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文档简介

天津滨海新区大港第八中学高三一诊考试新高考数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知数列的前项和为,且,,则()A. B. C. D.2.已知正项等比数列的前项和为,则的最小值为()A. B. C. D.3.2019年10月1日,中华人民共和国成立70周年,举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行,拼成一个6位数,则产生的不同的6位数的个数为A.96 B.84 C.120 D.3604.已知为抛物线的焦点,点在上,若直线与的另一个交点为,则()A. B. C. D.5.函数的部分图象大致是()A. B.C. D.6.已知命题:,,则为()A., B.,C., D.,7.复数(i是虚数单位)在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.已知抛物线:,直线与分别相交于点,与的准线相交于点,若,则()A.3 B. C. D.9.如图,已知直线与抛物线相交于A,B两点,且A、B两点在抛物线准线上的投影分别是M,N,若,则的值是()A. B. C. D.10.设集合,,若集合中有且仅有2个元素,则实数的取值范围为A. B.C. D.11.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若,则λ+μ的值为()A. B. C. D.12.已知向量,且,则m=()A.−8 B.−6C.6 D.8二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,的外接圆半径为,为边上一点,且,,则的面积为______.14.设满足约束条件且的最小值为7,则=_________.15.已知直线被圆截得的弦长为2,则的值为__16.已知抛物线的对称轴与准线的交点为,直线与交于,两点,若,则实数__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房,银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金:每月的还款额呈递减趋势,且从第二个还款月开始,每月还款额与上月还款额的差均相同;②等额本息:每个月的还款额均相同.银行规定,在贷款到账日的次月当天开始首次还款(若2019年7月7日贷款到账,则2019年8月7日首次还款).已知小张该笔贷款年限为20年,月利率为0.004.(1)若小张采取等额本金的还款方式,现已得知第一个还款月应还4900元,最后一个还款月应还2510元,试计算小张该笔贷款的总利息;(2)若小张采取等额本息的还款方式,银行规定,每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半,已知小张家庭平均月收入为1万元,判断小张该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素);(3)对比两种还款方式,从经济利益的角度来考虑,小张应选择哪种还款方式.参考数据:.18.(12分)2019年入冬时节,长春市民为了迎接2022年北京冬奥会,增强身体素质,积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者,并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分(满分为100分)并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动,得到如图所示的频率分布直方图:(1)求的值;(2)将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计,请将下列列联表补充完整,并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系?擅长不擅长合计男性30女性50合计1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(,其中)19.(12分)已知在多面体中,平面平面,且四边形为正方形,且//,,,点,分别是,的中点.(1)求证:平面;(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20.(12分)如图,在棱长为的正方形中,,分别为,边上的中点,现以为折痕将点旋转至点的位置,使得为直二面角.(1)证明:;(2)求与面所成角的正弦值.21.(12分)某大型公司为了切实保障员工的健康安全,贯彻好卫生防疫工作的相关要求,决定在全公司范围内举行一次普查,为此需要抽验1000人的血样进行化验,由于人数较多,检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①:将每个人的血分别化验,这时需要验1000次.方案②:按个人一组进行随机分组,把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验,如果每个人的血均为阴性,则验出的结果呈阴性,这个人的血只需检验一次(这时认为每个人的血化验次);否则,若呈阳性,则需对这个人的血样再分别进行一次化验,这样,该组个人的血总共需要化验次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为,且这些人之间的试验反应相互独立.(1)设方案②中,某组个人的每个人的血化验次数为,求的分布列;(2)设,试比较方案②中,分别取2,3,4时,各需化验的平均总次数;并指出在这三种分组情况下,相比方案①,化验次数最多可以平均减少多少次?(最后结果四舍五入保留整数)22.(10分)已知椭圆:的离心率为,右焦点为抛物线的焦点.(1)求椭圆的标准方程;(2)为坐标原点,过作两条射线,分别交椭圆于、两点,若、斜率之积为,求证:的面积为定值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据已知条件判断出数列是等比数列,求得其通项公式,由此求得.【详解】由于,所以数列是等比数列,其首项为,第二项为,所以公比为.所以,所以.故选:C【点睛】本小题主要考查等比数列的证明,考查等比数列通项公式,属于基础题.2、D【解析】

由,可求出等比数列的通项公式,进而可知当时,;当时,,从而可知的最小值为,求解即可.【详解】设等比数列的公比为,则,由题意得,,得,解得,得.当时,;当时,,则的最小值为.故选:D.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法,考查等比数列的性质,考查学生的计算求解能力,属于中档题.3、B【解析】

2,0,1,9,10按照任意次序排成一行,得所有不以0开头的排列数共个,其中含有2个10的排列数共个,所以产生的不同的6位数的个数为.故选B.4、C【解析】

求得点坐标,由此求得直线的方程,联立直线的方程和抛物线的方程,求得点坐标,进而求得【详解】抛物线焦点为,令,,解得,不妨设,则直线的方程为,由,解得,所以.故选:C【点睛】本小题主要考查抛物线的弦长的求法,属于基础题.5、C【解析】

判断函数的性质,和特殊值的正负,以及值域,逐一排除选项.【详解】,函数是奇函数,排除,时,,时,,排除,当时,,时,,排除,符合条件,故选C.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象,属于基础题型,一般根据选项判断函数的奇偶性,零点,特殊值的正负,以及单调性,极值点等排除选项.6、C【解析】

根据全称量词命题的否定是存在量词命题,即得答案.【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题,且命题:,,.故选:.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定,属于基础题.7、B【解析】

利用复数的四则运算以及几何意义即可求解.【详解】解:,则复数(i是虚数单位)在复平面内对应的点的坐标为:,位于第二象限.故选:B.【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义,属于基础题.8、C【解析】

根据抛物线的定义以及三角形的中位线,斜率的定义表示即可求得答案.【详解】显然直线过抛物线的焦点如图,过A,M作准线的垂直,垂足分别为C,D,过M作AC的垂线,垂足为E根据抛物线的定义可知MD=MF,AC=AF,又AM=MN,所以M为AN的中点,所以MD为三角形NAC的中位线,故MD=CE=EA=AC设MF=t,则MD=t,AF=AC=2t,所以AM=3t,在直角三角形AEM中,ME=所以故选:C【点睛】本题考查求抛物线的焦点弦的斜率,常见于利用抛物线的定义构建关系,属于中档题.9、C【解析】

直线恒过定点,由此推导出,由此能求出点的坐标,从而能求出的值.【详解】设抛物线的准线为,直线恒过定点,如图过A、B分别作于M,于N,由,则,点B为AP的中点、连接OB,则,∴,点B的横坐标为,∴点B的坐标为,把代入直线,解得,故选:C.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法,考查抛物线的性质,是中档题,解题时要注意等价转化思想的合理运用,属于中档题.10、B【解析】

由题意知且,结合数轴即可求得的取值范围.【详解】由题意知,,则,故,又,则,所以,所以本题答案为B.【点睛】本题主要考查了集合的关系及运算,以及借助数轴解决有关问题,其中确定中的元素是解题的关键,属于基础题.11、B【解析】

建立平面直角坐标系,用坐标表示,利用,列出方程组求解即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0).不妨设AB=1,则CD=AD=2,所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),解得则.故选:B【点睛】本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数,属于中档题.12、D【解析】

由已知向量的坐标求出的坐标,再由向量垂直的坐标运算得答案.【详解】∵,又,∴3×4+(﹣2)×(m﹣2)=0,解得m=1.故选D.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算,考查向量垂直的坐标运算,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

先由正弦定理得到,再在三角形ABD、ADC中分别由正弦定理进一步得到B=C,最后利用面积公式计算即可.【详解】依题意可得,由正弦定理得,即,由图可知是钝角,所以,,在三角形ABD中,,,在三角形ADC中,由正弦定理得即,所以,,故,,,故的面积为.故答案为:.【点睛】本题考查正弦定理解三角形,考查学生的基本计算能力,要灵活运用正弦定理公式及三角形面积公式,本题属于中档题.14、3【解析】

根据约束条件画出可行域,再把目标函数转化为,对参数a分类讨论,当时显然不满足题意;当时,直线经过可行域中的点A时,截距最小,即z有最小值,再由最小值为7,得出结果;当时,的截距没有最小值,即z没有最小值;当时,的截距没有最大值,即z没有最小值,综上可得出结果.【详解】根据约束条件画出可行域如下:由,可得出交点,由可得,当时显然不满足题意;当即时,由可行域可知当直线经过可行域中的点A时,截距最小,即z有最小值,即,解得或(舍);当即时,由可行域可知的截距没有最小值,即z没有最小值;当即时,根据可行域可知的截距没有最大值,即z没有最小值.综上可知满足条件时.故答案为:3.【点睛】本题主要考查线性规划问题,约束条件和目标函数中都有参数,要对参数进行讨论.15、1【解析】

根据弦长为半径的两倍,得直线经过圆心,将圆心坐标代入直线方程可解得.【详解】解:圆的圆心为(1,1),半径,

因为直线被圆截得的弦长为2,

所以直线经过圆心(1,1),

,解得.故答案为:1.【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质,属基础题.16、【解析】

由于直线过抛物线的焦点,因此过,分别作的准线的垂线,垂足分别为,,由抛物线的定义及平行线性质可得,从而再由抛物线定义可求得直线倾斜角的余弦,再求得正切即为直线斜率.注意对称性,问题应该有两解.【详解】直线过抛物线的焦点,,过,分别作的准线的垂线,垂足分别为,,由抛物线的定义知,.因为,所以.因为,所以,从而.设直线的倾斜角为,不妨设,如图,则,,同理,则,解得,,由对称性还有满足题意.,综上,.【点睛】本题考查抛物线的性质,考查抛物线的焦点弦问题,掌握抛物线的定义,把抛物线上点到焦点距离与它到距离联系起来是解题关键.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)289200元;(2)能够获批;(3)应选择等额本金还款方式【解析】

(1)由题意可知,等额本金还款方式中,每月的还款额构成一个等差数列,即可由等差数列的前n项和公式求得其还款总额,减去本金即为还款的利息;(2)根据题意,采取等额本息的还款方式,每月还款额为一等比数列,设小张每月还款额为元,由等比数列求和公式及参考数据,即可求得其还款额,与收入的一半比较即可判断;(3)计算出等额本息还款方式时所付出的总利息,两个利息比较即可判断.【详解】(1)由题意可知,等额本金还款方式中,每月的还款额构成一个等差数列,记为,表示数列的前项和,则,,则,故小张该笔贷款的总利息为元.(2)设小张每月还款额为元,采取等额本息的还款方式,每月还款额为一等比数列,则,所以,即,因为,所以小张该笔贷款能够获批.(3)小张采取等额本息贷款方式的总利息为:,因为,所以从经济利益的角度来考虑,小张应选择等额本金还款方式.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列求和公式的综合应用,数列在实际问题中的应用,理解题意是解决问题的关键,属于中档题.18、(1)(2)填表见解析;不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系【解析】

(1)利用频率分布直方图小长方形的面积和为列方程,解方程求得的值.(2)根据表格数据填写列联表,计算出的值,由此判断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【详解】(1)由题意,解得.(2)由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为.完善列联表如下:擅长不擅长合计男性203050女性104050合计3070100,对照表格可知,,不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高,考查列联表独立性检验,属于基础题.19、(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)构造直线所在平面,由面面平行推证线面平行;(2)以为坐标原点,建立空间直角坐标系,分别求出两个平面的法向量,再由法向量之间的夹角,求得二面角的余弦值.【详解】(1)过点交于点,连接,如下图所示:因为平面平面,且交线为,又四边形为正方形,故可得,故可得平面,又平面,故可得.在三角形中,因为为中点,,故可得//,为中点;又因为四边形为等腰梯形,是的中点,故可得//;又,且平面,平面,故面面,又因为平面,故面.即证.(2)连接,,作交于点,由(1)可知平面,又因为//,故可得平面,则;又因为//,,故可得即,,两两垂直,则分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,则,,,,,,设面的法向量为,则,,则,可取,设平面的法向量为,则,,则,可取,可知平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查由面面平行推证线面平行,涉及用向量法求二面角的大小,属综合基础题.20、(1)证明见详解;(2)【解析】

(1)在折叠前的正方形ABCD中,作出对角线AC,BD,由正方形性质知,又//,则于点H,则由直二面角可知面,故.又,则面,故命题得证;(2)作出线面角,在直角三角形中求解该角的正弦值.【详解】解:(1)证明:在正方形中,连结交于.因为//,故可得,即又旋转不改变上述垂直关系,且平面,面,又面,所以(2)因为为直二面角,故平面平面,又其交线为,且平面,故可得底面,连结,则即为与面所成角,连结交于,在中,,在中,.所以与面所成角的正弦值为.【点睛】

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