副瓣电平越低，主瓣宽度越大。二项式分布具有最低的副瓣电平，同时其主瓣最宽，方向系数最低。反之，若电流幅度自中心向两端递增，则副瓣电平升高，方向系数降低。阵列设计中通常采用幅度递减分布来降低方向图副瓣电平，下面两节中所介绍的切比雪夫综合和泰勒综合是两种典型的低副瓣综合方法。

3.5线阵的道尔夫切比雪夫综合

天线的综合是首先给定期望的方向图，采用综合的方法得出天线的形式，然后确定给定形式的天线的激励，使之产生的方向图能够满意地逼近期望的方向图。通过改变天线各单元的电流幅度，使其从中间到边缘锥削，可降低阵列方向图副瓣电平，这属于天线综合方面的内容。本书对于天线综合问题的讨论只限于线源或线阵，主要讲述两种低副瓣窄主瓣的综合方法，即道尔夫切比雪夫(DolphChebyshev)综合方法和泰勒(Taylor)综合方法。

3.5.1道尔夫切比雪夫线阵法

主瓣宽度与副瓣电平之间的最佳折中发生在可见空间有尽可能多的副瓣且所有副瓣均相等时。若要求天线阵阵因子的曲线满足上面的要求，则首先需要找到这样一个曲线的表

达式，然后通过改变各单元电流的激励幅度，使阵因子与这样的曲线的表达式相等。

1.道尔夫切比雪夫多项式

道尔夫切比雪夫多项式(下文简称为切比雪夫多项式)的定义为

图3.5.1n=0~5的切比雪夫多项式曲线

从图3.5.1或式(3.5.1)中可以看出切比雪夫多项式具有如下特性：

(1)偶阶多项式为偶函数，其曲线相对于纵轴对称，即n为偶数时，Tn(-x)=Tn(x)；奇阶多项式为奇函数，即n为奇数时，Tn(-x)=-Tn(x)。

(2)所有多项式均通过(1，1)点，当-1≤x≤1时，多项式的值在-1和1之间振荡，多项式模值的最大值总是1。

(3)多项式的所有零点均在-1≤x≤1内，在x≤1外，多项式的值单调上升或下降。

2.阵因子的切比雪夫多项式

由于在切比雪夫多项式的[-1，1]区间内只有副瓣，主瓣在[-1，1]区间之外，因此必须使阵因子的变化范围超出[-1，1]区间，可令

下面分析切比雪夫多项式曲线与θ表示的阵因子的方向图之间的对应关系。当θ由0°变到180°时，阵因子(切比雪夫多项式曲线)的值及切比雪夫多项式曲线的自变量的变化过程如下：

3.5.2线阵的切比雪夫低副瓣综合

应用以下展开关系：

得阵因子为

令阵因子等于N-1阶切比雪夫多项式，即

令cos(ψ/2)同次幂的系数相等，得

得出对A1归一化后的电流分布为1∶0.9214∶0.7780∶0.5944∶0.6416。将电流分

布代入式(3.5.12)可得阵因子为

副瓣电平为-20dB的低副瓣阵列方向图如图3.5.2(a)所示。更进一步，对副瓣电平分别为-30dB、-40dB的低副瓣天线阵也进行切比雪夫综合，直角坐标方向图分别如图3.5.2(b)、(c)所示。三种低副瓣阵列中电流幅度分布如图3.5.2(d)所示，由图可见，电流分布从中心向两端呈锥削分布，所要实现的阵列副瓣电平越低，阵列单元电流幅度分布的锥削越大。

图3.5.2低副瓣阵列方向图

3.6线阵的泰勒综合

线源法的窄波瓣方向图和线阵一样，也发生在所有副瓣均相等时，所要求的函数形式为切比雪夫多项式。切比雪夫多项式TN(x)在-1<x<1区间的值单调上升或下降，通过变量变换可将切比雪夫多项式转换为期望方向图的形式，即主瓣最大值在x=0处的等副瓣方向图。经变量变换得出的新函数为

式中，a是常数，x为

其中，L为线源长度。在方向图最大值处有

式中，R是主副瓣比。对于N=4，式(3.6.1)的曲线如图3.6.1所示。

图3.6.1切比雪夫多项式P2N(x)=TN(x0-a2x2)的曲线

理想泰勒线源的近似实现可以提供电平几乎相等的前n个副瓣和衰减远副瓣。衰减远副瓣的包络解决了理想泰勒线源的无穷大功率的问题。泰勒线源的方向图仍是x的多项

式，但零点位置由下式给出：

采用表3.6.3中的采样值和采样位置，可由式(3.6.28)和式(3.6.29)计算出方向图和电流分布，其结果如图3.6.2所示。方向图远副瓣的衰减包络如图3.6.2(a)中虚线所示。

图3.6.2SLL=-20dB和n-=3的12λ泰勒线源

图3.6.3SLL=-20dB和n-=4的泰勒线源

完成连乘后就得到表3.6.4中所列的同相电流分布。离散电流分布产生的方向图如图3.6.3(c)所示，可以看出它与图3.6.3(a)很接近。

3.7平面阵

图3.7.1所示为单元数目为M×N的沿矩形栅格排列的矩形平面阵，其位于xOy平面内，沿x轴和y轴排列的天线元间距分别为dx、dy。

图3.7.1平面阵几何结构示意图

根据方向图乘积定理，平面阵的阵因子为

由式(3.7.5)可见，xOz面的方向性仅取决于单元沿x方向的排列方式和电流分布，与单元沿y方向的排列方式和电流分布无关。同样，yOz面的方向性仅取决于单元沿y方向的排列方式和电流分布，与单元沿x方向的排列方式和电流分布无关。因此，可通过分别控制沿x方向和y方向线阵的间距、激励电流的幅度和相位来形成两个平面内不同的方向图。为了抑制栅瓣的出现，间距必须同时满足与线阵相同的条件。

若所有单元激励电流的幅度相等，则阵因子可写成：

若步进相位βx、βy为零，则阵列的最大指向垂直于阵列轴线，为边射阵；若步进相位βx、βy随时间变化，则主瓣指向随时间按式(3.7.10)变化，阵列方向图可在一定空域内扫描。

间距dx=dy=λ/2的5×5元均匀激励等间距边射阵的三维方向图如图3.7.2(a)所示，对应的φ=0°，90°，45°的二维俯仰面方向图如图3.7.2(b)所示。图3.7.2均匀激励等间距边射阵的三维方向图和二维俯仰面方向图图3.7.2均匀激励等间距边射阵的三维方向图和二维俯仰面方向图

间距dx=dy=λ/2，主瓣最大值方向θ0=30°、φ0=45°的5×5元均匀激励等间距斜射阵的三维方向图如图3.7.3(a)所示，其最大辐射方向在第一象限，对应的φ=0°，90°，45°的二维俯仰面方向图如图3.7.3(b)所示。

图3.7.3θ0=30°、φ0=45°的均匀激励等间距斜射阵的三维方向图和二维俯仰面方向图

3.8导电地面上的天线3.8.1镜像原理用镜像原理计算位于无限大理想导电平面上天线的电磁场，应首先确定镜像天线的电流分布。镜像天线的电流分布应使等效系统在虚镜面表面上的电磁场与实际天线系统在无限大理想导电平面表面上的电磁场相同，即两者必须有相同的边界条件(表面切向电场为零)。根据场的唯一性定理，等效天线系统和实际天线系统在实际天线所在空间具有相同的电磁场解。应当指出的是，在镜像天线所在的半空间，两个系统并不等效，此半空间里实际天线系统的场为零。

从电基本振子的远场公式注意到，式中θ是射线与电流正向的夹角，实际电基本振子在虚镜面表面P点(如图3.8.1(a)中所示)的电场可表示为

式中，C、D为常数。

由于垂直电基本振子的镜像为正像I1=I2，且r2=r1，因此镜像振子在同一点的电场可表示为

由于θ1=180°-θ2>90°，故Er1=-Er2，Eθ1=Eθ2，它们的矢量图如图3.8.1(a)所示。从图中可见，Er1和Er2及Eθ1和Eθ2在虚镜面上的切向分量正好分别完全抵消，因而虚镜面表面上切向电场为零，与原天线系统的边界条件相同，故垂直电基本振子的镜像必为正像。同理可说明水平电基本振子的镜像必为负像(如图3.8.1(b)所示)。

图3.8.1电基本振子镜像的说明

垂直电基本振子和水平电基本振子的镜像振子分别与原振子相同，镜像电流分别为等幅同相和等幅反相，倾斜放置的电基本振子可分解为垂直电振子和水平电振子。电流分布

不均匀的天线可以看成是由许多电基本振子组成的，每个电基本振子都有和它对应的镜像，将它们组合起来就可得出整个天线的镜像。图3.8.2中分别给出了对称振子及其镜像振子的示意图。

图3.8.2对称振子及其镜像振子

3.8.2理想地面上的天线

1.理想导电地面上的垂直对称振子

位于无限大理想导电地面上的垂直接地天线如图3.8.3所示，地的影响可用镜像天线来代替，从而天线与其镜像构成一对称振子，它在上半空间的辐射场与自由空间对称振子的辐射场相同。设振子沿z轴放置，距离导电地面的距离为h，射线与导电地面间的夹角称为仰角(用Δ表示)，则其场强幅度为

式中θ=90°-Δ，则

天线归一化方向函数为

图3.8.3垂直接地天线

此天线只在上半空间有场的表示式，下半空间的场为零。不同高度的垂直接地天线在地面上方的方向图如图3.8.4所示，和对称振子方向图的规律一致，其方向图特性与振子高度h相关。

图3.8.4垂直接地天线在地面上方的方向图

图3.8.4垂直接地天线在地面上方的方向图

应用坡印廷矢量法进行积分，可得理想导电地面上的垂直对称振子的辐射功率为

其辐射功率是自由空间同等臂长且电流分布相同的对称振子的一半。其辐射电阻为

图3.8.5中所示为理想导电地面上的垂直对称振子，设对称振子沿z轴放置，对称振子中点至理想导电地面的高度为h，仰角为Δ。它垂直放置时与镜像振子组成间距为2h的等幅同相二元阵。其中单元因子为

图3.8.5理想导电地面上的垂直对称振子

不同高度的垂直对称振子的方向图如图3.8.6所示，不论h为何值，其最大值都位于水平面上，而Δ=90°为方向图的零点。图3.8.6不同高度的垂直对称振子的方向图图3.8.6不同高度的垂直对称振子的方向图

2.理想导电地面上的水平对称振子

图3.8.7中所示为理想导电地面上的水平对称振子，设对称振子沿y轴放置，对称振子至理想导电地面的高度为h，仰角为Δ。它水平放置时与镜像振子组成间距为2h的等幅反相二元阵。其中单元因子为

图3.8.7理想导电地面上的水平对称振子

不同架设高度的水平对称振子在φ=0°面内的方向图如图3.8.8所示，不论h为何值，其零点都位于水平面上。而最大值方向随h的变化而不同，当图3.8.8不同架设高度的水平对称振子的方向图图3.8.8不同架设高度的水平对称振子的方向图

3.8.3实际地面上天线的方向图

反射系数近似为平面波入射到实际地面的反射系数，与入射波极化特性、入射角和地面电参数及频率等有关，它是一个复数，其表达式如下：

水平电基本振子(离地面高度为h)在H平面(垂直于振子轴的平面)内产生水平极化波，地面上空间的辐射场可表示为

不同实际地面上，高度为λ/4和λ/2的垂直电振子的俯仰面方向图如图3.8.9所示，图中参数n=σ/(ωεrε0)，其中εr=15，为地球的平均介电常数。对于理想地面(n=∞)，沿地面为最大辐射方向；对于实际地面，Δ接近0时，ΓV≈1，因而沿地面为零辐射方向。实际地面有限电导率的影响是主瓣上翘，辐射强度降低。

图3.8.9不同实际地面上垂直电振子的俯仰面方向图(εr=15)

不同实际地面上，高度为λ/4和λ/2的水平电振子的H平面方向图如图3.8.10所示，可见实际地面的有限电导率对水平振子的影响比对垂直振子的影响要小得多。图3.8.10不同实际地面上水平电振子的H平面方向图(εr=15)

3.9圆阵

3.9.1方向函数

图3.9.1N元点源圆阵

若r≫a，则

式中

式(3.9.8)的指数项可写为

因而式(3.9.10)和式(3.9.8)可分别写为

图3.9.2ka=10的十元均匀激励等间距圆阵的方向图

3.9.2方向系数

无方向性点源单层圆阵的方向系数按下式计算：

由于式(3.9.17)大括号内的通项

因此式(3.9.16)中的分母为

把式(3.9.21)代入式(3.9.16)，得到

3.10线源

许多天线可以用线源或线源的组合来模拟，例如缝隙、矩形喇叭或圆口径抛物面等。沿z轴中心位于坐标原点