函数的奇偶性、周期性与对称性讲义-2025届高三数学一轮复习

基础课08函数的奇偶性、周期性与对称性考点考向课标要求真题印证考频热度核心素养函数的奇偶性了解2023年新高考Ⅱ卷T★★☆数学运算直观想象函数的周期性了解2022年新高考Ⅱ卷T★☆☆数学运算直观想象函数的对称性了解2022年新高考Ⅰ卷T★☆☆数学运算直观想象命题分析预测从近几年高考的情况来看，函数的奇偶性是高考常考内容，一般以选择题或填空题的形式出现.命题热点为函数奇偶性的应用，函数的周期性与对称性以抽象函数为背景的考查较多.预计2025年高考命题热点为函数奇偶性的应用一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数fx的定义域为I，如果∀x∈I，都有−x关于②y轴对称奇函数一般地，设函数fx的定义域为I，如果∀x∈I，都有−x关于④原点对称二、函数的周期性周期函数一般地，对于函数fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有⑤fx+T=最小正周期如果在周期函数fx的所有周期中存在一个⑥最小的正数，那么这个⑦最小的正数就叫作f三、函数的对称性轴对称若函数y=fx满足⑧fx+中心对称若函数y=fx满足fx+两个函数图象的对称函数y=fx与y=f−x的图象关于y轴对称；函数y=f周期性、对称性的常用结论函数式满足关系x对称轴对称中心周期fTfTfTfTfx=aTfx=aTfa,0Tfa,0TfxbTfx0TfxaT题组1走出误区1.判一判.（对的打“√”,错的打“×”）（1）若函数fx为奇函数，则一定有f0=（2）若fx为偶函数，则fx=（3）若T是函数的一个周期，则nTn∈Z（4）若函数y=fx+b是奇函数，则函数y2.（易错题）已知fx=1−xA.是偶函数 B.是奇函数C.是非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数【易错点】忽略函数奇偶性对定义域的限制条件导致错误.[解析]因为fx=1−x2x+2−2，所以1−x题组2走进教材3.（人教A版必修①P86·T11改编）已知函数fx是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f[解析]因为函数fx是定义在R上的偶函数，所以图象关于y轴对称且f−x=fx，因为当x≤0时，f4.（人教A版必修①P101·T9改编）已知奇函数fx在[2024,2025][解析]任取−2025则2024≤−x2<−x1≤2025.因为fx在[2024,2025]上是减函数，所以f题组3走向高考5.[2023·新高考Ⅱ卷]若fx=x+aA.-1 B.0 C.12 [解析]因为fx为偶函数，所以f1=f−1，所以1+aln13=−1+aln3，解得a=0，当考点一函数的奇偶性［多维探究］判断函数的奇偶性典例1判断下列函数的奇偶性.（1）fx（2）f（3）fx[解析]（1）由2−x2≥0,x2−2≥（2）显然函数fx的定义域为−∞,因为当x<0时，所以f−同理，当x>0时，f−（3）显然函数fx的定义域为Rf===−log2x函数奇偶性的判断方法定义法图象法性质法设fx,gx的定义域分别是D1,D2,则在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶利用奇偶性求解析式典例2已知函数fx是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，fx=2xA.2−x−x−1 B.2[解析]当x<0时，−x所以fx=−f利用奇偶性求函数值典例3已知函数fx=sinx−4xA.2 B.3 C.−2 D.[解析]设gx=sin因为g−所以gx因为ga所以g−则f−a=−利用奇偶性求参数值典例4[2023·全国甲卷]若fx=x−[解析]因为fx为偶函数，所以f−π2=函数奇偶性的应用类型及解题策略求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出fx的解析式或充分利用奇偶性构造关于fx的方程（组），从而得到求函数值利用函数的奇偶性将待求函数值转化为已知区间上的函数值，进而求解求参数值利用待定系数法求解，根据fx±f−x=0解不等式利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一致、偶函数在对称区间上的单调性相反，将问题转化到同一单调区间上求解，涉及偶函数时常用fx=f1.[2024·江西校考]下列函数中，既是奇函数又在−∞,+∞上单调递减的是(C).A.y=1x B.y=x3[解析]对于A，y=1x的定义域为{对于B，y=x3对于C，y=−x∣对于D，y=e−x为非奇非偶函数，故2.[2023·全国乙卷]已知fx=xexA.−2 B.−1 C.1[解析]因为fx所以fx又因为x不恒为0，所以ex−e则x=a−1x，即13.[2024·南昌开学考试]（双空题）已知fx是定义域为R的奇函数，当x>0时，fx=log5[解析]fx是定义域为R的奇函数，当x>0时，f当x<0时，−x>0因为fx是定义在R上的奇函数，所以f综上，fx的解析式为考点二函数的周期性［师生共研］典例5（1）已知fx是定义在R上的函数，且fx+3=−1f（2）已知定义在R上的函数fx满足fx+6=fx，当−3≤x[解析]（1）因为fx+3=−1fx（2）因为fx+6=f当−1≤x<3时，fx=x，所以当−3≤x<−1时，f所以f1故f==337函数周期性的判定与应用的解题策略判定判断函数的周期只需证明fx+T应用根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间上的功能.在解决具体问题时，要注意，若T是函数的周期，则kT(k∈1.已知定义在R上的函数fx满足fx=−fx+2，当[解析]因为fx=−fx+2，所以2.若函数fx满足fxfx+3[解析]因为fxfx+3=12考点三函数的对称性［自主练透］1.已知定义在R上的函数fx满足f2−x=2−A.f−3=1 B.f0=[解析]因为fx的图象关于直线x=3对称，则f3−x=又因为fx满足f2−x=2−fx，所以f2.设函数y=fx的定义域为R，则函数y=fA.关于y轴对称 B.关于x轴对称C.关于直线x=1对称 D.关于直线[解析]fx−1的图象是由fx的图象向右平移1个单位长度