数学-辽宁省七校协作体2023-2024学年高二下学期6月月考试题和答案

第1页/共26页2023—2024学年度（下）七校协作体高二联考数学试题是符合题目要求的.A.1B.2C.4拟合，设z=lnx，利用最小二乘法求得y关于z的回归方程=z+1.已知x1x2yi=18，则3.图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，则第n个三角形的面积为()A.B.C.D.4.下列说法中正确的有()A.已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据的30%分位数可能等于原样本数据的30%分位数；第2页/共26页C.设随机变量D.某人参加一次游戏，游戏有三个题目，每个题目答对的概率都为0.5，答对题数多于答错题数可得4分，否则得2分，则某人参加游戏得分的期望为35.已知函数f(x)=x(m-ex)，曲线y=f(x)上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线y=x平行，则实数m的取值范围是()A.1-e-2,1B.(-1-e-2,-1)C.(-e-2,0)D.6.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件A，“第二次向上的点数是奇数”为事件B，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件C，则下列说法正确的是()A.事件A与事件B互为对立事件C.D.事件B与事件C相互不独立7.设数列{an}的前n项和为=-1,S1=32，则下列说法正确的是()A.{an}是等比数列B.S3,S6-S3,S9-S6成等差数列，公差为-9C.当且仅当n=17时，Sn取得最大值8.设函数f(x)=lnx-ax2-(a-2)x，若不等式f(x)>0恰有两个整数解，则实数a的取值范围是9.已知数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，下列说法正B.若{an}是等比数列，Sn=5n+c（c为常数则必有c=-1第3页/共26页C.若{an}是等比数列，则Sn==则数列为递增等差数列10.甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映的《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，《第二十条》三部电影，每人都要看且限看其中一部.记事件A为“恰有两名同学所看电影相同”，事件B为“只有甲同学一人看《飞驰人生2》”，则()A.四名同学看电影情况共有34种B.“每部电影都有人看”的情况共有72种C.D.“四名同学最终只看了两部电影”的概率是11.已知函数f(x)=x2-2xlnx，g(x)=ex-lnx-2，下列说法正确的是()A.函数g(x)存在唯一极值点x0，且x0∈B.令h则函数h(x)无零点12.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a11-a8=3,S11-S8=3，则使an>0的最小正整数n的值是.______f则实数a的取值范围是.14.已知有A,B两个盒子，其中A盒装有3个黑球和3个白球，B盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入A盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中．按上述方法重复操作两次后，B第4页/共26页盒中恰有7个球的概率是.（1）讨论函数y=f(x)的单调性；（2）设函数g(x)=f(x)-sinx，若函数y=g(x)在[0,+∞)上为增函数，求实数a的取值范围.16.已知数列{an}为等差数列，a2=3，a14=3a5，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足2Sn=3bn-1.（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）若cn=an.bn，数列{cn}的前n项和为Tn，①求Tn；②若Tn-n.3n<(-1)n.m对n∈N*恒成立，求实数m的取值范围.17.某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下2×2列联表：性别不经常锻炼经常锻炼合计男生7女生30合计21注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.（1）请完成上面2×2列联表，并依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；（2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的数学期望E(X)和方差D(X)；（3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望.第5页/共26页α0.1.0.01xα2.7063.8416.63518.已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx，常数a>0.（1）当x=1时，函数f(x)取得极小值-2，求函数f(x)的极大值.（2）设定义在D上的函数y=h(x)在点P(x0,h(x0))处的切线方程为l:y=g(x)，当x≠x0时，若>0在D内恒成立，则称点P为h(x)的“类优点”，若点(1,f(1))是函数f(x)的“类优点”.①求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.②求实数a的取值范围.19.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.（1）已知等比数列{an}满足：a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0，求证：数列{an}为“M-数列”；（2）已知数列满足：b1=1,2Sn=，其中Sn为数列{bn}的前n项和.①求数列{bn}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M-数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有ck≤bk≤ck+1成立，求m的最大值.第6页/共26页2023—2024学年度（下）七校协作体高二联考数学试题是符合题目要求的.A.1B.2C.4【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的基本量运算求出公比q，进而化简a1a4求值即可.【详解】设等比数列{an}的公比为q:a3+a4=a2q+a2q2=q+q2=6，:q=2或q=-3（舍）故选：B拟合，设z=lnx，利用最小二乘法求得y关于z的回归方程=z+1.已知x1x2yi=18，则【答案】C【解析】【分析】利用已知数据可求得样本中心点(2,3)，再利用回归方程必过样本中心点，即可求出=1.第7页/共26页由x1x2x3x4x5x6=e12可得：由回归方程=z+1必过样本中心点(z,y)，即过点(2,3)，故选：C.3.图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，则第n个三角形的面积为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】记OA1,OA2,…,OAn的长度构成的数列为{an}，依题意可得a=a-1+1，即可得到是以1为首项，1为公差的等差数列，从而求出an，再由面积公式计算可得.【详解】记OA1,OA2,…,OAn的长度构成的数列为{an}，所以a1=1，且a=a-1+1，所以数列{a}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a=1+(n-1)×1=n，所以第n个三角形的面积为an×1=.第8页/共26页故选：B.4.下列说法中正确的有()A.已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据的30%分位数可能等于原样本数据的30%分位数；C.设随机变量D.某人参加一次游戏，游戏有三个题目，每个题目答对的概率都为0.5，答对题数多于答错题数可得4分，否则得2分，则某人参加游戏得分的期望为3【答案】D【解析】【分析】根据百分位数的计算方法，可得判定A错误；根据相关系数的概念，可判定B错误，根据正态分布的定义和期望、方差的性质，可得判定C错误；设得分为随机变量X，得到X的可能取值，求得相应的概率，结合期望公式，求得数学期望，可判定D正确.【详解】对于A中，原来30个样本数据，从小到大排列，设为a1,a2,a3,…,a30，可得30×30%=9，所以30%分位数为，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据，可得a2,a3,…,a29，可得28×30%=8.4，所以30%分位数为a9，其中≠a9，所以A不正确；可得rA<rB，所以则B组数据比A组数据的线性相关性强，所以B不正确；对于C中，设随机变量X~N(3,22)，可得E(X)=3,D(X)=4，对于D中，设得分为随机变量X，则X的可能取值为2,4，所以参加游戏得分的期望为=3，所以D正确.第9页/共26页故选：D.5.已知函数f(x)=x(m-ex)，曲线y=f(x)上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线y=x平行，则实数m的取值范围是()A.1-e-2,1)B.(-1-e-2,-1)C.(-e-2,0)D.(1-e-2,+∞)【答案】A【解析】【分析】求导f,(x)=m-(x+1)ex，问题转化为m-1=(x+1)ex有两个不同的根，利用导数研究函数的单调性，结合单调性和最值可得结果.【详解】因为f(x)=x(m-ex)，则f,(x)=m-(x+1)ex，令m-(x+1)ex=1，整理得m-1=(x+1)ex，设gx>-2时，g,(x)>0；x<-2时，g,(x)<0；可知g(x)在(-∞,-2)上单调递减，在(-2,+∞)上单调递增，则g(x)≥g(-2)=-e-2，当x趋近于-∞时，g(x)趋近于0，当x趋近于+∞时，g(x)趋近于+∞,由题意可知：m-1=(x+1)ex有两个不同的解，即y=m-1与y=(x+1)ex的图像有两个不同的交点，则-e-2<m-1<0，解得1-e-2<m<1，令f,(x0)=m-(x0+1)ex0=1，则m=(x0+1)ex0+1，ex0+1)，第10页/共26页)，所以实数m的取值范围是(1-e-2,1).故选：A.6.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件A，“第二次向上的点数是奇数”为事件B，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件C，则下列说法正确的是()A.事件A与事件B互为对立事件B.C.D.事件B与事件C相互不独立【答案】C【解析】【分析】由对立事件的定义判断A；应用列举法求P(C)、P(BC)判断B、C；根据独立事件的判定判断D.【详解】由事件定义，事件A与事件B可以同时发生，故不互为对立事件，A错误；抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种，所以，B错误；P，C正确；因为P(BC)=P(B)P(C)，所以事件B与事件C相互独立，D错误.故选：C7.设数列{an}的前n项和为=-1,S1=32，则下列说法正确的是()A.{an}是等比数列B.S3,S6-S3,S9-S6成等差数列，公差为-9第11页/共26页C.当且仅当n=17时，Sn取得最大值【答案】D【解析】,n≥2可求出an，再逐个分析判断即可.所以数列是以-1为公差，32为首项的等差数列，所以=32-(n-1)=33-n，所以Sn=33n-n所以当n≥2时，Sn-1=33(n-1)-(n-1)2，所以an=Sn-Sn-1=33n-n2-[33(n-1)-(n-1)2]=34-2n，所以{an}是以-2为公差的等差数列，所以A错误，所以S3,S6-S3,S9-S6成等差数列，公差为-18，所以B错误，*，所以当n=16或n=17时，Sn取得最大值，所以C错误，*，所以n的最大值为33，所以D正确，故选：D第12页/共26页8.设函数f(x)=lnx-ax2-(a-2)x，若不等式f(x)>0恰有两个整数解，则实数a的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】函数g图象上恰有两个横坐标为整数的点落在直线y=a(x+1)-2的上方，由图象可知，这两个点分别为所以直线l的斜率a的取值范围为即 故选A点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.9.已知数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，下列说法正B.若{an}是等比数列，Sn=5n+c（c为常数则必有c=-1第13页/共26页C.若{an}是等比数列，则Sn=D.若an+4Sn-1Sn=0(n≥2),a1=，则数列{}为递增等差数列【答案】BD【解析】【分析】由等差数列，等比数列的性质与前n项和公式逐项判断即可.【详解】若{an}是等差数列，a15+a16>0,a15+a17<0，所以使Sn>0的最大正整数n的值为30.故A错误；若n}是等比数列，Sn=5n+c，则an=Sn-Sn-1=5n+c-5n-1-c=4×5n-1，所以{an}是首项为a1=4，公比为5的等比数列，所以=5n-1=5n+c，所以c=-1，故B正确；若若an+4Sn-1Sn=0,a1=所以Sn-Sn-1+4Sn-1Sn=0(n≥2)，所以Sn-Sn-1=-4Sn-1Sn，所以=-4，即=-4，所以所以是以为首项，4为公差的递增等差数列，故D正确；故选：BD.10.甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映的《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，《第二十条》三部电影，每人都要看且限看其中一部.记事件A为“恰有两名同学所看电影相同”，事件B为“只有甲同学一人看《飞驰人生2》”，则()A四名同学看电影情况共有34种.第14页/共26页B.“每部电影都有人看”的情况共有72种D.“四名同学最终只看了两部电影”的概率是【答案】ACD【解析】【分析】根据分步乘法计数原理可判断A；将四名同学先分组，再分到三部电影可判断B；由条件概率可判断C；先求出四名同学最终只报了两个项目的方法总数，再结合A选项可判断D.【详解】对于A，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择，故四名同学的报名情况共有34种，A正确；对于B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有C=6种情况，再将其分到三个活动中，共有A=6种，由分步乘法计数原理得到6×6=36种，故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，B错误；对于C，由已知有所以C正确；对于D，“四名同学最终只报了两个项目”的概率是正确.故选：ACD.11.已知函数f(x)=x2-2xlnx，g(x)=ex-lnx-2，下列说法正确的是()A.函数g(x)存在唯一极值点x0，且x0∈B.令h则函数h(x)无零点【答案】ABD第15页/共26页【解析】出g(x)恒大于0，f(x)恒大于0，即可判断B；由g(x)的值域即可判断C；由f(x)的单调性即可判断D.x(2,x(2,(2,x00x00(2,x0g(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，所以g(x)≥g(x0)=x-2x0lnx0=x+2x=3x>0，所以g(x)恒大于0；由f,(x)=2x-2lnx-2，令h(x)=2x-2lnx-2,x>0，所以h(x)≥h(1)=0，即f,(x)≥0，即f(x)在(0,+∞)单调递增，又x→0时，f(x)→0，所以f(x)>0，由g(x)恒大于0，f(x)恒大于0，故h(x)无零点，B正确；对于C，由B得g(x)>0，由g(x)+2>m恒成立，得g(x)>m-2在(0,+∞)所以f(a+b)>f(a)，即(a+b)2-2(a+b)ln(a+b)>a2-2alna，(a,(a,不等式两边同除以2b得，a+正确，第16页/共26页故选：ABD.12.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a11-a8=3,S11-S8=3，则使an>0的最小正整数n的值是.______【答案】10【解析】【分析】设等差数列{an}的公差为d，根据题意，列出方程组求得a1=-8,d=1，得到{an}的通项公式为【详解】设等差数列{an}的公差为d，又因为n∈N*，所以n=10，所以使an>0的最小正整数n的值是10.故答案为：10.f则实数a的取值范围是.【解析】【分析】利用导数求出f(x)在x∈[0,3]上的最小值和上的最大值，由题意f(x)min>g(x)max，列式求解即可.【详解】因为f(x)=x3-3x2+a，x∈[0,3]，所以f,(x)=3x2-6x=3x(x-2)，即f(x)在[0,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增，所以f(x)min=f(2)=a-4，第17页/共26页即在上单调递减，在上单调递增，fmin>gmax，14.已知有A,B两个盒子，其中A盒装有3个黑球和3个白球，B盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入A盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中．按上述方法重复操作两次后，B盒中恰有7个球的概率是.【答案】【解析】【分析】确定出两次取球后B盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜，再分别计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求得结果.【详解】若两次取球后，B盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜；若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为第一次取球后A盒中有2个黑球和3个白球，B盒装有4个黑球和2个白球，第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为此时B盒中恰有7个球的概率为若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为第一次取球后A盒中有3个黑球和2个白球，B盒装有3个黑球和3个白球，第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为第18页/共26页此时B盒中恰有7个球的概率为所以B盒中恰有7个球的概率为.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的突破口在于先分清楚两次取球后，B盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜；再分别讨论并计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率即可求得结果.（1）讨论函数y=f(x)的单调性；（2）设函数g(x)=f(x)一sinx，若函数y=g(x)在[0,+∞)上为增函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案见解析【解析】【分析】（1）对函数进行求导，参数a进行分类讨论，再利用函数的单调性与导数的关系即得2）由题可)上恒成立，再利用导数求函数的最值即可.【小问1详解】①当a≥1时，f,(x)=a一1+ex>0，函数f(x)在R上单调递增；)上单调递减；综上，当a≥1时，函数f(x)在R上单调递增；在)上单调递增，第19页/共26页【小问2详解】)上恒成立.16.已知数列{an}为等差数列，a2=3，a14=3a（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）若cn=an.bn，数列{cn}的前n项和为Tn，①求Tn；n*恒成立，求实数m的取值范围.*n1*)【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式可构造方程求得公差d，由此可得an；利用bn与Sn关系可证得数列{bn}为等比数列，由等比数列通项公式可求得bn；（2）①由（1）可得cn，采用错位相减法可求得Tn；②分别在n为奇数和n为偶数的情况下分离参数，根据数列单调性可求得m的取值范围.【小问1详解】设等差数列{an}的公差为d，2*)；第20页/共26页n2Sn1:bn=3bn一1，:数列{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列，:bn=3n一1(n*.【小问2详解】22nn:{3n1}为递增数列，:当n为奇数时，(3n1)mn2:{13n}为递减数列，:当n为偶数时，(13)max=13=8，:m>8；综上所述：实数m的取值范围为(一8,2)n217.某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下2×2列联表：性别不经常锻炼经常锻炼合计男生7女生30合计21注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.（1）请完成上面2×2列联表，并依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经第21页/共26页常性有关系；（2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的数学期望E(X)和方差D(X)；（3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望.α0.10.050.01xα2.7063.8416.635【答案】（1）表格见解析，性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系（3）分布列见解析，E(Y)=2.1【解析】【分析】（1）先根据题意完成2×2列联表，代入公式可得x2≈3.590>2.706，即可得到结论；（2）依题意可得X近似服从二项分布，先求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率为从而可得即可求得E(X)和D(X)；（3）依题意可得Y的所有可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布公式求得概率，进而即可得到Y的分布列和期望值.【小问1详解】根据题意可得2×2列联表如下；性别不经常锻炼经常锻炼合计男生72330女生30第22页/共26页合计213960零假设为H0：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；根据列联表的数据计算可得≈3.590>2.706=x0.1，根据小概率值α=0.1的独立性检验，推断H0不成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1.【小问2详解】因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布，易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率即可得【小问3详解】易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，所以Y的所有可能取值为