人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案：3 1 2 函数的表示法（一）

3.1.2函数的表示法（一）

【学习目标】1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点2掌握求函数『解析』式的常见方法3

尝试作图并从图象上获取有用的信息.

知识梳理梳理教材夯实基础

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知识点函数的表示方法

函

［解析法就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系

数HI

的

表［列表法H就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系）

示

法

［图象法H就是用图象表示两个变量之间的对应关系）

思考函数三种表示法的优缺点？

『答案』

■思考辨析判断正误

1.任何一个函数都可以用『解析』法表示.（X）

2.任何一个函数都可以用图象法表示.（X）

3.函数人x）=2x+l不能用列表法表示.（V）

4.函数的图象一定是一条连续不断的曲线.（X）

题型探究探究重点素养提升

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一、函数的表示方法

例1某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x（x为正整数）与收款数y

之间的函数关系，分别用列表法、图象法、『解析』法表示出来.

解⑴列表法：

力台12345678910

W元30006000900012000150001800021000240002700030000

(2)图象法：如图所示.

W元

3()(X)()*•

*

*

*

*

*

3(X)()•,

d1.................iox/A

⑶『解析』法：y=3OOO.r,x©{1,2,3,…，10).

反思感悟应用函数三种表示方法应注意以下三点

(1)『解析』法必须注明函数的定义域；

(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系；

(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”.

跟踪训练1由下表给出函数尸危)，则内⑴)等于()

X12345

y45321

A.1B.2C.4D.5

『答案』B

『解析』由题中表格可知x1)=4,所以胭1))=犬4)=2.

二、求函数『解析』式

例2求下列函数的『解析』式：

(1)已知函数4G+l)=x+2dL求|x)；

⑵已知函数7(x)是二次函数，且40)=1,7U+l)-/(x)=2x,求穴x).

解(1)方法一(换元法)

设」=,+1,则X=(Ll)2(f/l).

—1)2+2(力一l)—t2—2/+1+2/—2=产一1,

•'-J(x)=x2—1(x^1).

方法二(配凑法)

*/x+2yjx—(A/X)2++1—\=(y[x~\-1)2—1,

••+1)=("+1>—1(6+121),

.,./(x)=x2-1(x^1).

(2)设段)=〃%2+"+。3?0).

•・7(o)=i,:.c=i.

又,.*y(x+1)—fix)=2x,

〃(x+1)2+b(x+1)+1—(ax1-\-bx-\-l)=2x,

整理，得2QX+(〃+/?)=2X.

由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等,

[2〃=2,[a—1,

解得.•.危)=/—x+i.

\<ci।b—0,\b—1,

反思感悟求函数『解析』式的常用方法

(1)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数八g(x))的『解析』式求八犬)的『解析』式可用换

元法(或“配凑法”)，即令g(x)=f,反解出X,然后代入式g(x))中求出式f),从而求出八X).

⑵待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数『解析』

式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数『解析』式.

跟踪训练2⑴已知加2+2)=/+4居则段)的『解析』式为.

『答案』«¥)=]2—4(x22)

『解析』因为火工2+2)=f+4X2=(12+2)2—4,

令f=N+2«22),则大。=~一4«22),

所以犬x)=好一4(X三2).

(2)已知於)是一次函数，且/(»)=4x—1,则於)=.

『答案』2x—g或一2x+l

『解析』因为“X)是一次函数，设仇〃#0),

则AAX))—fiax+b)=a(ax+b)+b=c^x+ab+b.

又因为7(/(x))=4x—1,所以c^x^-ab+b—^x—X.

4=2,

〃2=4,a=-2

所以，a解得

b=-3b=l.

所以«x)=2x—1或«x)=—2%+1.

三、函数的图象

例3作出下列函数的图象.

(l)y=2x+l,%£『0,2』；

2

(2)y=~,『2,+°0)；

(3)y=x2+2x»%£『一2,2』.

解(1)当入£『0,2』时，图象是直线y=2x+l的一部分.

2

(2)当xe『2,十8)时，图象是反比例函数y=1的一部分.

(3)当一2WxW2时，图象是抛物线y=；f2+2x的一部分.

延伸探究根据作出的函数图象求其值域.

解观察图象可知：

(1)中函数的值域为『1,5』.

(2)中函数的值域为(0』』.

⑶中函数的值域为『一1,8』.

反思感悟作函数y=兀0图象的方法

(1)若y=Ax)是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需

要根据定义域进行取舍.

(2)若y=/(x)不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y

=黄尤)的图象.

跟踪训练3作出下列函数的图象：

(l)y=l—x(xGZ)；

(2)y=x2—4x+3,xG『1,3』.

解(1)因为xGZ,

所以图象为直线y=l—x上的孤立点，其图象如图①所示.

(2)尸了2—标+3=(了-2)2—1,

当x=l,3时，y=0；

当x=2时，y=-1,其图象如图②所示.

①②

・核心素养之直观想象*

函数图象的应用

典例（1）已知兀0的图象如图所示，则五X）的定义域为，值域为

考点函数图象

题点函数图象的应用

『答案』『一2,4』U『5,8』『一4,3』

『解析』函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合.

（2）若函数兀0=d一4x+3（x》0）的图象与有两个交点，求实数wz的取值范围.

考点函数图象

题点函数图象的应用

解式尤）=/—4x+3（x20）的图象如图，

优x)=f-4x+3(xN0)

兀X）的图象与直线>=机有2个不同交点，

由图易知一1<»ZW3.

『素养提升』（1）函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函

数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点.

（2）借助几何直观认识事物的位置关系，形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直

观想象的核心内容，也是数学的核心素养.

随堂演练基础巩固学以致用

1.已知函数式x）由下表给出，则欢3））等于（

A.IB.2C.3D.4

考点函数的表示法

题点函数的表示法

『答案』A

2.已知函数人2x+l）=6x+5,则段）的『解析』式是（）

A.危）=3尤+2B.危）=3%+1

C.y（x）=3x—1D.犬x）=3x+4

『答案』A

『解析』方法一令2x+l=f,则x='I

所以/(f)=6X-^-+5=3r+2,

所以/（尤）=3x+2.

方法二因为黄2x+l）=3（2x+1）+2,

所以/（x）=3x+2.

3.某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为K

离开家里的路程为私下面图形中，能反映该同学的行程的是（）

考点函数图象

题点函数图象的判断与理解

『答案』C

4.设函数yQqz"：人,则«x）的表达式为（）

1+x/1+x

A/