圆锥曲线综合问题-6 范围问题

PAGEPAGE13圆锥曲线综合问题—6范围问题（一）解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。处理这类问题的关键是确定参数范围的函数关系或不等关系。一、建立不等关系的方法利用圆锥曲线的定义。如离心率的范围。利用点在圆锥曲线内（外）的充要条件。如点在椭圆内的充要条件是。3.利用点在圆锥曲线上的点的坐标的范围。如点在椭圆上，则有4.利用二次方程有解的条件。如借助一元二次方程的判别式及根的分布来构造含参数的不等式，从而求出参数的范围。5、转化为函数的值域或最值。二、常见的类型与解题策略单参数问题。如求参数m的范围，只要列出含m这一个参数的不等式（组）求解。双参数问题。如求参数m的范围，需联系另一参数k，对策有(1)将m表示成k的函数：m=f(k),利用k的范围，求f(k)值域；(2)列出m、k混合的关系式（等式），再列出m、k受限条件（不等式），从等式中解出,代入不等式进而解出m的取值范围。求与“比值”有关范围问题，常用：列齐次式的思想，如求离心率的范围可以列出含a、c的齐次不等式；求的范围，有时可以用韦达定理求，变形即有。利用向量共线求比值范围。如求的范围，可设得到关于坐标的方程，变形后用韦达定理求解。三，如何确定参数范围的函数关系或不等关系一、利用曲线的定义、标准方程和性质列不等关系1.双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为A.(1,3) B. C.(3,+) D.2.【北京市西城区2014年高三二模试卷】设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，则的取值范围是.答案：1.B；2.4.双曲线焦点距为2c，直线l过点（a,0）和(0,b)，且点（1，0）和（-1，0）到直线l的距离之和，求双曲线的离心率e的取值范围。答案：的取值范围.5.设椭圆的两个焦点是，且椭圆上存在一点P，使得直线PF1与PF2垂直。求实数m的取值范围。答案的取值范围是二、利用方程有实根的充要条件列不等关系1.求F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，，求点P的坐标；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.答案：（1）（2）2.直线与双曲线的右支交于不同的两点A、B求实数的取值范围答案：3.【贵州省遵义四中2014届高三上学期第五次月考（理科）】（12分）．如图，F1，F2是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l：x=﹣将线段F1F2分成两段，其长度之比为1：3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围．【答案】（1）；（2）.4.【云南省部分名校（玉溪一中、昆明三中）2014届高三第一次联考（11月）数学(理)试题】已知圆及定点，点是圆上的动点，点在上，且满足，点的轨迹为曲线。（1）求曲线的方程；（2）若点关于直线的对称点在曲线上，求的取值范围。答案：（1）（2）圆锥曲线综合问题—6范围问题（二）三、利用曲线自身的范围说明：圆、椭圆、双曲线及抛物线都有自身的范围，如椭圆>b>0)中，x，利用这些范围是确定参数范围的途径之一。1.设点P到点M(－1，0)、N(1，0)距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围。答案：2.已知椭圆(a>b>0)，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0，0)．证明．3.已知椭圆C：上存在关于直线对称的两点，试求m的取值范围。答案：四、转化为求函数的值域要确定变量k的范围，若能建立以k为函数的目标函数，则可通过求函数的值域求解。1.（广东省六校2014届高三第一次联考理科数学试题）如图，椭圆的左顶点、右焦点分别为，为直线上一的点，且在轴的上方，与椭圆交于点.（1）若是的中点，求证：.（2）过三点的圆与轴交于两点，求的范围.答案：（2）2.（广东省韶关市2014届高三摸底考试数学理试题）在平面直角坐标系中,已知点,,为动点,且直线与直线的斜率之积为.(1)求动点的轨迹的方程;(2)设过点的直线与曲线相交于不同的两点,.若点在轴上,且,求点的纵坐标的取值范围.答案：(1)(2)3.（广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试数学理试题）已知点的坐标分别是、,直线相交于点,且它们的斜率之积为.(1)求点轨迹的方程;(2)若过点的直线与(1)中的轨迹交于不同的两点,试求面积的取值范围(为坐标原点).答案：(1)(2)4.（广东省湛江市湖光中学2014届高三上学期入学考试数学（理）试题）已知定点R的坐标为(0,-3),点P在x轴上,⊥,线段PM与y轴交于点Q,且满足=2(1)若点P在x轴上运动,求点M的轨迹E;(2)求轨迹E的倾斜角为的切线0的方程;(3)若(2)中切线0与y轴交于点G,过G的直线与轨迹E交于A.B两点,点D的坐标为(0,1),当∠ADB为钝角时,求直线的斜率的取值范围.答案：(1)y=x2(x≠0)(2)x-y-1=0(3)k<-或k>5.【广东省百所高中2014届高三调研考试】已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）抛物线与椭圆有公共焦点，设与轴交于点，不同的两点、在上（、与不重合），且满足，求的取值范围.答案：(1)(2)6.（广州市培正中学2014届高三11月月考）已知圆经过椭圆的右焦点及上顶点。（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆外一点倾斜角为的直线交椭圆于、两点，若点在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围。答案：(1)(2)7.（广东省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末）在平面直角坐标系中，已知点及直线，曲线是满足下列两个条件的动点的轨迹：①其中是到直线的距离；②(1)求曲线的方程；(2)若存在直线与曲线、椭圆均相切于同一点，求椭圆离心率的取值范围.答案：(1)(2)8.（珠海市2014届高三上学期期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，为原点.（1）如图1，点为椭圆上的一点，是的中点，且，求点到轴的距离；（2）如图2，直线与椭圆相交于两点，若在椭圆上存在点，使四边形为平行四边形，求的取值范围．答案（1）（2）9.【2014年“皖西七校”高三年级联合考试】（本小题满分13分）在平面直角坐标系中,已知点和,圆是以为圆心,半径为的圆,点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径所在的直线交于点.（Ⅰ）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；（Ⅱ）已知，是曲线上的两点，若曲线上存在点，满足（为坐标原点），求实数的取值范围.答案：(1)(2)10.（2008年天津理）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．答案：(1)(2)11.（2015届深圳宝安区9月调研）已知分别是椭圆的左右焦点，分别为其左右顶点.过的直线与椭圆相交于两点.当直线与轴垂直时，四边形的面积等于2，且满足(1)求此椭圆的方程；（2）当直线绕着焦点旋转不与轴重合时，求的取值范围.答案：(1)（2）圆锥曲线综合问题—6范围问题（三）五、双参数问题的处理方法1、双参数中已知一参数的范围已知一个变量的范围求另一变量的范围，可先利用题设条件建立变量的关系式，将所求变量和另一已知变量分离，得到函数关系，再由已知变量的范围求出函数的值域，即为所求变量的范围。1.已知双曲线的中心在原点，右顶点为A(1,0)，点P、Q在双曲线的右支上，点M(m,0)到直线AP的距离为1。(1)若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围；(2)当时，的内心恰好是点M，求此双曲线的方程答案：(1)（2）2.2.给定抛物线，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点。(1)设l的斜率为1，求的夹角的余弦；(2)设，求l在y轴上截距m的变化范围。答案：(1)(2)2、双参数且没有已知其中一个参数的范围1.已知动点P与双曲线的两个焦点F1、F2的距离和为定值，且的最小值为（1）求动点P的轨迹方程；（2）设M（0，-1），若斜率为的直线l与P的轨迹交于不同的两点A、B，试求k的取值范围，使。答案：（1）（2）-1<k<1.2.设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；（2）过点作直线双曲线的右支于两点，试确定的范围，使，其中点为坐标原点．答案：（1）（2）六、与“比值”有关的求范围问题1.（2012北京市海淀区一模文）（19）（本小题满分13分）已知椭圆的右顶点，离心率为，为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知（异于点）为椭圆上一个动点，过作线段的垂线交椭圆于点，求的取值范围.答案：（1）（2）2.（肇庆市2014届高三上学期期末质量评估）已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，过椭圆的右焦点的动直线与椭圆相交于、两点.(1)求椭圆的方程;(2)若线段中点的横坐标为,求直线的方程;(3)若线段的垂直平分线与轴相交于点.设弦的中点为,试求的取值范围.答案：(1)(2)(3)3.已知P是抛物线上的一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q，若直线L不过原点且与x轴交于点S，与轴交于T，试求的取值范围答案：4.如图，在椭圆中，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，B、D分别为椭圆的左、右顶点，A为椭圆在第一象限内的任意一点，直线AF1交椭圆于另一点C，交y轴于点E，且点F1、F2三等分线段BD。（I）求a的值；（II