立体几何中的动态问题讲义-2025届高三数学一轮复习

培优课15立体几何中的动态问题培优点一动态中的位置关系判断典例1[2024·海南模拟]（多选题）如图，在矩形ABCD中，BC=1,AB=x,BD和AC交于点O，将△BAD解题观摩A.存在x，且在翻折过程中存在某个位置，使得AB⊥OC（审题①考虑证明OCB.存在x，且在翻折过程中存在某个位置，使得AC⊥BD（审题②考虑证明BDC.存在x，且在翻折过程中存在某个位置，使得AB⊥平面ACD（审题③考虑AD.存在x，且在翻折过程中存在某个位置，使得AC[解析]对于A，当AB=x=1时，此时矩形ABCD为正方形，则AC⊥BD，将△BAD沿直线BD翻折，若使得平面ABD⊥平面BCD时,由OC⊥BD，OC又AB⊂平面ABD,所以AB⊥OC，故A正确.对于B，当AB=x=1时，AC⊥BD,则OC⊥BD，OA⊥BD，且OA∩OC=O，OA对于C，在矩形ABCD中，AB⊥AD,AC=1+x2，所以将△BAD沿直线BD翻折时，总有AB⊥AD，取即AB⊥AC，且AC∩AD=A，AC⊂平面ACD,AD⊂平面ACD，则此时满足AB⊥平面ACD，故C正确.对于D，假设在翻折过程中存在某个位置，使得AC⊥平面ABD，且AO⊂平面ABD故选ABC.解决空间位置关系的动点问题的方法1.应用“位置关系定理”转化.2.建立“坐标系”计算.由二面角确定位置关系1.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起至△AD′E，设二面角D′−AE−B的大小为A.存在某个位置，使得α<β C.β>45∘[解析]如图，作DF⊥AE于点O,连接EF,过点D′作D′H⊥OF，垂足为H,因为OE⊥OD′,OE⊥OF,因为OE⊥D′H,D′H⊥OF，所以D′H⊥平面ABCE，所以∠sinα=D因为sinβ=D′HAD′=OD由确定的位置关系求取值范围2.如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=xx>0，D是斜边AB的中点，将△BCDA.(0,3] B.(22,2[解析]取BC的中点E，连接DE，翻折前如图1，则DE=12AC=12，又BC=x，所以AD=CD=BD=x2+12.翻折后，在图2中，当BC⊥AD时，连接AE，由题意可得BC即x2+12+12如图3，当翻折到△B1CD与△ACD在一个平面内时，若AD⊥B1C，则AD与B1又∠CDA=∠CBD+∠BCD，即∠在Rt△ABC中，BC=AC⋅tan60∘=培优点二动态中的轨迹问题典例2[2024·黑龙江校考]如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E是线段DD1解题观摩[解析]如图，取B因为A1D1//BC,A1D1=BC，所以四边形D1A1BC为平行四边形，所以A1B//D1C，又所以D1E=12D1D，BF=12B1B，又D1D//B1B,D1D=B1B，所以D1E//当点M在平面FD1C上时，D1M⊂平面FD1C,所以D1M//平面A1所以CF=解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法1.几何法：根据平面的性质进行判定.2.定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算.3.特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或特殊位置进行排除.动点轨迹形状问题1.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知P为正方形AA1D1D中的一个动点，且点A.直线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线[解析]如图，以D为原点，DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，不妨设设Px,0,z，x,z∈[0,1]，过点P作EF//AD分别交AA1,DD1于点E,F，连接PC1,由题意∠D1PC得1x2+1−翻转过程中的空间动点轨迹问题2.如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3，E为AB的中点，将△ADE沿DE折起至△A′DE，记二面角A′−[解析]取DE的中点M，连接AM,A′M（图略），则AM=A′M，故点A′在以M为球心，AM为半径的球面上.过点A′作A′G⊥DE，垂足为G，连接AG，则AG⊥DE.在矩形ABCD中，AE=1,AD=3，故AG=1×31+3=32，故AG=培优点三动态中的定值问题典例3[2024·安徽校考]（多选题）如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1解题观摩A.异面直线CB.三棱锥DC.直线CP和平面ABC1D1所成的角的大小是定值D.若点Q是线段BD上动点，则直线PQ[解析]如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接BC1，CB1，C1P，对角面ABC1D1是矩形，AB⊥平面BCC1B1，CB即异面直线C1P与CB1所成角的大小为定值，A正确；连接BD,DC1,PD,PB,由四边形ABC1D1是矩形，得AD1//BC1，而BC因此V三棱锥D−BPC1=V三棱锥P−BDC1为定值，B正确；连接AC,CD1,CP,在△ACD1中，AC=CD1=Aθ不是定值，C错误；取AD的中点E，连接CE，交BD于点Q，连接A1E，交AD1于点P1，连接P则当P与P1重合时，有PQ//A1C动态立体几何问题，在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口.由定值推出定值1.（多选题）如图，在三棱锥A−BCD中，AB⊥平面BCD,BC⊥CD,BE⊥AC,EA.若AC的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值B.若AD的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值C.若BD的长为定值，则EF的长也为定值D.若CD的长为定值，则EF⋅[解析]如图，取AD的中点O，连接OB,OC,∵AB⊥平面BCD，DB⊂∴AB∴OB=12AD,∵AB⊥平面BCD∵BC⊥CD，BC∩AB=B,BC,ABAC⊂平面ABC，∴∴OC=1∴O为外接球的球心，AD该三棱锥外接球的半径为12AD，故由以上分析可知，AD=AC2+CD故当AC的长为定值时，该三棱锥外接球的半径不一定为定值，故A错误；由B的分析可知CD⊥平面ABC,BE⊂平面ABC,故CD⊥BE，又BE⊥AC，AC∩CD=C,AC,CD⊂平面ACD，∴BE⊥平面ACD，DE由以上分析可知CD⊥BE，CD⊥EC，故由于F为BD的中点，故EF⋅CD=12ED+EB⋅与翻折问题结合2.（多选题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是CD的中点，将△ADE沿AE翻折到△APE的位置，F是线段PB的中点，在△ADE翻折到△A.存在某个位置，使得PAB.CF的长度为定值C.四棱锥P−ABCED.直线PA与平面ABCE所成角的正切值的最大值为1[解析]因为PA⊥PE，假设PA⊥BE，又PE∩BE=所以PA⊥平面PBE，又PB⊂平面PBE，所以在△PAB中，PA=AB=2，所以PA取PA的中点G，连接EG，FG，如图1所示，因为F是线段PB的中点，G是PA的中点，所以GF//AB，GF=12AB，又EC//所以四边形GFCE是平行四边形，所以CF=GE=当平面PAE⊥平面ABCE时，四棱锥P过P作AE的垂线，垂足为H，如图2，所以PH⋅AE=PA⋅PE，所以PH=因为平面PAE⊥平面ABCE，平面PAE∩平面ABCE=AE，PH⊥所以PH⊥平面ABCE，即PH是四棱锥P所以V三棱锥P−当平面PAE⊥平面ABCE时，直线PA与平面ABCE此时AH=PA2−故选BCD.培优点四动态中的最值（范围）问题典例4（多选题）如图，在圆锥PO中，已知圆O的直径AB=6，C是底面圆O上异于A的动点，圆锥的侧面展开图是圆心角为3π的扇形.若CQ解题观摩A.△PAC面积的最大值为3B.AP⋅AQ的值与C.三棱锥AD.若AC⌢=2CB⌢，错误字符差异AQ[解析]设圆锥的母线长为l，由2π×3=3π×所以圆锥的高PO=l2−r所以S当且仅当AP⊥PC时取等号，当AP所以AP⋅AQ的值与λ的取值无关，B错误；如图，过点Q作QD//PO交OC于点D，由PO⊥平面ABC，得QD⊥平面ABC，由所以当且仅当λ=12，且C为AB⌢的中点时，三棱锥A−若AC⌢=2CB⌢，则∠AOC=120∘,∠显然OD=1−λOCtanθ=QD所以tanθ∈[5757,空间几何体中的某些对象，如点、线、面，在约束条件下运动，带动相关的线段长度、几何体体积等发生变化，进而就有了面积、体积及角度的最值问题.定性分析在空间几何体的变化过程中，通过观察运动点的位置变化，确定其相关量的变化规律，进而发现相关面积或体积等的变化规律，求得其最大值或最小值定量分析将所求问题转化为某一个相关量的问题，即转化为关于其中一个量的函数，求其最大值或最小值的问题.根据具体情况，有函数法、不等式法、三角函数法等多种方法可供选择球体上动点变为圆锥上的动点1.[2024·济宁模拟]（多选题）如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，B是圆O上异于A，C的动点，SO=OC=A.圆锥SO的侧面积为8B.三棱锥S−ABCC.∠SAB的取值范围是D.若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE[解析]在Rt△SOC中，SC则圆锥的母线长l=22对于选项A，圆锥SO的侧面积为πrl=4对于选项B，当OB⊥AC时，△ABC的面积最大，此时S△ABC=1对于选项C，当点B与点A重合时，∠ASB=0为最小角，当点B与点C又因为点B与点A，C不重合，则∠ASB∈0,π2，又对于选项D，由AB=BC，∠ABC得AB=BC=22，又SA将△SAB以AB为轴旋转到与△ABC共面，得到则△S1AB如图所示，则SE+因为S1∠SS1C2=S1B动点变为动几何体2.[2024·新疆模拟]若棱长为6的正方体内有一个棱长