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文档简介

培优课06利用导数研究函数的零点培优点一利用导数确定函数零点个数典例1设函数fx=lnx+mx,m∈R，讨论函数解题观摩[解析]由题意得f'x=令g设hx=-当x当x所以h又h0=0所以①当②当③当④当综上所述，当m>23时，函数gx无零点；当m=23或m利用导数研究函数零点（方程根）的一般方法1.通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,进而研究函数零点的情况；2.根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置；3.数形结合去分析问题，可以使问题的求解过程有一个清晰、直观的整体展现.由判断零点个数变为证明零点个数已知函数fx（1）讨论函数fx的单调性[解析]根据题意得，f'x=当a≤0时，f'x>当a>0时，令f'令f'x>所以fx在0,2a故当a≤0时，fx在0,+∞上单调递增；当a>0时，（2）设gx=[fx][解析]当a=2时，fx=x所以当x∈0,1时，f'x<0，fx单调递减；当x又当x→0时，fx→+∞，当所以fxgx=[fx令hm=m2-m-2ln因此当m∈1,1+当m∈1+174由于h1=0，故h由函数零点存在定理，得存在m0∈(1+17所以hm有两个零点m0和m1=1，即方程f作出fx当fx=1所以方程fx=1当fx=m因为1+所以由fx图象可知，fx=m0有两个不同的根x综上，当a=2时，函数培优点二根据函数零点个数求参数的取值范围典例2已知函数fx=ax-1x-a+1lnx解题观摩[解析]由题意得，f'①当a≤0时，ax-1≤当0<x<1时，f'x>0，当x>故f②当a>0时，令f'x=当0<a<1时，1a>1，可得fx在0,1,(1极小值为f当a>1时，0<1a<1，可得f在1a故fx的极小值为f极大值为f当a=1时，所以f且f1=0综上可知，实数a的取值范围为0,+∞利用函数的零点求参数的取值范围的方法1.分离参数a=gx后，将原问题转化为y=gx2.利用函数零点存在定理构建不等式求解.3.转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.求参数范围变为求参数的值已知函数fx=x+2e（1）若a=-3，求[解析]当a=-3时，fx=x+2ex+x当x≤-3时，x+3ex≤当x>-3时，x+4ex>0，h'x>0，hx单调递增.又h0=0，所以当综上，fx在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，故f（2）若函数gx=fx[解析]已知gx=f当x→-∞时，gx→+∞；当x因为函数gx=fx-2cosx恰有一个零点，且g0=0，所以0是函数gx的唯一零点，可得g'x所以x+4ex+2+2cosx>0在-4,+∞恒成立，则函数kx在-4,+∞上单调递增，即函数g'x在-4,+∞上单调递增，又g'0=3+故当x∈0,α时，gx故gx在0,+∞上存在一个零点，则此时函数gx当3+a>0时，可得所以在区间-4,0上存在一点β故在β,0上，g'x>故gx在β,0故当x∈β,0时，gx

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