2024四川省眉山市高三下学期三诊理数试题及答案

秘密★启用前眉山市高中2024届第三次诊断性考试数学（理科）本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､座位号和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.､一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.11.在复平面内，对应的点位于（）1iA.第一象限C.第三象限B.第二象限D.第四象限U2,3，集合A3，则20,1,B2.设全集（）ðABUðABA.B.D.UC.ðABUðABU3.采购经理指数（PMI），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测､预警作用.综合PMI产出指数是PMI指标体系中反映当期全行业（制造业和非制造业）产出变化情况的综合指数，指数高于时，反映企业生产经营活动较上月扩张；低于，则反映企业生产经营活动较上月收缩.2023年我国综合PMI产出指数折线图如下图所示：根据该折线图判断，下列结论正确的是（）A.2023年各月综合PMI产出指数的中位数高于B.2023年各月，我国企业生产经营活动景气水平持续扩张C.2023年第3月至12月，我国企业生产经营活动景气水平持续收缩D.2023年上半年各月综合PMI产出指数的方差小于下半年各月综合PMI产出指数的方差abc3ac,bc4.已知向量a,b,c满足，且abc0，则（）1314333314C.D.A.B.5.12xx)5的展开式中x3的系数为（）A.20B.10C.-10D.-20π2π35,cos，则sin（6.已知）131253125312351235A.B.C.D.262626267.设O为坐标原点，过点0的直线与抛物线C:y22px(p0)M,N交于两点，若p4，则的值为（）1412A.B.C.2D.4ABCDABCDPABCD组合而成，已知11118.如图，该组合体由一个正四棱柱和一个正四棱锥11112,2，则（）11PA1∥平面1D1∥平面1D1A.C.B.111PD11平面平面D.,B,C9.四名同学参加社会实践，他们中的每个人都可以从三个项目中随机选择一个参加，且每人的选择相互独立.这三个项目中恰有一个项目没有被任何人选择的概率为（）15162132A.B.C.D.ππ4210.给出下述三个结论：①函数fxxfxcos2x,π的最小正周期为；②函数在区间π单调递增；③函数fx2xx的图象关于直线对称.其中所有正确结论的编号是（）2A.①②③B.②③C.①③D.②x22y22y轴上，11.已知双曲线C:ab0)的左，右焦点分别为F,F.点2A在C上，点B在1ab4,FB，则C的离心率为（）21332142142A.B.2C.D.443bbx1a0恒成立，则的最大值为（2x„ax312.若关于的不等式）a1212A.B.C.D.e2e2ee､二填空题：本题共小题，每小题分，共4520分.xy…x,y„z3xy的最小值为__________.2xy2013.若满足约束条件，则2xy…的三边长，则的面积为14.已知AB4cm,BC2cm,AC__________cm2.15.若为奇函数，则__________.（填写符合要求的一个值）fx2cosxcosx16.已知球O的半径为3，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆1,O，其半径分别为r,r，若122OO6,r2rMO__________.，则1，两圆的公共弦的中点为M1221､三解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）y某公司为改进生产，现对近5年来生产经营情况进行分析.收集了近5年的利润（单位：亿元）与年份代,2023年），并得到如下值：xx2,3,4,5分别指2019年，2020年，码共5组数据（其中年份代码55yy2yyxx25iiyii1i1yxr的相关关系，计算该样本相关系数，并判断变量yx与的相关程（1）若用线性回归模型拟合变量与r度（精确到0.01）；yxy（2）求变量关于的线性回归方程，并求2024年利润的预报值.附：①6.52.55；②若r…0.75，相关程度很强；0.3„r0.75，相关程度一般；r„0.3，相关程度较弱；③一组数据x,y,x,y,,x,y，其回归直线yabx的斜率和截距的最小二乘估计分别为ˆˆˆ1122nnnnixiyxxyyiiˆˆi1bi1,ˆybx；相关系数rnnn222xxixiyii1i1i118.（12分）已知数列的前项和为，且.anS2SanN*nnnn（1）求数列的通项公式；an（2）若__________，求数列的前项和T.bnnnn9nnb3na;②b；③ban1a，这三个条件中任选一个补充在上面的横线上并n从①n3nnn1n2解答问题.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，平面FCD平面ABCD，平面平面πABCDAEBCFD是等腰直角三角形，且.2（1）证明：平面ABF∥平面CDE；π（2）若„20.（12分），求平面与平面BCE所成锐二面角的余弦值的取值范围.3x22y23已知椭圆C:ab0)的离心率是，左右顶点分别为､A,AAA，过线段上的点1212ab22Q0的直线与C交于M,N两点，且1与2的面积比为3:1.（1）求椭圆C的方程；NA交于点P.证明：点P在定直线上.2（2）若直线21.（12分）与1已知函数fxxax2x.2（1）若过点可作曲线y1,0fxa两条切线，求的取值范围；（2）若有两个不同极值点.fxx,x12a①求的取值范围；x4x223xx②当时，证明：1.12（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）CxOyC2,2，半径为2，以坐标原点Ox为极点，轴正半轴为极轴建立在直角坐标系中，的圆心为极坐标系.C（1）求的极坐标方程；C的最大值.（2）过点O的直线交于P,Q两点，求23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数fx2x2x2.（1）若对任意xR，使得fx…a2aa恒成立，求的取值范围；114（2）令的最小值为.若正数满足Mab…4，求证：.fxMa,b,cabc理科数学参考解答及评分参考､一选择题1.【答案】B1i1i111i1i1【解析】由，对应的点位于第二象限，选择B.2【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计复数运算问题，主要考查复数的除法运算，复数的几何意义等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想；考查数学运算､直观想象等数学核心素养.2.【答案】DB2,33，选项A错误；ðAU【解析】由B2,33，选项B错误；3ðAU，选项C错误；因为，所以ðABð2,0,2,33ABUU，所以选项D正确.ðAB2U【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计集合运算问题，主要考查集合的交集与并集，补集运算等基础知识；考查运算求解能力，数学运算等数学核心素养.3.【答案】B【解析】根据图表可知，各月PMI的中位数小于，A错误；2023年各月，2023年我国综合PMI产出指数均大于，表明我国企业生产经营活动持续扩张，C错误，B正确；2023年上半年各月PMI比下半年各月PMI的波动大，则方差也大，故D错误.【考查意图】本小题设置数学应用情境，主要考查统计图表的应用等基础知识，考查概率统计等思想方法，考查数据分析等数学核心素养.4.【答案】A2有2c1(ab)22ab12(3)2，解得ab【解析】由题意得abc，则，又由22有1，同理可得3acb，则2ac(3)322(ac)2b222，解得acbc，所以2132accacbcabacbcc2,aca27,bcb2bcc72213277acbc1314，所以ac,bc.acbc注：本小题也可以利用向量线性运算的几何意义，利用数形结合思想求解.【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计平面向量运算问题，主要考查向量的坐标运算，数量积，夹角公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，数学建模（可构造三角形或取特值解答）思想；考查数学运算､直观想象､数学建模等数学核心素养.5.【答案】C【解析】因为12xx)5x)52xx)的系数为C51055，相加的两项二项式展开后的通项分别为r15rxr2'xr32与T，所以x3.r15【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计二项式展开式的通项问题，主要考查二项式展开式特定项的系数等基础知识；考查运算求解能力，分类讨论思想，数学运算等数学核心素养.6.【答案】Aπ2ππ5π336π3π12313，所以,2【解析】因为，有sin1，所以πππ3ππ3π121531253sinsinsin.333313213226【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计三角恒等变换求值问题，主要考查同角三角函数关系，两角和的正弦公式，三角函数符号确定等基础知识；考查运算求解能力，化归与转化思想，数学运算等数学核心素养.7.【答案】CMx,y,Nx,y，直线x22y2px得，【解析】设的方程为：，联立方程11224，从而xxyy44p-4，1y24p22y224p0，故yy4p,xx12121212p2即，故选C.【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计直线与抛物线交点问题，主要考查直线与抛物线的位置关系，向量的坐标运算，抛物线性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想；考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养.8.【答案】CPAPCAC22,CC21PA中有1【解析】如图，因为，在平面11111πPACACOCPA1,1,1D不平行于平面；1，所以∥∥平面111111114∥,1D；易得PO22，1同理不平行于平面111CO2COPCBD,BDCOO1BDC平面.1，所以，又，所以111111【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计正四棱柱与正四棱锥的组合体问题，主要考查空间线面平行，线面垂直的判断等基础知识；考查推理论证能力，空间想象能力；考查逻辑推理，直观想象等数学核心素养.9.【答案】C242CC14A23【解析】7614.P348127【命题意图】本小题设置实践应用情境，主要考查计数原理､分组排列､组合､古典概型等基础知识，考查分类与整合等数学思想，考查逻辑推理，数学建模等数学核心素养.10.【答案】Bππ42【解析】对于①由fxxxx,，最小正周期为2π，结论①不正确；对于②，由，π2ππ422x,π,cos2x0fxcos2xcos2x,有，此时在区间单调递增，结论②正确；对于1cos2x121πfxcos2xk1时，xcos2x2xπ,kZ③，，对称轴由确定，当，结222论③正确.【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计三角函数图象性质问题，主要考查含绝对值的余弦函数图象，降幂公式，余弦函数的最小正周期，单调区间，图象的轴对称等基础知识；考查逻辑推理能力，数形结合思想，化归与转化思想，推理论证等数学核心素养.11.【答案】A2Am2,BA4mF,Fy关于轴对称，故12m，又因【解析】设，则，由于12FBAB32AF5,1232m12a4,2c32me，所以为，所以，所以，故选A.14【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计双曲线焦点弦问题，主要考查双曲线的方程与性质，双曲线焦点弦，离心率等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，数形结合思想；考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养.12.【答案】Cx1bax1ax0，不等式化为„axfx，则【解析】依题意，.设x2x211x22xx1xx0,e时，fxfxx2x，当单调递增；当fxx4x312e12e,fxfxfx时，单调递减，所以，在处取得极大值，也即最大值.又xe21fxx1bbafx0„axyaxxe时，.由题知不等式恒成立，所以的图象恒在的2x2abba图象的上方，显然a0不符题意；当a0时，为直线yax的fx的横截距，其最大值为a1eb1eba横截距，再令fx0yax在点fx,0处相切时，横截距x，可得，且当直线与a1x,aeb1ye33,be2取得最大值.此时，切线方程为，所以取得最大值为a.ee【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查导数的应用等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学抽象､逻辑推理､数学运算､直观想象等数学核心素养.､二填空题13.【答案】-6【解析】作出约束条件表示的可行域为以三点为顶点的及其内部，作出A4,6,B2,C1,03xy0y3xzA6y时，在轴上的截距最小，此时目标函数直线并平移，当直线经过点z3xyz3466.取得最小值【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计简单的线性规划问题，主要考查不等式组的解法，约束条件表示的可行域，直线平移及几何意义等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，化归与转化思想；考查数学运算､逻辑推理､直观想象等数学核心素养.31514.【答案4AB2AC2BC242322278158【解析】由余弦定理有cosA，所以sinA，所以的2ABAC2431115315面积SABsinA43.2284【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计解三角形问题，主要考查余弦定理，同角间的三角函数关系，三角形面积等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，数形结合思想，化归与转化思想，应用意识；考查数学运算､逻辑推理､直观想象等数学核心素养.2π2π，填写符合2π,kZ的一个值即可.15.【答案】33fx2coscossinx2cos1xsin【解析】依题意，，当12π2π4π2cos1fx为奇函数，此时，则,kZ2π,，故填等等.2333【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查函数奇偶性等基本性质､简单的三角变换等基础知识，考查化归与转化等数学思想；考查数学抽象､逻辑推理､数学运算等数学核心素养.16.【答案】1OMd,OO6,3，则在3【解析】如图，设中，，在12122r2，所以在112r21d23中，9d2r，联立得12中，，在中，21r211，所以1.12【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计球与截面问题，主要考查平面与球相截，空间线面位置关系，球内三角形，矩形的性质，勾股定理等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，方程思想等基础知识；考查数学运算素养，直观想象，逻辑推理等数学核心素养.､三解答题12345x3，17.【解析】（1）依题意，5523)2(23)23)2(43)23)210，xxii15xxyyii252525ri10.98，则551065106.5102.5522xxyyiii1i1则r0.75，故变量y与x的相关程度很强.yxˆ（2）令变量与的线性回归方程为ˆˆbx.5yyixi2510ˆbi1，52xxii1ˆ所以ˆybx70.52.5363，y所以，变量关于的回归方程为xy2.5x63.2024年，即x时，y2.566378（亿元）.6y所以，该公司2024年利润的预报值为78（亿元）.【命题意图】本小题设置生活实践情境，主要考查回归分析的基本思想及其初步应用，考查统计基本思想以及抽象概括､数据处理等能力和应用意识；考查数学运算､数学建模等数学核心素养.2Sa318.【解析】（1）由，nn当n1时，…22aa3，得1a3，112n2Sn2Sn1n3n13，当时，aa整理得，，n1nnn1又0，所以3，an1所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，ana3n所以.nb3nan3n（2）若选①，由（1）可得，，n3nT13232333n3n所以，nn132233334nn1，n332333nnn1两式相减得313nnn113132nn1，2n1243所以Tn13Nn*.n4n9nn9n1nbnn3n若选②，由（1）可得，.n1nnan1an1nn3.n若选③，由（1）可得，bnn22n【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计结构性不良的数列问题，主要考查数列的前项和与通项公式，等比数列的性质，错位相减法求数列的和等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想；考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养，应用意识.AB,CDM,NME,EN,NF,FM，连接.19.【解析】（1）如图，取的中点因为，平面FCD平面ABCD，平面FCD平面ABCDCD，所以FN平面ABCD.同理，平面ABCD.所以∥.又和CFD是等腰直角三角形，所以FNME，四边形MENF为平行四边形，所以∥，CD,M,CDNEN又因为AB∥，所以平面ABF∥平面CDE.yx（2）如图，以A点为原点，AB所在直线为轴，过A平行于的直线为轴，在平面ABCD内垂直于AB的直线为z轴，建立空间直角坐标系.πABBAD,设，3则A0,B2,0,C22cos,,D,,E0.0,,,1,0.所以nx,y,z，则设平面的法向量为1111nxy111ADn2cosyz0.111sincosx11yzn，所以1令，得.11sinnx,y,z，则2设平面BCE的法向量为222nxy222n2cosyz0.222cossincosx12yzn令，得，所以.222sin22sinsinnnn,n12所以.122nn2sin212222sinsincossinπsin21(sin)设t0，2，则3t(sin)2sinπ33所以tt,在上单调递减，所以3t22t21,12n,n1所以，122t271,1所以平面与平面BCE所成锐二面角的取值范围是.7【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计立体几何问题，主要考查空间线线､线面位置关系，空间二面角等基础知识；考查推理论证能力，空间想象能力，运算求解能力；考查直观想象，逻辑推理等数学核心素养，应用意识.1212Q1,0,Sd,S2a2.d20.【解析】（1）由，112S1SdQa113，则故d2Qa1223由e，得c3,b1，2x2故椭圆C的方程为：y1.24（2）由（1）可得A2,0,A0，设.Mx,y,Nx,y212112显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为xmy1.x2xmy1与y21联立，将4可得m24y230，2Δ16m30，2其中2m3yy,yy则.12m212m244112y222yx2NA，直线的方程为2yx2，因为直线联立直线的方程为1NA的方程可得：2与直线111y23y31x2yx2y3y2121122y1y21x2yx121232m9mm333131m24m24m243.mm11m24m24x2x23x4可得x4，即，P由故点P在定直线x4上.【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计直线与椭圆问题，主要考查椭圆的方程，椭圆中的三角形，直线过定点等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，数形结合思想；考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养，应用意识.21.【解析】（1）依题意，fxx2ax1，设过点的直线与曲线x,y，斜率kx2ax1，则1,0yfx相切时的切点为00002xx2ax1xx1,0，点的坐标代入可得，yxxax20000000xxax2xx2ax1x，000002则0002axxx10002即有解法1：若过点可作曲线两条切线，只需方程方程有两个不1,0yfx20200010相等的实数根即可.gxax2axxx1，只需函数gx有2个零点即可.则令22ax22ax12axx1gx2ax2a1，xxx111ax0xgxx1gxx1gx0，时，①若，则时，时，212a2agx此时时，取极大值；x1时，取极小值，gx2a212a12a1111又ga2a1ln2a20，2a2a2a4ax，gx时，函数只有1个零点，不合题意.gx11②若，同理可知，此时x1时，gx取极大值；时，取极小值，gx0ax22a又ga2xgx时，，函数只有1个零点，不合题意.gx„2ax„00x1时，gxx1gx0时，，③若，则所以x1时，取极大值gx，g1a2又x0时，gx,x时，，gx函数有2个零点，则必有，得a2，gxg1a20故过点可作曲线的取值范围是,2.1,0yfx两条切线时，a解法2:显然，x2.01x0x2020若过点可作曲线a方程有两个不相等的实数根即可.令1,0yfx两条切线，只需方程x1xgx，x22x11x22xx1x2x2x1xx4x则gx，x22x2x22x22令uxxx41，ux，则x可知0x2时，单调递增；x2uxux时，单调递减，uxux所以ux„u2ln260，故当0x1时，gxgx单调递增；1x2时，gxgx单调递减；x2时，单调递减.gxgx又x2时，由xx1，则gx0；由上可知x1时，取得极大值，也即为gxx0,2时，gx取得最大值g2，又x0时，gx;x2gx时，，函数的大致图象如图所示.gx01xx20200a所以方程有两个不相等的实数根时，a2.故过点可作曲线1,0yfx两条切线时，.,2a的取值范围是（2）①由（1）知，fxx2ax1，x1因为有两个极值点即fxx,x,fx02ax,x有两个实数根，1212xx12xmx,mx令，xx21mxmxmx单调递可知0xe2时，mxmx单调递增，此时；当xe2时，e210mx减，此时，e2x11所以有两个实数根时，02a.fx0即2axe212e则有两个极点时，afx.2x2ax1x2ax1